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國立臺灣師範大學數學系教授 洪有情

高雄市立五福國民中學退休校長 葉田宏

第一章

有一次，我各給幾個國中生一疊紙牌，要他們比較紅牌與黑牌相差多少張？有學生快速數得紅牌張數、數得黑牌張數，並相減得出答案；也有學生先依牌色分出兩堆，再數得各堆張數，相減算出答案。但他們的解題效率與正確性，都不如一個數學成績普通的小學生，他拿起相同張數的兩種顏色紙牌往別處丟，最後留下的紙牌，就是紅、黑紙牌相差的張數。

許多國中生懂得使用「等量減法」解決數學問題，這個小學生根本沒聽過「等量減法」這個詞，卻能把「等量減法」的性質運用得實際且澈底。

由上可知：優劣成敗的最大差異，絕對不只是知識程度上的問題，更關鍵的是在於是否具有良好或特殊的思考習慣，並能在現實生活中善加運用。而人們之所以必須不斷學習，其中很重要的意義是為了改造自己的思維，讓自己有更聰明或卓越的腦袋。

有個真實的事件，一位學業成績相當優異的學生在某次段考時，由於粗心而考差了數學，當教務主任的爸爸看了孩子作答的試卷後，發現他考試時因急中出錯，將其中一個問題的部分算式14 × 3當成17 × 3，得出結果為51。爸爸告誡孩子：「14 × 3等於52，你不應該算錯這麼簡單的問題！」孩子隨即告訴爸爸：「14 × 3等於42，不是52！」

每個人的一生可能經常在算錯，除了思考要更虛心、細心，也應該多多觀摩、肯定與學習各種靈活有效的計算方式。一個學生在未來的升學、求職路上，想要算得精確並減少失誤，一定要理解許多運算的重要原理，並透過適當、適量的練習，提高自己的運用能力。

例如在國小、國中數學經常被提到的計算觀念「乘法對加法的分配律」，就一定要確實了解並學以致用。分配律其實就是說：計算數量的多少可以「一起算」或「分開算」，且兩者算得的正確答案一定相等，但解決方法可以考慮其數字關係，有時「一起算」會比較好算；有時「分開算」會比較好算。

當然，從數學學習的角度來看，可以解對問題的各種方法，都是好的方法。但因為解題仍要重視效率，因此如何運用靈活方式有效率達成解題目標，也是解題者必須學習的重要課題。至於如何「增進數量的運算思考」，以下是幾個必須掌握的基本觀念與學習重點：

◎腦袋是最可靠的計算機

嘉義市豐山鄉盛產愛玉子，每當愛玉子豐收的季節來臨，鄉公所就會召募工人幫忙採收。工人們爬到樹上，用熟練的技巧採愛玉子，每採100個愛玉子放入籃子時，工人就會順手摘一片葉子放入自己口袋。等到一天採收工作結束，工人就會檢視口袋內有幾片葉子，一方面了解自己的採收成果，另一方面可以與登記採收數量的人進行核對。工人摘葉子的作用，其實是運用「單位換算」的觀念。

要處理好數量運算問題，首先要了解單位的意義，並認識常用的「單位換算」。例如：「半斤八兩」是來自一斤等於十六兩；「沒有分寸」是因為一公寸等於十公分；「得寸進尺」是因為一公尺等於十公寸；「三更半夜」是因為一夜有五更，三更恰好是整夜的中段。

◎觀念與計數並重的思考

◎不要學了代數，就忘了算術

◎結構化的計數模式

第一章

有一次，我各給幾個國中生一疊紙牌，要他們比較紅牌與黑牌相差多少張？有學生快速數得紅牌張數、數得黑牌張數，並相減得出答案；也有學生先依牌色分出兩堆，再數得各堆張數，相減算出答案。但他們的解題效率與正確性，都不如一個數學成績普通的小學生，他拿起相同張數的兩種顏色紙牌往別處丟，最後留下的紙牌，就是紅、黑紙牌相差的張數。

許多國中生懂得使用「等量減法」解決數學問題，這個小學生根本沒聽過「等量減法」這個詞，卻能把「等量減法」的性質運用得實際且澈底。

由上可知：優劣成敗的最大差異，絕對不只是知識程度...

第１章　增進數量的運算思考
　　腦袋是最可靠的計算機
　　觀念與計數並重的思考
　　不要學了代數，就忘了算術
　　結構化的計數模式
Q&A 1-92題

第２章　啟發圖形的辨析智慧
　　幾何圖形的基本性質
　　圖形的重組能力
　　立體圖像的察覺力
Q&A 93-146題

第３章　培養關係的推展能力
　　關係的連結與轉換
　　有條不紊的關係推算
　　關係的運用與推展
Q&A 147-200題

第１章　增進數量的運算思考
　　腦袋是最可靠的計算機
　　觀念與計數並重的思考
　　不要學了代數，就忘了算術
　　結構化的計數模式
Q&A 1-92題

第２章　啟發圖形的辨析智慧
　　幾何圖形的基本性質
　　圖形的重組能力
　　立體圖像的察覺力
Q&A 93-146題

第３章　培養關係的推展能力
　　關係的連結與轉換
　　有條不紊的關係推算
　　關係的運用與推展
Q&A 147-200題