下卷前言

下卷的主題是幾何變分學。含三篇

篇七　均曲率幾何的基礎

篇八　Plateau與Berstein問題

篇九　均曲率方程

共九章，即Ch.22-30。

如前所述，微分幾何處理的主要對象是彎曲的空間。上卷已經建立了彎曲空間的基本概念，例如向量場的共變微分與曲率張量，並藉由彎曲空間中測地線的變分，來探測彎曲空間大域的幾何性質，例如對正、負曲率空間，分別有Bonnet-Myers定理、與Hadamard定理。

1. 幾何變分學的鋪陳

二十世紀中期之後，幾何分析（Geometric Analysis）成為幾何學研究的主流。

它涵蓋甚廣，活潑、複雜而深刻。幾何變分學只是其中的一支。我們選幾何變分學作為下卷的主題，主要因為它的提問，自然而有趣。同時它與幾何分析的基礎概念相通。像Hopf最大原理（maximum principle）、比較原理（comparison principle）、流形上的變分、最小曲面及常均曲率曲面的穩定性、stability operator的特徵值、絕對最小與calibration、Sobolev函數、值譜定理、…等，都是幾何分析必要的基礎概念。這些全放進了書的下卷。

幾何變分學中很多經典的idea與貢獻，則為下卷探討的主題，例如：Laplace的毛細估計、Plateau問題、Bernstein問題、迷人的Hopf猜想、與凸性問題等。

在下卷的開始，即篇七Ch.22、Ch.23兩章，我們談均曲率的一些基礎概念，但同時鋪陳一些自然的問題。例如Ch.22中，談曲面積的絕對最小、引入calibration、作出ℝ4中的Plateau解；又從二階變分的計算，證明了Barbosa-do Carmo有趣的定理：ℝn+1中的封閉區面Mn，若均曲率為常數（簡稱cmc = constant mean curvature），而且為穩定（stable），則Mn必為球面。這個所謂stable sphere theorem，其實是1950-1980年間許多幾何學家在思考Hopf猜想（Hopf's conjecture）時，分出去的一條軌跡。

Ch.23也一樣，在探討最小曲面的穩定性這條自然的脈絡中，我們介紹了Jacobi場，Sobolev空間，並證明一般的值譜定理（spectrum theorem）。然後我們以特徵值的估計，證明了鼓面愈大，聲音愈低沉；而且在鼓面面積相同的情況下，證明：鼓面愈對稱，聲音愈低沉。同時，我們把這些有趣的古典分析，與現今的問題相連結。

2. Plateau與Bernstein問題

Plateau問題與Bernstein問題的交會，是1960-70年代幾何界的大事。下卷篇八，三章（Ch.24-26）集中在訴說這個故事。著名的Plateau問題是古典問題，1930年代Jesse Douglas有突破性的進展，他用「三定點手法」成功的控制面積泛函的minimizing sequence，使其極限成為Plateau solution。我們用Ch.24一整章，完整的敘述他原創性的證明。然後我們進入1960年代之後最小曲面的極盛時期，細說那時期幾何學界蓬勃綻放的美麗花朵。

Plateau問題的起源，是在答覆這樣的問題：給定ℝ3中的一條封閉曲線，有沒有以這曲線為邊界，而面積為絕對最小的曲面（稱為Plateau解）？又如果有解，解曲面有否奇點？Bernstein問題則為：在ℝ2上全定義的minimal graph（即表成u=u(x), x ∈ℝ2），是否必為平面？Bernstein定理就某種意義來說，可以說是一種非線性的Liouville定理。

有趣的是，Plateau解曲面有沒有奇點，與Bernstein定理對不對，是同一件事。[Ch.25]。如果我們躲進Plateau solution那奇點的無限小鄰域，去看Plateau的解曲面，我們會看到一個cone（錐面）。相應的，如果我們跑到無限遠處，回頭看Bernstein解曲面，也會看到一個cone。

