CHAPTER 32

打敗賭場的超完美計畫

（※以下部分節錄）

　　在這一章裡，我們將試著從賭場手中把錢贏回來（又來了）。別再說我都沒幫你了！

　　請思考一個遊戲：我要擲硬幣。若出現正面，我什麼都沒贏；若出現反面，我會贏得3美元。

　　因此，在這場遊戲中，期望值為1.5美元，因為其中一種結果（一半的機率）會讓我空手而歸；還有另一種結果（一半的機率）能讓我贏得3美元。因此，將0乘以1／2再加上3乘以1／2後，就能得知我平均能贏一塊半。假如參加這個遊戲的費用為1美元，那麼理性如我，自然願意付費參加（當然，即便預期獲利高於成本，總會有些風險仇視者死都不願意掏自己的錢去賭）。

　　但是，先等一下，1.5的期望值到底意味著什麼？我永遠都不可能在一場遊戲中贏到1.5美元，因為我不是贏到3元，就是一無所獲。因此，期望值代表了我們打算進行多次實驗，或進行多次下注。

　　假如我擲硬幣一百次，預期得到正面與反面各50次的結果。50次的正面不會讓我贏到錢，而50次的反面則會讓我贏到3×50美元。因此，在100次的遊戲中，我有望贏得150美元。那麼，每一場比賽的平均收益是多少呢？

　　將150美元除以一百場遊戲，就會得到一模一樣的答案：1.5美元。這就是期望值！再說一次，期望值指的永遠是多次嘗試，否則就沒有任何意義。

　　由於這個問題極為重要，因此請容我再呈現一個例子，儘管這個例子略為複雜：

　　蘇西被邀請加入一個遊戲：她要擲一顆公正的骰子，若結果為6，她就能贏10美元，若結果為其他，則她必須付5美元。她應該加入這個遊戲嗎？

　　你不需要懂得機率，就知道應該拒絕，但我打算更深入地探討這個問題，讓我們更加理解「期望值」的概念。

　　讓我們用X來表示蘇西在這個遊戲中的收益，然後將X的值與對應機率輸入在表格中：

----------------------------------------------

　　X　　　　10　　　　−5　　

----------------------------------------------

　　P　　　　1/6　　　　5/6　　

----------------------------------------------

　　假如我們想知道這個遊戲究竟公不公平，機率對我們有利還是不利，我們就必須計算贏錢的「期望值」。若答案為0，就代表這場遊戲很公平。若答案為負，蘇西最好趕快開溜；若答案為正，她就可以考慮賭一把（注意：只是考慮）。

　　在這個練習中，贏錢的期望值是：E（X）＝−2.5（請驗算）。負號暗示了蘇西最好不要加入，因為這個遊戲受到操控，除非擲骰子這件事本身就能讓她快樂。

　　但是，−2.5實際上意味著什麼？

　　假設蘇西打算玩六百次。在做出如此不明智的舉動後，她的經濟狀況會變得怎麼樣？

　　依照骰子的機率，她應該能擲出約一百次的6，每次可贏得10美元；因此她或多或少能贏得1,000美元。與此同時，她會出現約五百次不是6的結果，每次需支付5美元，合計約2,500美元。進行600次遊戲後，最終將讓她損失1,500美元。因此，每場遊戲的平均損失為：

　　E（X）＝−1,500／600＝−2.5

　　換言之，只要蘇西玩得夠多次，我們就能輕易預測她的虧損總額：只需將−2.5乘以遊戲次數即可；例如，若她玩了一千次，便可預期她會損失約2,500美元。

　　顯然，在單一場遊戲的脈絡下，−2.5並沒有實質意義，也不可能成為實際的輸贏金額，因為她不是贏10美元，就是輸5美元。但若重複進行多次，我們便能相當準確地預測最終結果。（記住：若只擲一次或極少次硬幣，我們無法預測結果；但若重複進行許多次，便能合理描述其整體走向。）

　　整體而言，我們可以總結如下：若某一遊戲的期望值為正，長期來看便值得參與；若期望值為零，則只是浪費時間；而期望值為負的遊戲，則不應參與。這些建議自然是建立在「人類為理性行動者」的假設之上。然而，這項假設本身並不穩固，也不夠精確。為了說明理性與期望值計算之間錯綜複雜的關係，接下來我將再舉兩個例子。

　　在第一個例子中，遊戲參與者面臨兩個選擇：其一，直接獲得100萬美元；其二，擲一次硬幣—得到正面什麼也得不到，得到反面則可贏得1,000萬美元。從期望值的角度來看，顯然應選第二個方案，因為其期望值更高，為500萬美元。

　　其機率函數如下：

----------------------------------------------

　　X　　　　0　　　10,000,000

----------------------------------------------

　　P　　　　1/2　　　　1/2　　

----------------------------------------------

　　因此，期望值如下：

　　（1/2×0）+（1/2×10,000,000）

　　答案是500萬。

　　如果擲硬幣的期望值為500萬，那麼人們究竟該選擇擲硬幣，還是保守一點，只拿走100萬就好呢？我想，只要不是超級有錢的人，應該都會選擇保守的路，因為即便這100萬遠比潛在的1,000萬或預期的500萬少，但至少它是確定可以拿到的。這個金額足以讓許多人溫飽。

