2. 如何秤出巧克力的重量？

某巧克力工廠生產的一款全脂牛奶巧克力片正好重100公克。融化的巧克力會被適量分流到模具中，感謝現代科技，要做到這一點完全沒有問題。然而機器有時也會出現偏差，就像下面這種情況一樣。

由於機器設定出現錯誤，導致有一整批的巧克力片都超重了5公克。還好，廠長很快就發現了這個錯誤，並且將機器重新校準好了。

他將裝有超重巧克力片的托盤推進了倉庫。因為對這個錯誤感到太生氣，結果他忘記自己把這些重105公克的巧克力片放在哪裡了。倉庫裡總共有十個托盤，只有一個托盤上的巧克力片重量和其他的不一樣。你的任務就是：

找出那一批105公克重的巧克力片。你可以從托盤中取出多少巧克力片放在秤上都沒關係，這個電子秤的精確度可以到0.001公克，但你只能使用一次。

解答

從第一個托盤取出1片巧克力，從第二個托盤取出2片，從第三個托盤取出3片，以此類推，直到從第十個托盤取出10片巧克力。將這總共55片的巧克力全部放在秤上，然後將秤上顯示的重量減去（55×100 =）5500克。結果將會說明哪個托盤裝有超重的巧克力片。如果減去之後剩5克，那就是第一個托盤超重；如果是10克，就是第二個托盤；以此類推，如果是50克就是第十個托盤。



31. 聰明的邏輯小矮人

邏輯小矮人生活在黑暗的洞穴裡，每個人要麼戴著白色帽子，要麼戴著黑色帽子。他們也不知道總共有多少人住在這山洞中。小矮人每年都有一次機會可以離開洞穴，執行一項任務。如果順利完成任務，他們就可以獲得自由；如果任務失敗，他們就必須回到黑暗的洞穴，等待隔年機會來臨。

今年的任務：小矮人得一個挨著一個排隊，戴著白色帽子的小矮人站一邊，戴著黑色帽子的小矮人站在另一邊。但是小矮人看不到自己帽子的顏色，除此之外，他們既不可以互相說話，也不可以用任何方式提示或相互告知帽子的顏色，例如用手和眼睛，還有使用鏡子之類的花招都不允許。

不過小矮人可以充分發揮他們的智慧和邏輯推理能力，而且他們幾乎立刻就完成了任務。

小矮人既不可以說話，也看不到自己的帽子，但他們還是依據帽子的顏色排成了一行，一邊是黑色，一邊是白色。他們究竟是如何做到的？

答案

第一個小矮人站在所有人的前面，第二個小矮人站在他旁邊，剩下的小矮人再一個接一個站進隊伍中。若要根據帽子顏色完成分類，小矮人們必須遵守兩個規則：

1、如果這兩個小矮人的帽子是同一種顏色，新加入的小矮人就站在他倆的右邊或左邊。

2、當面前的小矮人已經分別戴著黑色和白色的帽子，新加入的小矮人就站在黑色帽子和白色帽子小矮人的中間。

這樣，小矮人就算完全不說一句話，也可以根據帽子的顏色來排隊。

2. 如何秤出巧克力的重量？

某巧克力工廠生產的一款全脂牛奶巧克力片正好重100公克。融化的巧克力會被適量分流到模具中，感謝現代科技，要做到這一點完全沒有問題。然而機器有時也會出現偏差，就像下面這種情況一樣。

由於機器設定出現錯誤，導致有一整批的巧克力片都超重了5公克。還好，廠長很快就發現了這個錯誤，並且將機器重新校準好了。

他將裝有超重巧克力片的托盤推進了倉庫。因為對這個錯誤感到太生氣，結果他忘記自己把這些重105公克的巧克力片放在哪裡了。倉庫裡總共有十個托盤，只有一個托盤上的巧克力片重量和其他的不一樣...

