YA！數學課從此變成探索樂園！
英國優異級教師得主、《泰晤士報教育副刊》資深數學顧問
寫給所有數學老師的進修指南，用科學研究打破迷思，建立師生都事半功倍的數學新教學法
⭐國內數學教育者、各級學校數學老師一致推薦⭐
⭐英美亞馬遜讀者評價4.7顆星以上⭐ ▌專文導讀 賴以威 數感實驗室共同創辦人
書中有非常多觀點我都很認同，包括講述式教學的優點與翻轉教育的一些問題。透過本書，我能好好的檢視自己在講述式教學和分組討論教學這兩種方法中的不足，也試著找出更好的平衡。但比起這些收穫，我更相信一件事：只要巴頓老師持續在教育現場，持續向現在這樣不斷自我精進，他很可能會有一而再，再而三的轉變。這也是我看這本書最重要的心得：身為教學者，我們也永遠都在學習，學習如何讓學生更有效率地吸收知識。而這是做為老師唯一不變的事。
▌各界推薦
任維勇 北一女中數學老師
呂冠緯 均一平台教育基金會董事長
李信昌 數學網站「昌爸工作坊」站長
李政憲 新北市林口國中教師
李國偉 中央研究院數學所退休研究員
林福來 國立臺灣師範大學名譽教授
洪士薰 臺南女中數學教師
洪雪芬 超腦麥斯創意思維數學課程總監
洪萬生 臺灣數學史教育學會理事長
高敏慧 臺北市民生國中校長
劉繼文 新北市Super教師
蘇恭弘 臺南市創思與教學研發中心專任研究教師──齊聲推薦
▌內容簡介
身為數學老師的你，是否時常嘗試新的教學法，盡力達成所謂的「好課堂指標」，也透過這些指標漸漸歸納出教學信念及經驗，但是學生的學習成效有時仍不理想，甚至造成「教」與「學」兩方的挫敗？對此，知名數學教育家葛雷格・巴頓將在本書中提出許多不同見解。
本書將針對學生的學習思考方式、動機、教學法、如何挑選與設計習題和範例等問題一一說明什麼樣的教學才能真正有效，並皆分為「我以前的想法」、「帶給我啟發的資源」、「我的心的筆記」和「我現在的做法」四個部分來談：
我以前的想法——作者巴頓在這部分說明他以前的觀念、這些觀念是怎麼來的，以及它們如何影響課堂內的活動。
帶給我啟發的資源——這部分將列出參考資料，包括研究報告、書籍、部落格貼文或訪談。所援引的論文原始版本，在作者的網頁mrbartonmaths.com/teachers/research幾乎都有提供直接的連結。
我的心得筆記——這部分是巴頓從與主題相關的參考資料所歸納的重點總結。讀者可以不贊同作者的解讀，或者進一步鑽研深究，因此你可以把原始資料找來看，得出你自己的結論。
我現在的做法——這部分說明了巴頓基於自己的心得重點如何調整做法。
每個章節最後也將整理三個章節重點，讓你可以快速掌握或翻閱。你可以在下方的內容連載試讀本書第二章的節錄。
以下舉例幾個本書將提到的觀念：
1.
你是否覺得教數學時要盡量與生活連結比較容易讓同學理解？
但其實有些生活實例其實並不實際，甚至還可能導致學生理解數學概念時遭遇困難。
2.
你是否覺得因材施教就是給學生不同的任務和作業？
但其實有效的因材施教應該是讓學生做相同題目，但讓作題的時間長度有別，以免學生的程度差距日益加大。
3.
你是否覺得最理想的教學方式是老師少說話，而讓學生多多發言？
但其實剛進入新單元時，由老師直接主導，會比同學自己摸索更有成效，也能避免學生日後形成難以改正的錯誤觀念。
4.
你是否覺得學生在學習「怎麼做」之前，應該先知道「為什麼」要那樣做？
但其實學生是透過多次練習體會某個方法的用途與建立學習脈絡，因此先知道「怎麼做」比先知道「為什麼」更容易學習。
5.
你是否覺得給學生的回饋應該要愈多愈好？
但其實只有促使學生思考的回饋才是好回饋，過多的回饋反而可能讓學生無法吸收。
6.
你是否覺得要學好數學，必須先具備學習動機？
但其實並非動機帶來成就，而是先前的成就引導後續的內在動機。
7.
你是否覺得多多提醒能避免學生粗心犯錯？
但其實被普遍認為是「粗心」的小錯（例如單位沒寫、計算錯誤），事實上都是學生認知負荷超載的警訊。
8.