　　另一方面，對那些瞧不上100萬的大富豪來說，他們自然會選擇賭一把，因為他們可能會因此贏得更多—第二個選擇的期望值比100萬高出了五倍。

　　現在，我們來認識「不確定決策理論」中的另一個重要概念：「效用函數」（utility function）。沒錯，金錢的價值不該僅以數字來衡量。在分析1,000美元的價值時，我們也應該問：對誰而言？對縮在街角、無家可歸的流浪漢來說，1,000美元足以讓他吃上好幾個月；但若我們將這筆錢匯到伊隆．馬斯克或英皇查理斯三世的戶頭裡，他們不僅根本不會注意到，就算是蘇格蘭場（倫敦警務處總部）最優秀的警探鍥而不捨地追查，恐怕也找不到這筆錢的流向。當然，1,000美元對富人的價值，自然不如對資源較為匱乏者來得大（儘管也有某些富豪連一塊錢都不肯輕易放過）。

　　總而言之，在決策理論中，多數問題都會透過某種效用函數來分析，而計算過程自然也包含期望值。價值的判斷，從來不只是建立在數字大小之上。

該怎麼做，才能把把都贏？

　　尼諾帶著一份「天才」計畫，打算到賭場贏得1美元：他走到輪盤賭桌旁，然後把1美元押在紅色上（如果你需要複習一下規則，請翻到第十九章）。

　　如果輪盤的圓球停在紅色上，他就能贏得1美元，任務也圓滿成功。倘若沒有，他會再下注一次紅色，但這一次，他會押2美元。假如這一次開出紅色，他會贏得2美元，整體收支將是贏得1美元（2−1）。但如果又輸了怎麼辦？那麼他此刻將輸掉3美元，因此按照計畫他會下注4美元在—你說呢？—紅色上。贏了，他就會賺到1美元；輸了，尼諾會下注8美元在紅色上，如此反覆進行著，直到球停在紅色上，讓他贏得夢寐以求的1美元。

　　這種下注方式，稱為「翻倍法」（the doubling method）。儘管有別的名字，但數學家們偏愛稱此為「馬丁格爾」（mar-tingale）。馬丁格爾是一種投注策略，而尼諾使用的正是其中最簡單的一種……

（精彩待續）

CHAPTER 32

打敗賭場的超完美計畫

（※以下部分節錄）

　　在這一章裡，我們將試著從賭場手中把錢贏回來（又來了）。別再說我都沒幫你了！

　　請思考一個遊戲：我要擲硬幣。若出現正面，我什麼都沒贏；若出現反面，我會贏得3美元。

　　因此，在這場遊戲中，期望值為1.5美元，因為其中一種結果（一半的機率）會讓我空手而歸；還有另一種結果（一半的機率）能讓我贏得3美元。因此，將0乘以1／2再加上3乘以1／2後，就能得知我平均能贏一塊半。假如參加這個遊戲的費用為1美元，那麼理性如我，自然願意付費參加（當然，即便預期獲利高於成本...

PART 1
百分之百派上用場的
──統計思考法
CHAPTER 1　獨自閃閃發光的統計
　　● 無孔不入的統計數據
　　● 統計的危險性
　　● 沐浴在統計之下
　　● 老實說，統計究竟是什麼？
CHAPTER 2　人人都徜徉在「數字海」中
　　● 識讀那些可疑的言論
　　● 民意調查真的代表民意嗎？
　　● 人的幸福感從何而來？
　　● 「慢慢開」的駕駛真的比較安全嗎？
　　● 不懂裝懂之人
CHAPTER 3　檸檬汁劫案與「達克效應」
　　● 達克效應：無知並不可恥，可恥的是⋯⋯
　　● 我可不是在說笑！
　　● 你分得清「鈾」和「天竺葵」嗎？
　　● 關於「達克效應」，更多的研究是⋯⋯
CHAPTER 4　人數與百分比
　　● 馬鈴薯的百分比
　　● 何謂「百分之九十九肯定」？
　　● 辛普森悖論：柯瑞vs喬丹
　　● 利息要怎麼收最有利？
CHAPTER 5　百分位數：頂層與底層邏輯
　　讓我先從「中位數」開始下手，再進一步闡述它與「百分位數」的關係……
CHAPTER 6　對你來說，「貧窮」是什麼？
　　● 所有事物都是相對的嗎？
CHAPTER 7　有點「平均」的一堂課
　　● 數據分布：找到你在團體中的位置
　　● 羅斯林法則：美麗的少數？
　　● 非典型平均數
　　● 什麼是「高於平均」？
CHAPTER 8　從平均到移動，發生了什麼事？
　　● 幾何平均數
　　● 信封悖論：哪個信封裝的錢比較多？
　　● 調和平均數
　　● 回到貧富差距的世界
CHAPTER 9　數字中的老大是誰？
　　● 總是反覆出現的神奇數字
　　● 哪一個數字最受歡迎？
　　● 紐康悖論：天人交戰的選擇
CHAPTER 10　統計圖表能還原故事的真相嗎？
　　● 民調告訴你的其實是⋯⋯
　　● 眼鏡蛇效應：不當誘因
　　● 採櫻桃謬誤
CHAPTER 11　分布與偏差：撥雲見日的魔法
　　● 敲響高斯之鐘
　　● 分布與偏差，情況還多著呢⋯⋯
　　● 標準分數：讓數據優劣無所遁形
　　● 人人有獎vs一人獨得的樂透彩
CHAPTER 12　統計圖表的「套路」有多深？
　　● 心滿意足的顧客？
CHAPTER 13　破解「再創新高」的迷思
　　● 「線性」與「對數」尺度
　　● 地震、新冠疫情與「對數尺度」
CHAPTER 14　「相關性」並不等於「因果關係」
　　● 可疑的關聯與因果
　　● 認識一個超重要數字！
　　● 如何計算「相關係數」？