如何解開數學謎題

(摘錄)

這本書能來到你的手上，我相信絕非偶然。你可能很喜歡數學，一定也很愛思考。所以我想提前給你一些建議，這樣你就不會對接下來的謎題感到挫折。雖然我無法給大家提供普遍適用的解答策略──這種策略根本不存在，但還是有些關於如何解題的建議供你參考。如果你讀過我的其他書，那麼你可能會對其中的一、兩個建議感到熟悉，因為其他書裡有一整篇章節，是關於如何找出充滿創造力的解答方法。我在這裡將更詳盡補充說明這些建議。

不要放棄，堅持到底

如果你想解決一道難題，首先，你該把這個題目從頭到尾徹底思考一遍。就算你毫無頭緒，也不要馬上去翻答案，給自己多一點時間和耐心。你可以暫時將這道謎題放在一邊，先試試下一題，轉換一下思維，或許你就會突然開竅了。或者隔天早上刷牙時，腦中也有可能會冒出令人驚喜的解題靈感。

仔細分析題目文本

解題之前，你必須理解這道題目的意思。當你閱讀題目文本，遇到不好理解的地方時，就該注意了。題目中的這些「絆腳石」經常會提供有用的提示。舉一個和這本書中「第12題」相似的題目為例：

兩個俄羅斯數學家在飛機上偶遇。其中一個數學家問道：「你是不是有三個兒子？他們現在多大了啊？」

另一個數學家回答：「他們年齡的乘積是36，年齡的總和正是今天的日期。」提問的數學家說：「呃，這些條件還不夠。」「噢，對了，我忘說了，我大兒子有一隻狗。」那麼，數學家這三個兒子的年齡分別是幾歲呢？

為什麼會提到狗？你也覺得這一點很奇怪吧？你再仔細想一下，就會發現這裡也可以用一隻貓、一台遊戲機或一種頭髮的顏色來替代這隻狗。這句話之所以看起來很重要，是因為夾帶了其他的細節。至於怎麼解題，在這裡我先不多透露。

儘量簡化問題

我們常常會遇到有些數值很大，或者需要我們分析全部情況的題目。例如，有一百個說謊者和一百個誠實的人坐在一張桌子旁，他們在說一些奇怪的事情。要解決這類問題非常困難。你可以先嘗試簡化的版本—桌子旁邊坐著兩個說謊者和兩個只說真話的人──在簡化版的解題過程中，你或許能發現其他方法來解決更大的問題。

另闢蹊徑

離開舒適圈，放棄熟悉的思考路徑，是催生創造性想法最重要的方法之一。這一點在數學中通常很難實現，因為我們習慣運用自己學過的解答技巧。就像坐火車去旅行一樣，我們只能到達那些鋪有鐵軌的地方。換個視角或改變問題的形式，應該會很有幫助。一個與數字有關的題目，也可以從幾何的角度來解答。舉一個例子：

某個男人為了在下午兩點到達山頂的小屋，他在早上十點的時候從山谷出發，開始徒步遠足。到達山頂後，他在小屋裡住了一晚。第二天早上十點，這個男人又出發走回山谷。由於是下坡，他在下午兩點前就抵達山谷。試論證，在這兩天內，早上十點到下午兩點之間，在哪一個時間點上，這個徒步者恰好處在同一高度位置？

我們對山的高度、坡度和徒步者的速度一無所知。儘管如此，只要把這個問題改動一下，解題的方法就出來了。

兩個男人從早上十點時開始徒步遠足，最多花了四個小時。一個人從山谷向山頂走，另一個人從山頂向山谷走。試論證，早上十點到下午兩點之間，在哪一個時間點上，這兩個徒步者恰好處在同一高度位置？

解題方式就很簡單，將高度拉成直線，你只需要求出兩個徒步者在遠足途中相遇的瞬間即可。

再舉一道題為例：

1 + 2 + 3 + 4 +⋯+ 97 + 98 + 99 + 100 的總和是多少？

我們當然可以用心算或計算機來算出答案，但年輕的數學家高斯（Carl Friedrich Gauss）早就知道一種更好的方法。他將數字重新整理如下：

（1 + 100）+（2 + 99）+⋯+（50 + 51）的總和是多少？

我們可以直接得出結果為101×50 = 5050。

最後再舉一個例子。這是一個關於日曆的題目，要解這道題有一個非常特別的訣竅。

某個男人有兩個木製立方體，可以用來排出每個月從01號到31號的日期。請問這兩個立方體上有哪些數字？

要分析這個問題相對簡單，因為每個立方體最多只能放六個數字，代表我們需要將0到9的數字合理分配到這兩個立方體上。問題是，該如何分配？一個月的日期從01號開始，到31號結束，所以無論如何都會有一個11號和一個22號，即兩個立方體上都必須要有數字1和數字2。因為1到9有九個數字，而一個立方體上只能放六個不同的數字，為了排出從01號到09號的日期，兩個立方體上也必須都要有數字0。