於是問題轉化成：「在ℝN空間中，除超平面之外，是不是存在minimal cone？」的問題。亦即：是不是有這樣一個面積為絕對最小的錐面（稱之為minimal cone），它不是ℝN-1？若有，則Plateau solution有奇點，Bernstein定理也跟著不對。若沒有，則Plateau solution為regular（沒有奇點），Bernstein定理正確。

這是兩個問題美麗的交會。

3. 意大利學派

藉Ch.25，我們先介紹Bernstein問題的古典背景，亦即在最簡單的ℝ2上考慮minimal graph，並用Chern的觀點，把最小曲面的metric改造[見Ch.25(12)式]，將問題歸結為Liouville定理。隨後我們進入1960年代最小曲面論的highlight：James Simons對兩問題交會所做的貢獻；然後用活動標架法估計第二基本式，而得到維數不大於6，不會有平面之外的minimal cone。藉Ch.26，我們進入意大利學派Bombieri與de Giorgi的世界，引入BV函數（functions of bounded variation），延伸Bernstein定理到7維，建構ℝ8中非平面的minimal cone S3(1/√2) x S3(1/√2)$，並給出8維以上著名而深刻的反例。另外，1970年代Schoen-Simon-Yau直接估算第二基本式，一方面標誌活動標架法的威力，另一方面開啟幾何分析的研究，把幾何與分析做緊密而漂亮的結合，這工作也放在Ch.26，作為篇八的結束。

4. 毛細液面

篇九從Young-Laplace-Gauss對毛細液面的貢獻談起。1805年Thomas Young導出：液面的內外壓力差為均曲率（mean curvature）的常數倍[Ch.27(01)式]。同時，Laplace觀察到：液面的均曲率，與液柱的高度成正比[Ch.27(4)式]。他們的工作開啟了毛細液面與均曲率的研究。我們知道在無重力的狀態下，毛細液面的均曲率必為常數，亦即必為cmc（常均曲率曲面）。

對於Young-Laplace方程[Ch.27，(04)及(05)兩式]，Gauss用虛功原理（virtual work）加以證明，打開變分學的一頁。在Ch.27，我們用現代語言重新詮釋這些，並建立普遍的理論架構，據此深入毛細液面（包含cmc）及相關曲面的探討。

毛細現象有很多有趣的問題，例如一棵樹為什麼可以把土壤裡的水分吸到樹頂？根據早先Laplace的計算，以現有導管的粗細，毛細現象最高只能把水分吸到$10$英尺[Ch.27(31)式]。但很多樹都遠高於10英尺。植物學者認為原因是：葉面水分蒸發具有真空吸力的效果。可是很多溫帶的大樹，冬天葉子都掉光，地裡的水分如何被吸到樹頂？使的樹木存活？Robert Finn給出了答案：因為樹幹中導管的橫截面，實際上不是圓形（如Laplace所假設），而是偏向六角形。秘密就在那些角，當角夠小時，毛細液面會以1⁄r的速率爬升。

這樣的例子揭示我們必須正視毛細液面的複雜性。接連很多問題都與毛細液面的幾何有關。

當重力越小，管壁對液面分子的吸附力（或排斥力）的影響越大，液面越變化多端。尤其當重力越小時，液面的幾何越豐富。例如有趣的凸性問題，見Finn-Korevaar [Ch.27，定理4]與Chen-Huang [Ch.27，定理5、6}]。

又例如一個封閉的容器，裡面除了留有一些空隙之外，幾乎注滿水，把容器拿到太空中，這時空隙會變成什麼樣子？是不是一個球狀？答案是對的（當然也可能是n個球狀）。理由是：這時空隙的邊界是常均曲率的液面。Alexandrov在1956年證明任何一個安裝（embedded，或譯為鑲映）於ℝn+1中的n維封閉曲面Mn，若均曲率定常（即cmc），則必為球狀[Ch.28，定理2]。

但embedding這個拓樸條件是否必要？例如：假定（cmc的）Mn不限定embed（鑲映），而只知immersed（浸映）於ℝn+1中呢？這就是著名的Hopf猜想（conjecture）。Hopf自己證明了：M2若與球面S2同胚，則浸映的cmc M2只能是標準球面。然後是一些有趣的努力：例如前述Barbosa-do Carmo [Ch.21]的穩定球定理，與項武義（Wu-Yi Hsiang）四維空間ℝ4中的反例。1983年，Wente終於證明了Hopf猜想不對：在ℝ3中存在很多cmc環面的反例。