PART 2
百分之百派上用場的
──機率思考法
CHAPTER 15　歡迎來到「機率」主宰的世界！
　　人生中只有兩件事是肯定的：死亡和稅單。不！這根本不是真的……
CHAPTER 16　擲硬幣（上）：暗黑機率學
　　只有兩個選項的事實，就能保證其發生機率是一半一半嗎？
CHAPTER 17　三名囚犯的故事
　　甲乙丙三名囚犯，其中一人明天就會被吊死。聰明如你，該如何度過這漫漫長夜呢？
CHAPTER 18　擲硬幣（下）：光明機率學
　　為什麼硬幣不可以製造出正面、正面、正面、正面⋯⋯又是正面跟正面的結果呢？
CHAPTER 19　失敗的輪盤賭徒
　　● 來玩一把吧！
　　● 難忘的賭徒之夜
　　● 被誤解的「大數法則」
CHAPTER 20　「巨數法則」與不可能的任務
　　● 巨數法則：沒有不可能的事
CHAPTER 21　機率如何幫助你克服萬難？
　　● 手術台上的搏命機率
　　● 絕對不可能碰面的聚會？
　　● 連續猜對六個數字！
CHAPTER 22　機率是如何計算出來的？
　　● 經典機率論的基本原則
　　● 百科全書也會出錯
CHAPTER 23　成人限定的兒童遊戲
　　● 插曲：兩個事件的條件機率
　　● 鏡頭轉回鮑里斯與尼娜
CHAPTER 24　梅赫騎士的悖論
　　● 瘋狂的骰子
CHAPTER 25　機率能讓你成為百萬富翁嗎？
　　現在，讓我們從個別賭徒，轉移到由國家主導的賭局上吧……
CHAPTER 26　投籃、生日和其他怪奇機率
　　● 路人跟你同一天生日的機率是？
　　● 數字23之謎
　　● 小插曲：民調與球池
CHAPTER 27　恐慌、犯罪和那些小奸小惡
　　● 解救驚慌失措的鱷魚
　　● 是誰殺了甘迺迪？
　　● 當新冠肺炎蔓延時⋯⋯
　　● 貝氏定理：檢驗故事背後的數學
CHAPTER 28　莎莉．克拉克的人倫悲劇
　　一位媽媽被控謀殺了自己的兩個孩子……「機率」能解救她嗎？
CHAPTER 29　辛普森的世紀審判
　　被指控謀害妻子的殺人犯，「機率」能讓他逃過法律制裁嗎？
CHAPTER 30　黎明、決鬥與民主
　　● 好人、壞人和神槍手
　　● 午睡前的機率練習
　　● 男孩或女孩的機率難題
　　● 競技場的決鬥策略
　　● 民主的（渺茫）機率
CHAPTER 31　尋找傳說中的「白烏鴉」
　　每隻烏鴉都是黑色的，所以「凡不是黑色的，就不是烏鴉」？
CHAPTER 32　打敗賭場的超完美計畫
　　● 不公平的遊戲
　　● 該怎麼做，才能把把都贏？
　　● 就等N出現了！
CHAPTER 33　哇！期望值「無限」的賭局
　　●聖彼得堡悖論：保證回本，不賭嗎？
　　●粗心大意的祕書與換妻派對
結語──100名死囚的背水一戰
致謝

PART 1
百分之百派上用場的
──統計思考法
CHAPTER 1　獨自閃閃發光的統計
　　● 無孔不入的統計數據
　　● 統計的危險性
　　● 沐浴在統計之下
　　● 老實說，統計究竟是什麼？
CHAPTER 2　人人都徜徉在「數字海」中
　　● 識讀那些可疑的言論
　　● 民意調查真的代表民意嗎？
　　● 人的幸福感從何而來？
　　● 「慢慢開」的駕駛真的比較安全嗎？
　　● 不懂裝懂之人
CHAPTER 3　檸檬汁劫案與「達克效應」
　　● 達克效應：無知並不可恥，可恥的是⋯⋯
　　● 我可不是在說笑！
　　● 你分得清「鈾」和「天竺葵」嗎？
　　...