現在兩個立方體上已經有六個面被數字0、1、2佔據，還剩下六個面的空位，可是還有3、4、5、6、7、8、9這七個數字還沒放上去啊！如果我們在第一個立方體寫上0、1、2、3、4、5，第二個立方體寫上0、1、2、6、7、8，那數字9就沒位置了，怎麼辦？難道答案根本不存在嗎？

不，答案只有一個，而且我們已經找到了—需要數字9的時候，把數字6 倒過來就好了！如此，這個立方體日曆的謎題就解開了。

別被題目牽著鼻子走

有時候解一道題，最怕就是答案可能多到無法計算。例如下面這一題：

請找出所有包含數字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9的十位數的質數（只能被1 和自身整除的數）。

如果你稍微了解組合數學，就會明白這十個數字可以組合成三百多萬個不同的數。該如何檢驗每一個數是不是質數？到底是誰想出這樣一道題目？這種題型最有可能的情況是，要麼只有一個答案，要麼根本就沒有答案。我們這道題目就是屬於後者。

有一個規則可以幫助我們解決這道難題：所有由這十個數字組成的十位數，字面數字相加都是45（= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6+ 7 + 8 + 9）。45不僅可以被3整除，還可以被9整除，所以由這十個數字組成的十位數都可以被3 和9 整除，由此可知它們全都不是質數。

間接取代直接

上面的題目是關於三百多萬個不同的數，這裡我們再進一步到無限多的數。

試證明質數有無限多個。

我們可以嘗試把所有質數逐一列舉，也可以確定這種做法永遠沒完沒了，而我們永遠也無法證明質數有無限多個。面對這種問題，我們不能直接解決，而是要從間接著手，也就是繞過來解決。闖空門的人基本上都是這麼做的，他們不會撬開房屋大門上厚重的鎖，而是繞到房屋的背面，在那裡找到比較好開的地下室窗戶。

我們可以反駁論點，用這種非直接的方式來證明論點。由於數學的邏輯一致性，間接證明是完全可行的。一個論點要麼正確，要麼錯誤，互相矛盾的論點不可能同時為真。因此，我們假設質數的數量是有限的，更確切地說有n個質數。我們將這些質數列為P1、P2、P3⋯Pn，並且相乘：

P1×P2×P3×⋯×Pn

我們得到了一個有趣的自然數，它可以被n個質數整除，即P1、P2、P3⋯Pn裡的任何一個整除，因為這個自然數是所有這些質數的乘積。真正的重點來了，我們在n個質數的乘積再加上1：

P1×P2×P3×⋯×Pn + 1

所得之數也是一個自然數，然而它不能被n個質數裡的任何一個整除。更確切地說，它在做除法時總會剩下多餘的1。因此，這個自然數本身即是質數，它不包含在P1、P2、P3或Pn裡面，也不是兩個或更多質數的乘積。所以，這個質數並不屬於前面列出的n個質數，這與我們只存在n個質數的假設互

相矛盾。由此可證，「質數的數量是有限的」這個假設是錯誤的。反之即意味著質數的存在有無限多個。

我知道，間接證明看起來有些奇怪，而且必須要能抓準論點的對立面。但我們不得不承認，這個方法十分有用。

如何解開數學謎題

(摘錄)

這本書能來到你的手上，我相信絕非偶然。你可能很喜歡數學，一定也很愛思考。所以我想提前給你一些建議，這樣你就不會對接下來的謎題感到挫折。雖然我無法給大家提供普遍適用的解答策略──這種策略根本不存在，但還是有些關於如何解題的建議供你參考。如果你讀過我的其他書，那麼你可能會對其中的一、兩個建議感到熟悉，因為其他書裡有一整篇章節，是關於如何找出充滿創造力的解答方法。我在這裡將更詳盡補充說明這些建議。

不要放棄，堅持到底

如果你想解決一道難題，首先，你該把這個題目從頭到尾徹底思考...