你是否覺得考試主要是用來評量學生程度的工具？
但其實低風險的小考可以幫助學生形成更完整的觀念，甚至找出學習盲點，是強力的學習利器。
本書作者葛雷格・巴頓是英國知名且屢獲卓越教師殊榮的數學教育家，他透過本書，以自己十五年來的教學經驗，結合大量學術文獻心得，帶你重新了解學生，包括他們如何思考、大腦如何學習，再談到動機與課業成就的關聯，如何引發動機，以及什麼教法在進入新單元時最有成效。不論你教的是哪個年齡層的學生，本書將能幫助你重新釐清並掌握有效的課堂原則，讓你的學生學得愈來愈好，愈來愈喜愛數學。
▌推薦短語
數學常常是許多學習者的心魔，因此一個好的數學老師，甚或是能陪伴孩子學習數學的父母，便是孩子生命當中的重要天使。
在108課綱更開放、多元、生活導向的思維下，我們會期望能用更創新的方式來教導孩子數學，但要注意的是，創新不見得就有效。這本書提供了我們一個具體的證據和框架，引導我們怎麼陪孩子把數學學好。值得老師、家長一讀！ ――呂冠緯ﾠ 均一平臺教育基金會董事長
葛雷格・巴頓是中學數學老師，多年經驗沒有讓他故步自封。製作podcast節目訪問教育界學者專家，寶貴的啟發資源促使他閱讀教育書刊和研究文獻，並且勇敢地用後設認知檢視教學歷程，反思檢討批判過去的觀點與做法，修正後成為目前的教法。從學生的思考方式擬定教學策略，達成有效教學為目標。作者將專業成長的改變收錄在這本書，它可以是中小學老師教學指引，也可以是師資職前教育教材。――李信昌 ﾠ數學網站「昌爸工作坊」站長
您覺得以下的數學課堂有幾項是正確的？
•理想的教學是老師少說話，學生多發言。
•應該盡量讓學生自行「發現」事物。
•有效的因材施教意味給學生不同的任務和作業。
•我們教的數學應該跟學生生活有關聯。
•學生在學習怎麼做之前，應該先知道為什麼要那樣做。
•做一大堆考古試卷是準備考試的最佳方法。
如果告訴您，上面的答案有可能全是錯的，不曉得您的感受如何？
英國著名的數學老師葛雷格・巴頓節錄了上百小時的訪談、一千張以上的投影片與十萬字以上的筆記，專門為數學老師所寫的《原來數學這樣教更有效》一書出版了！透過參考資料與心得介紹了自己在教學法上的調整，也搭配案例說明不一樣的思考與教學方式，歡迎教學老手當參考，新手當學習，一起看看巴頓老師自我成長與修正的過程及提升吧！――李政憲 新北市林口國中教師／藝數摺學FB社團創辦人／108年師鐸獎得主
本書是英國一位知名數學教師，相當罕見地剖析個人教學經驗的轉折。對於第一線的中學教師而言，即使英國的教育環境與文化與我們不盡相同，但是他山之石可以攻錯，作者提供了許多值得反省與借鏡的寶貴素材。――李國偉 ﾠ中央研究院數學所退休研究員
了解學生如何思考，如何學習、引起動機、善用範例與診斷題、引導解決問題的想法等，都是數學教師日常教學表現的專業元素，教師能否讓學生獲得學習樂趣，並成為有自己想法，且有機會表達的獨立問題解決者，就繫乎教師的專業水準了！身為教師，如果學生表現不如預期，怎麼辦？教師可以因自己改變而促進學生表現嗎？
一般人的教學信念不太容易改變，但這本《原來數學這樣教更有效》的作者巴頓，英國一位擁有十五年中學數學教學經驗的教師，剖析了自己前十年的想法，形成本書〈我以前的想法〉系統，後十年主要受認知科學研究文獻及專家訪談的啟發，記錄成〈我的心得筆記〉，改變原想法，成就〈我現在的做法〉。例如，以前他認為教學老師要少說話，而學生多發言，盡量讓學生發現問題。這樣教的優點是學生思考活潑，缺點是有很多學生自滿於初階的
好想法，而缺乏意願學習系統性的形式數學，成就表現不佳。巴頓現在不相信了！他目前的做法是要謹慎又精確的教導學生。
巴頓以自我研究法提供了數學教師專業發展，教學信念可以改變的實證及改變的方法。他讓英國學生有更好的問題解決思維與表現。
教育工作者，如果我們不自滿於好，還要追求更好，此書必讀！――林福來ﾠ 國立臺灣師範大學名譽教授
數學學習的困擾是普遍的現象。社會上流行各種說法，例如：要激發學習熱忱、啟發學生的獨立思考與參與、讓學生像玩遊戲一樣學數學等。仔細想想，當學生想要提升數學程度最常採取的策略是上補習班，這意味著什麼？生病時，我們多半會找有相關醫學知識及治療專長的醫師；家中水電出問題時，會找有專業技能及經驗的水電師傅。由此可知，很有想法或很有熱情並不是主要考量。
這本書一開始就講明了數學教學者需要去理解「學生如何思考與學習」。透過足夠的認知科學與數學知識進行「精確教學法」就能有效教學。本書可以提供小學高年級至高中數學教師們有效率教數學的專業技能，且以一種不流於空泛理論，而以經驗實證的精確教學法，有系統地協助現職數學教師。――洪士薰ﾠ 臺南女中數學教師