篇九前兩章[Ch.27-28]，把Hopf's differential與Alexandrov的對稱化方法分別做了介紹，並得出他們的定理。在衍篇中，我們附上王藹農簡介Wente環面的幾何。

5. cmc的幾何

篇九的後兩章（Ch.29-30），與本書作者的工作有關，例如：凸性問題、大凹陷定理與Jacobi場的分佈。

1950-1983年間，幾何學家會支持Hopf猜想，其直覺的理由是：cmc封閉曲面$M$似乎不能有凹陷（指Gauss曲率為負的地方）。如果這個直覺是對的，那麼由Hadamard定理，M必然圍出一個convex body，亦即M鑲映於ℝ3中，因此根據Alexandrov定理，M必為球形。

Wente的眾多反例，告訴我們上述的直覺是錯的：M確實有凹陷。Huang-Lin（我與林俊吉）的大凹陷定理，在釐清上述直覺成立的範圍。它說，如果範圍不大，cmc封閉曲面確實不能有凹陷。換句話說，它若有凹陷，凹陷的範圍必須很大，至少包含一個extremal domain。

任何一個domain都可以一直拓廣到成為extremal [即λ1(M)=0，見Ch.29，§2]，extremal domain是相當大的面域，例如M中的一塊面域，若為non-parametric（即可以表成u=u(x), x ∈ℝ2時），它都比extremal domain小。可見cmc曲面凹陷的範圍很大。大凹陷定理的證明，也支持早先我對凸性問題的主張：1970-80年代Brascamp-Lieb、Caffarelli-Friedman、Finn、Korevaar、Chen-Huang、Shih等人處理的凸性問題，關鍵在於：問題是不是well-posed？

亦即，當我們期望在凸區域（convex domain）上的任何一個橢圓方程解，本身也是convex時，邊界條件不能加在零階（Dirichlet），或一階（capillary或Neumann），而應加在二階[Ch.29，§1]。

另外，在cmc曲面上的一個domain D(t)隨著時間t，從一個點鄰近的小小範圍連續加大，記成{D(t), 0≤t
在篇九Ch.30，亦即，在本書的最後一章，我們把這問題與Morse index定理連結起來，一如在測地線的情況一樣（最簡單的一維測地線，現在變成二維以上的cmc曲面）。本章的主要結果是：介於$D[λk-1=0]與$D[λk=0]之間，必有非零的Jacobi場出現過，而且其重數（multiplicity）可以控制。[Ch.30}，Thm.8]。

這問題遠比測地線上的Jacobi場的分佈複雜，因場域不再是一維的測地線，而是高維的曲面，況且是有體積制限（volume constraint）的cmc曲面。勻滑的C∞-手法，不適合應付這問題。我們必須把C∞-架構提升為Sovolev架構。Ch.23曾經考慮Sobolev函數空間，據此證明值譜分析定理。現在我們必須縝密的經營Sobolev的理論，看到它生動而成功的解決C∞-架構中自然的提問，才知Sobolev理論的精緻。為了這項工作，我又耗掉一年多的時間研究並寫完第30章。

6. 衍篇

2015年開始寫篇九時，我邀請王慕道、王藹農、林俊吉三位同行，各寫一篇survey之類的文章，放在書末，稱為衍篇。目的在讓讀者在讀完本書之後，看到幾何研究正在發展的一些新方向。

不久我接到三篇完稿。很高興他們的論點與本書準備的基礎知識，不只搭配得很好，更有畫龍點睛之妙。我畫龍，他們點睛。

例如：書中各章反覆利用第二變分式，處理許多問題。王慕道在〈從一個方程式談起〉一文中，選擇第二變分式，並點出這式子的神髓：把它與Perelman的工作、與Schoen-Yau的正質量定理，關連起來。另外，他又說明第二變分式在相對論中所扮演的角色，指出它如何鋪陳Penrose-Hawking的奇點定理。王慕道的短文，帶領讀者看到自然深層，看到近年這些重要的工作，存在著某種有趣的連結。