前言
導引：如何解開數學謎題

鐘錶、蠟燭和手槍──經典謎題
1. 接下來會是什麼圖形？
2. 如何秤出巧克力的重量？
3. 完美對準的鐘錶指針
4. 只有一個暴徒活下來，為什麼？
5. 酒裡的水，水裡的酒
6. 只要點燃就好啦！
7. 他能成功穿越沙漠嗎？
8. 怎麼做最省錢？
9. 終極量杯
10. 當內向遇到外向
11. 蘋果在哪？柳丁在哪？
12. 兩個數學家相遇
13. 四個步行者和一座搖晃的橋
14. 當石頭沉到湖底
答案

無關數學──橫向思維
15. 請不要開槍！
16. 救救可憐的小鴨子
17. 沙漠中的死人
18. 奇怪的司機
19. 間歇性睡眠
20. 古怪的發現
21. 汽車旅館旁的喇叭演奏會
22. 樓梯間的感應
23. 買鞋致命
答案

聰明與機智──發揮創意
24. 貝洛的神奇走位
25. 貓咪加速度
26. 數字填空
27. 哪個開關對應哪盞燈？
28. 如何提防郵局裡的小偷？
29. 不可以吃掉馬
30. 用最快的方法來比誰最慢
31. 聰明的邏輯小矮人
32. 分久必合：分數之和
33. 有頭髮的柏林人
34. 超重的小鋼珠
答案

說謊者和囚犯──邏輯謎題
35. 誰是小偷？
36. 找出說謊者
37. 三個邏輯學家去酒吧
38. 足球協會的問卷調查
39. 說謊的人和誠實的人
40. 島上的說謊者
41. 一個旅行者、兩個問題、三個幽靈
42. 五頂帽子和三個囚犯
43. 拯救藍色小精靈
44. 運用邏輯拯救工作
45. 被難倒的智者
46. 桌邊的說謊者
答案

瓷磚和圓圈──直觀幾何題
47. 調皮的螺旋線
48. 一個正方形＝兩個正方形
49. 認命數地磚？
50. 圈圈圓圓圈圈
51. 再塞一個球進去
52. 兩個角錐的貼面禮
53. 農夫、樹、三角形草場
54. 灰色的陰影面積
55. 切割立方體
56. 地毯妙用
57. 圓裡的相交直線
答案

一變四──數字謎題
58. 計算年齡
59. 找出規律
60. 胡說八道的計算機
61. 有多少個數字能被45整除？
62. 冪的雜耍
63. Forty+ten+ten=sixty
64. 把數字倒過來
65. 混淆歐元和歐分
66. 二○一○年德國奧數題
67. 數字魔法
68. 古怪的運算
69. 剩下的錢給妹妹
答案

輪盤賭博和體育運動──排列組合題
70. 寄宿家庭有幾個女孩？
71. 特務訓練
72. 世界乒乓球大賽
73. 俄羅斯輪盤
74. 誰輸了第二局比賽？
75. 西洋棋比賽的輸家
76. 誰贏了跑步比賽？
77. 彩票機率的辯論
78. 生日悖論
79. 十個互不信任的強盜
80. 公平分配小蘋果
答案

渡輪、樓梯、橋樑──動態謎題
81. 狹路相逢
82. 能趕上渡輪嗎？
83. 神祕的渡輪
84. 划船時帽子掉了
85. 城市環形公路
86. 復古巴士的聚會
87. 電扶梯上的賽跑
88. 電扶梯有幾級？
89. 卡薩諾瓦不相信隨機
90. 環球飛行接力
91. 起風了
答案

硬幣、玻璃杯、小偷──打破思考界線
92. 五十枚硬幣的決鬥
93. 玻璃杯的測試
94. 提高自由的機會
95. 戰略性能源布局
96. 一張桌子、兩個小偷、一堆硬幣
97. 桌上的五十支錶
98. 由0 和1 組成的自然數
99. 誰與誰握手？
100. 薛丁格的儲物櫃
答案

致謝

前言
導引：如何解開數學謎題

鐘錶、蠟燭和手槍──經典謎題
1. 接下來會是什麼圖形？
2. 如何秤出巧克力的重量？
3. 完美對準的鐘錶指針
4. 只有一個暴徒活下來，為什麼？
5. 酒裡的水，水裡的酒
6. 只要點燃就好啦！
7. 他能成功穿越沙漠嗎？
8. 怎麼做最省錢？
9. 終極量杯
10. 當內向遇到外向
11. 蘋果在哪？柳丁在哪？
12. 兩個數學家相遇
13. 四個步行者和一座搖晃的橋
14. 當石頭沉到湖底
答案

無關數學──橫向思維
15. 請不要開槍！
16. 救救可憐的小鴨子
17. 沙漠中的死人
18. 奇怪的司機...