本書作者現身說法，在本書中運用具體的教學案例，對比「我以前的想法」與「我現在的想法」，再輔以「帶給我啟發的資源」（譬如認知心理學等研究成果）之翔實佐證，讓這本為中學數學教師而寫的數學教學「參考用書」，展現了令人耳目一新的啟蒙意義。我要大力推薦本書，它不僅大有助於數學教師的現場教學，同時，也為我們目前108課綱精神之實踐，帶來批判性進路的參考借鑑。――洪萬生 ﾠ臺灣數學史教育學會理事長、臺灣師範大學數學系退休教授
臉譜和數感實驗室合作推出的這本《原來數學這樣教更有效》，其中一些內容讓我看了非常有感。比方說：學生常用移項法則來解一元一次方程式，但是我們有時候會忽略了讓學生好好思考為什麼要這樣子解？移項法則是從等量公理得到的結果，表面上看起來使用移項法則好像比較「快」，使用等量公理好像比較「慢」。事實上，看起來是捷徑反而是繞遠路！到底數學怎麼教才更有效，大家不妨從書中尋找答案！――劉繼文ﾠ新北市Super教師、《讓大象動起來》作者
「坦白說，這本書是寫給數學老師看的」作者如是說。您沒看錯，這是一本強調如何「教數學」的書。不過，教與學之間關係密切，老師怎麼教，就會影響學生怎麼學，所以學生、家長閱讀後也會有很多收穫。
作者透由十二個章節，結構化四步驟的反思⸺「以前想法」、「啟發資源」、「心得筆記」、「現在做法」，帶領讀者進入獨特的教學新世界，但言明不期待讀者同意所有的觀點，重點在於期望讀者「思考」！
此書通篇可感受兩個不同時期的老師在激盪對話，因此能讓第一線的數學老師心有戚戚，讓學生大呼正是如此，相信最後您也會同意。若您正對教學的成效有所迷惘，試試作者的建議吧！――蘇恭弘ﾠ 臺南市創思與教學研發中心專任研究教師
作者簡介：
葛雷格．巴頓Craig Barton
自二○○四年以來就開始教數學。主要任教於英格蘭西北部的綜合中學。自二○○九年以來，葛雷格一直是《泰晤士報教育副刊》（TES）的中學數學顧問，該副刊是世界上最大的教師專業網站，是數十萬名教師共同審閱，創建和共享的資源。
他也是mrbartonmaths.com網站和部落格的創立者，該網站與部落格為世界各地的教師及學生提供免費資源，其初衷是希望讓每個人體驗到數學的趣味和學習的興奮感。
葛雷格是「巴頓老師的數學Podcast」（Mr Barton Maths Podcast）的主持人，他採訪了來自教育界的著名人物，例如迪倫·威廉姆（Dylan Wiliam），道格·列莫夫（Doug Lemov），黛西·克里斯托杜洛（Daisy Christodoulou）和丹·梅爾（Dan Meyer）。
他是Diagnostic Questions的共同創辦人，這是一個評估網站，收錄全世界最多的數學診斷多選題題庫，旨在幫助來自世界各地的學生和教師辨識、理解和解決關鍵的錯誤，目前有超過2000萬條答案。
近來，他新創了三個網站variationtheory.com、ssddproblems.com和mathsvenns.com，全球有數以百萬計的教師受惠。
葛雷格也時常舉辦研討會並與世界各地的師生合作。這本書蒐集了他從研究中汲取的教訓，與專家的對話以及十二年來犯過的的錯誤，並且他也是三本小說的作者。
譯者簡介：
廖婉如
專事翻譯，近年譯作有：《匠人》、《敲醒生命自癒力》、《法國餐桌上的10堂食育課》等書。
章節試閱
〈第二章 動機〉
我從小就很喜歡數學，數學一向是我最喜愛的科目。我以前（現在也是）是個怪胎──真希望有更好的說法。所以我開始教書之後，發現不是每個青少年都覺得在星期五晚上解一元二次方程式是很好的消遣，我還蠻吃驚的。
我教書的大半歲月裡，我用盡各種方式激勵／哀求／拐騙叛逆的青少年做數學題，這實在很累人，蠻耗精神的，如果還牽涉到甜點的話，也很花錢。因此，我很想找到更好、更持久的方式來提升學生學數學的動力。
【2.1動機模式】
●我以前的想法
我以前從沒真的想過學生如何思考，也就沒真的花心思提升學生的學習動力。我知道學習動力很重要、很可取，但我認定學生不是喜歡數學，就是討厭數學。我的確也會使些小招數幫助學生化解棘手的題目，但他們對數學的觀感沒有改變。如果有人問起為什麼會這樣，我大概會說，這多半取決於他們對數學擅不擅長，很少有例外。
結果，事情沒那麼簡單。
●帶給我啟發的資源
• 美國心理協會（2015），〈國中小教學與學習最重要的二十個心理學原則〉（Top 20 Principles from Psychology for PreK-12 Teaching and Learning）。網址：http://www.apa.org/ed/schools/teaching-learning/top-twenty-principles.pdf.