王藹農所寫的survey，也提供第三隻眼睛，重看近代微分幾何的發展，他把似乎零星的一些結果，串連在一起，包括Herman Weyl經典的embedding定理、Nirenberg、Chern、Choi-Wang（崔炯仁-王譪農）、⋯的人的工作。有很多地方，他也扣合著一些與我相關的工作。例如，他用簡練的文字，詮釋大凹陷定理：同時，他把Henry Wente著名的反例，給予幾何的描述，讓人易於了解。這是我書中該做而沒做的事。

林俊吉所談〈曲線與幾何分析〉，是一個正在開展而處處未知的領域，其中很多概念都還有待定義。1980年代我曾注意到DNA本身的動力問題，並到生化所演講。DNA的性狀，鬆坦或糾結，與它的活性，亦即它影響生物體的強度有關。數學上的彈性桿（elastic rods）正是DNA的原始力學模型。

林俊吉在文中介紹彈性桿的精確定義，並分析當前相應的發展。文中他更從微分幾何的觀點，申論Möbious bands與幾何扭結（geometric knots，即在拓撲扭結上加尺度結構）。這些研究都處在開創階段，充滿活力。林俊吉的survey，從界定問題的困難出發，讓我們看到第一線研究各種嘗試的利弊，非常有趣而深具啟發，值得年輕的研究者投入。

非常感謝三位同行分別為本書的衍篇撰文，替這部書生色不少，也為這部書的讀者，打開多面窗。這正是當初我邀他們撰稿的目的。他們的撰文，讓這本書鋪陳的內容，活了起來。

下卷前言

下卷的主題是幾何變分學。含三篇

篇七　均曲率幾何的基礎

篇八　Plateau與Berstein問題

篇九　均曲率方程

共九章，即Ch.22-30。

如前所述，微分幾何處理的主要對象是彎曲的空間。上卷已經建立了彎曲空間的基本概念，例如向量場的共變微分與曲率張量，並藉由彎曲空間中測地線的變分，來探測彎曲空間大域的幾何性質，例如對正、負曲率空間，分別有Bonnet-Myers定理、與Hadamard定理。

1. 幾何變分學的鋪陳

二十世紀中期之後，幾何分析（Geometric Analysis）成為幾何學研究的主流。

它涵蓋甚廣，活潑、複雜而深刻。幾何變...

二版序

《大域微分幾何》三卷書二版序（摘錄）

1、

這三卷書去年初版。出乎意料的，不到一年半已幾乎售罄。去年初版成書後不久，我便發覺有幾處校對上的疏忽。另外，下卷最後一章（即ch.30）的最後一個式子，因論證大意而有漏洞。慚愧之餘，我一直期待再版時，能有機會修正。

雖然有了這些瑕疵，但出書以來，我收到一些數學家的正面回饋，則感到欣喜。例如美國Purdue大學莫宗堅教授、史丹佛Stanford大學兼中研院劉太平教授，透過信件或電話告訴我，他們閲讀時的感想。台大蔡宜洵教授更細心的讀完終卷，寫下深刻感人的書評，發表在《中華民國數學會電子報》；這份書評的紙本，亦將在中研院《數學傳播》季刊全文刊登。

另外，感謝張海潮、王藹農、王立中教授指出篇一第4章「曲面論基本定理」的證明，有個gap，並做了補正，其間細微之辨，非常有趣。我在現今這個二版的上卷書末，增添兩頁附錄，放入他們的補正。

2、

初版時，我在引言中談到1978年我出版過的小書《初等微分幾何講稿》（以下簡稱為「小書」）。這本小書適合大學部初讀者的水準。許多這一代台灣的數學家，年輕時都讀過這本小書。如今他們已步入中年，多次向我提起小書對他們大學時代的影響。

