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黃光文∣《誰都可能呼攏你，但是數學不會》作者

劉奕酉∣《高勝算的本事》作者

賴以威∣數感實驗室共同創辦人、臺師大教學發展中心主任

﹝按姓氏筆畫排序﹞

化繁為簡的數學腦

幾年前，我在一個學校活動中，向青少年觀眾徵詢了一些估算問題，並試著當場回答。其中有個學生提出了一個直白的問題：「全世界有多少隻貓？」

貓這個主題總是很受歡迎，於是我接受了挑戰。

我的思路是這樣的：

我們先假設大多數貓都是家貓。

有些人不只養了一隻貓，但通常如果有貓的話，每戶家庭只會養一隻。

在英國，並以我自己住的街區為例，似乎可以合理假設，每五戶家庭就會養一隻貓。

此外，如果一個家庭平均有兩個人，那就表示每十個人就會有一隻貓。

這樣一來，英國有七千萬人口，我們可以假設英國可能有大約七百萬隻貓。

目前為止都很順利。但全世界的貓有多少隻呢？在印度或中國等國家，貓大概不太可能像在英國那樣受歡迎（我無從得知，這純粹是我個人推測），所以，我猜全世界的貓和人口的比例會比英國更低──可能是每二十人會有一隻貓？

因此，以全球80億人口為基礎，表示可能有：

80億÷20 = 4億隻貓

這個數字看起來不會太離譜。

總之，我提出了這個估算。有一名觀眾舉起了手。

他說：「實際上是6億隻貓。」

「真的嗎？你怎麼知道？」

「我在網路上查到的。」

解決了，我們不用再思考其他答案。

但如果真的如此簡單，那我們就可以完全摒棄估算這回事了。只需要在Google上點擊幾下，不管是什麼問題，你應該都可以馬上找到答案。

除了一個關鍵的問題。

那就是：那個在網路上公布6億隻貓這個數據的人，他是如何算出來的？我很確定沒人去環遊世界做過貓的普查。6億這個數字只是一個估計值。這個估算所使用的概念可能比我的稍微科學，經過嚴格的調查和交叉檢查。但網路上的數字，似乎多半更類似於我前文描述的那種「信封背後的快速估算」。或者，他們可能只是捏造了一個符合目的的數字。沒理由相信他們的數字會比我的更可信，事實上，它可能更不可信。

一旦像這樣的統計數據出現在報紙上，被引用在網站上，它就變成了「事實」，因為不斷地被反覆引用，它的原始來源不僅不會受到質疑，甚至可能從此被遺忘。

這給了我們一個重要的提醒。無論在哪裡，大多數的統計數據都是估計值，並且使用快速估算。即使快速估算結果與實際結果天差地遠，那也不表示我們不該估算。相反地，這意味著那些公布的數字應該受到更多審視。

我們傾向於將數學視為一門「精確」的學科，只有對或錯的答案。確實，數學有很大一部分關乎精確性。

但在日常生活中，數字有時候不過是辯證的開端。如果我們習慣去相信每個數字問題背後都有一個標準的「正確」答案，那麼我們會忽略一項事實—現實世界中的數字，比在純數學中的數字模糊得多。

在本書的撰寫過程中，我意識到一種矛盾。一方面，我主張估計的數字通常比精確的數字更能提供資訊，也更可信；但與此同時，為了估計出這些答案，我們也必須知道如何進行精確的計算，例如使用基本乘法表。具體而精確的數學，是我們日常生活中所必須處理的模糊數字的基礎。

我將本書分成四個部分。

在第一部分，我會探討精確數字產生的誤導，以及為何我們不該完全依賴計算機。

第二部分包括必備的算術技巧和其他知識，如果你想進行快速估算，這些知識是必不可少的基礎。這部分也包含算術的複習，某些你可能自小學以來就不再練習的技巧，以及一些你可能從來沒有想過的捷徑。

本書的第三部分將示範如何用上述這些技巧來解決問題──從日常問題到影響力更大的問題，例如環境保護議題。最後，還有一些所謂的費米問題：這種奇特且深奧的挑戰，是依靠極少量的事實數據算出合理的答案。

快速估算是一項重要而有價值的生活技能。但這並不是唯一的好處。有很多人沉迷於研究快速估算，是因為這種活動有趣又刺激，可以讓大腦保持靈活。

化繁為簡的數學腦

幾年前，我在一個學校活動中，向青少年觀眾徵詢了一些估算問題，並試著當場回答。其中有個學生提出了一個直白的問題：「全世界有多少隻貓？」

貓這個主題總是很受歡迎，於是我接受了挑戰。

我的思路是這樣的：

我們先假設大多數貓都是家貓。

有些人不只養了一隻貓，但通常如果有貓的話，每戶家庭只會養一隻。

在英國，並以我自己住的街區為例，似乎可以合理假設，每五戶家庭就會養一隻貓。

此外，如果一個家庭平均有兩個人，那就表示每十個人就會有一隻貓。

這樣一來，英國有七千萬人口，我們可以假設英國可能有大約七...

前言 化繁為簡的數學腦
▍第1章 你以為的精確，其實很危險
兩種思考：信封背面與計算機
假精確，騙過你的眼睛
粗略，有時候更好
敏感度—影響數字的微小因素
眼前的數字有意義嗎？
「精確」之外的可能性
▍第2章 快速估算的利器
估算的基本
算術家與數學家
四則運算再進化
差一點，差很多：小數和分數
別小看數字裡的零
有利估算的事實
ZEQUALS：估算的祕訣
▍第3章 日常估算，讓你搶得先機
跟錢有關的，馬虎不得
大小長短，盡在手中
公制和英制的無縫接軌
統計學裡的估算技巧
看清大局，掌握趨勢
▍第4章 什麼都算得出來！費米估算
面試官為什麼這麼問？
計數：數字思考的起點
機率：掌握未來的能力
更重要的問題：能源、氣候和環境
天馬行空的費米妙問
結語 如果有一天，人類只依賴機器
附錄
答案和提示
致謝

前言 化繁為簡的數學腦
▍第1章 你以為的精確，其實很危險
兩種思考：信封背面與計算機
假精確，騙過你的眼睛
粗略，有時候更好
敏感度—影響數字的微小因素
眼前的數字有意義嗎？
「精確」之外的可能性
▍第2章 快速估算的利器
估算的基本
算術家與數學家
四則運算再進化
差一點，差很多：小數和分數
別小看數字裡的零
有利估算的事實
ZEQUALS：估算的祕訣
▍第3章 日常估算，讓你搶得先機
跟錢有關的，馬虎不得
大小長短，盡在手中
公制和英制的無縫接軌
統計學裡的估算技巧
看清大局，掌握趨勢
▍第4章 什麼都算得出來！費米估算...