• 德奇（Deci, E. L.）、柯斯特納（Koestner, R.）和瑞恩（Ryan, R. M.）（2001），〈教育的外在獎賞和內在動機：重新思量〉（Extrinsic rewards and intrinsic motivation in education: reconsidered once again），《教育研究評論》71（1），第1-27頁。
• 萊珀（Lepper, M. R.）（1998），〈在教學研究中考量學習動機〉（Motivational considerations in the study of instruction），《認知與教學》5（4），第289-309頁。
• 馬丁（Martin, A. J.）（2016），《運用「降低負荷教學法」提升學習動機和參與》（Using Load Reduction Instruction (LRI) to boostmotivation and engagement）〉Leicester：英國心理協會。
• 密道頓（Middleton, J. A.）和斯潘尼亞（Spanias, P. A.）（1999）〈數學科的成就動機：研究的發現、通則化和批判〉（Motivation for achievement in mathematics: Findings, generalizations, and criticisms of the research），《數學教育研究期刊》30（1），第65-88頁。
• 品克（Pink, D. H.）（2011），《動機，單純的力量》，中譯本，大塊文化，2010。
• 托爾夫森（Tollefson, N.）（2000），〈學習動機的認知理論在課堂上的應用〉（Classroom applications of cognitive theories of motivation），《教育心理學評論》12（1），第63-83頁。
• 齊默曼（Zimmerman, B. J.）（2000），〈自我效能：學習的核心動力〉（Self-efficacy: an essential motive to learn），《當代教育心理學》25（1），第82-91頁。
●我的心得筆記
我們在第一章談到，學生參與投入不保證他們有學到東西──因為我們無法確定學生究竟對什麼投入──但我們似乎可以合理地假定，學數學的內在動機是學生很可取的一種特質，也可以看作是為了想學而學。確實，萊珀（1988）曾指出，當個體投入於內在很有動力去完成的事，就會表現出從教育觀點來說很可取的一些行為，其中包括「花更多時間在任務上，遇到失敗仍堅持下去，在理解力上進行更精細的處理和調控，選擇難度更高、更有創意、風險更高的作業，選擇更深刻、更有效的表現策略和學習策略，選擇沒有外在報償的活動」。
聽起來很不賴！
那麼，自然而然會有一些問題冒出來：什麼因素會讓學生有動機學習？我們當老師的能幫什麼忙？
任何一本書若想用一章的篇幅來回答這些問題都是自找麻煩。坊間有成千上萬探討動機的書，遍及心理學、認知科學、行為學、經濟學等學科。不論如何，我可以做的，不只是抓到這議題的皮毛，這議題不容忽視有兩個理由。首先，學習與動機之間有著重要而複雜的關係。其次，對於用精確教學法（我將在第三章介紹，也會在這本書裡持續延伸）教數學的指責，通常繞著動機的議題打轉。比方說，「這方法確實很有效，但是如果你讓孩子們厭煩到不行，有什麼好處？」這種批評稀鬆平常。有這般想法的學生和家長，通常認為數學很難、很無趣，激發學生動力的方法有偏誤，最後對學生有害無益。
因此，在我們沒事找事自惹麻煩之前，先快速瀏覽一些普遍與動機有關的研究發現。就像在探討思考模式時談到的，關於動機的概念也沒有放諸四海皆準的一套模式，但是有一些共同的主題。
控制感