今年初，在新迪出版社友人石飛益的贊助之下，這本小書重新修訂出版。

目前《大域微分幾何》這三卷書（以下稱為「大書」），可以看成是小書的續集，初版或二版不拘。也就是說，小書是大書的先修本。

但大書上卷的前篇章A〈大域曲面論概要〉則是小書的濃縮版。數學程度成熟的專業者可以跳過小書，直接讀大書。兩書一小一大，相輔相成，從大學部的水準，一直深入微分幾何專業研究的領域。

中研院鄭日新、台大李瑩英、師大林俊吉三位教授，原本計劃要在今年8月7日，為大書舉辦「新書發表會/暨cmc曲面研討會」；同時也回顧他們年輕時走向幾何的經驗。惜因疫情起伏不定而作罷。

我在今年初的《數學傳播季刊》中，寫了一篇長文，説明大書與小書內容的連結。這篇長文也作為前言，放在重新出版的小書中。

3、

眼前這套大書的再版（即現今這二版），上、中兩卷除了修正幾處typos（校對誤差）之外，幾乎沒什麼更動。下卷亦然，真正大幅更動的是最後一章（ch30）。我把它重新改寫，因為在彌補前述的漏洞時，我們的研究工作又有新的進展。

這章主題是處理cmc曲面（hypersurface）上domain D(t)的動態變形，考慮其上Jacobi場隨著t，而離散出現的分佈情狀。

我們引入Morse index定理，來處理這問題。關鍵便落在stability operator的特徵值是否連續。我們處理的domain D(t)是困難的廣義Lipschitz domain，並且容許它們的topological type可以隨t而改變。如此D(t)才能伸向大域，使其樣態多變。

但這樣一來，問題便艱鉅得多，而且論證也變得深刻。穿越困難，像走入曲折迂迴的甬道，暗黑而多次碰壁。經過半年多艱辛的努力，我們終於看到曙光，解決了問題，得到完整的結果。

這章（ch30）的改寫，是二版修訂真正的重點。

二版序

《大域微分幾何》三卷書二版序（摘錄）

1、

這三卷書去年初版。出乎意料的，不到一年半已幾乎售罄。去年初版成書後不久，我便發覺有幾處校對上的疏忽。另外，下卷最後一章（即ch.30）的最後一個式子，因論證大意而有漏洞。慚愧之餘，我一直期待再版時，能有機會修正。

雖然有了這些瑕疵，但出書以來，我收到一些數學家的正面回饋，則感到欣喜。例如美國Purdue大學莫宗堅教授、史丹佛Stanford大學兼中研院劉太平教授，透過信件或電話告訴我，他們閲讀時的感想。台大蔡宜洵教授更細心的讀完終卷，寫下深刻感人的書評，發表在《中...

下卷前言
《大域微分幾何》三卷書二版序

下卷　幾何變分法

篇七　均曲率幾何的基礎

第22章　流形上的變分
第23章　最小曲面的穩定性

篇八　Plateau與Bernstein問題

第24章　Plateau問題
第25章　Bernstein問題
第26章　Plateau與Bernstein問題

篇九　均曲率方程

第27章　毛細方程與均曲率
第28章　Hopf猜想與Alexandrov對稱法
第29章　Convexity與大凹陷定理
第30章　cmc上的Jacobi場與Morse Index定理

衍篇

CMC曲面及其應用（王藹農）
從一個方程式談起（王慕道）
曲線與幾何分析（林俊吉）

附錄
全書參考文獻
全書索引

下卷前言
《大域微分幾何》三卷書二版序

下卷　幾何變分法

篇七　均曲率幾何的基礎

第22章　流形上的變分
第23章　最小曲面的穩定性

篇八　Plateau與Bernstein問題

第24章　Plateau問題
第25章　Bernstein問題
第26章　Plateau與Bernstein問題

篇九　均曲率方程

第27章　毛細方程與均曲率
第28章　Hopf猜想與Alexandrov對稱法
第29章　Convexity與大凹陷定理
第30章　cmc上的Jacobi場與Morse Index定理

衍篇

CMC曲面及其應用（王藹農）
從一個方程式談起（王慕道）
曲線與幾何分析（林俊吉）

附...