品克（2011）在他的《動機，單純的力量》一書裡指出，動機的一個關鍵決定因素是自主（autonomy）―想主導自己人生的欲望。在德奇等人（2001）與認知評估理論（Cognitive Evaluation Theory）相關的論文裡，掌控的欲望也具有重要分量，是研究者們更龐大的自我決定論（Self Determination Theory）的一個有趣子題。根據自我決定論，外在事件譬如報償、評鑑和最後期限等，會對個人的內在動機有某種程度的影響，進而牽動個人對自我決定的感知。簡而言之，如果我們感覺到事情不在自己掌控中，或者有人試圖掌控我們，我們內心就不太會有動力去做那件事。
相信他們在做的事有價値（內在或外在）
品克（2011）把目標──實現超越小我的遠大目標的渴望──視為動機的第二個決定因素。馬丁（2016）認同這看法，把學生有多麼相信在校所學是有用的、有意義的、重要的，納入他的降低負荷教學模式（Load Reduction Instruction）裡的動機要素。托爾夫森（2000）探討預期與價值理論（Expectancy x Value Theory）的概念，該理論認為，學生會對某項作業下多少功夫，取決於第一，他們預期自己能夠把那項作業做好，以及把作業做好能夠獲得報償；和第二，他們認為把作業做好的報償有多少價值。具體來說，這模式──很像一道數學公式──假定，學生要下多少功夫，是作業能做得好的預期和所得報償的價值相乘的結果。雖然這個價值可能是內在或外在的，密道頓和斯潘尼亞（1999）以及來自美國心理協會的報告（1999）認為，學生的成就動機來自內在多於外在的話，他們更能享受學習，而且表現得更好。
專精（mastery）
品克（2011）的第三個動機元素是專精―對自己念茲在茲的事情精益求精的衝動。美國心理協會的報告（2015）看法一致，指出了當學生以專精為目標而不是以表現為目標，他們面對棘手的作業時會堅持不懈，而且處理信息也會更深入。馬丁（2016）認為，「專精導向」是動機的關鍵成分，指出學生會對學習、發展新技能、精進和理解感興趣，並保持專注，而且他們會為了把工作做好而把它做好，而不只是為了努力過後所得到的報償或成績。
成功的感覺，或者會成功的感覺
與專精息息相關的是成就感。密道頓和斯潘尼亞（1999）指出，學生對於能把數學學好的認知，會大幅影響他們的學習動機和態度。齊默曼（2000）認為，自我效能（定義為個人相信自己具有成功地應付特定情境或完成某項任務的能力）是動機的關鍵，比起懷疑自己能力的學生，具有自我效能的學生更容易投入、更賣力、堅持得更久，遇到困難也比較少表現出不利的情緒反應。馬丁（2016）贊同這看法，指出學生對於自己的理解能力或好的課業表現有自信，也相信自己能夠面對挑戰把能力發揮到極致，是動機的關鍵因素。
這一章後續的章節，我們將根據這些領域來衡量會影響學習動機的策略。
●我目前的做法
我會仔細考量什麼會激勵學生，該具體採取哪些行動。如同接下來會談到的，有些作為比較簡單，有些作為則實際上弊大於利。
【2.2 學生會做出好的決定嗎？】
●我以前的想法
只要做得到，我會讓學生在學習過程中有選擇的機會。通常是讓他們選擇做哪些習題、測驗卷或家庭作業。這些都是宏遠計畫的一環，為的是幫助學生對自己的學習負責，此外，我總認定學生喜歡有選項可選。
問題是，我的學生做的選擇，在我看來不見得是對他們最好的選擇。
●帶給我啟發的資源
• 克拉克（1982），〈從「性向與處理交互作用」研究來看「成就」與「樂趣」的對立〉（Antagonism between achievement and enjoyment in ATI studies），《教育心理學家》17（2），第92-101頁。
• 德奇、柯斯特納和萊恩（2001），〈教育的外在獎賞與內在動機：重新思量〉，《教育研究評論》71（1），第1-27頁。
• 柯許納和范梅里波爾（2013），〈學生真的最了解嗎？教育的都市傳說〉（Do learners really know best? Urban legends in education），《教育心理學》48（3），第169-183頁。
• 拿梭（Nuthall, G.）（2007），《學習者的真相》（The Hidden Lives of Leaners），Wellington: NZCER Press。
• 品克（2011），《動機，單純的力量》，中譯本，大塊文化，2010。
●我的心得筆記
我們在2.1節談到的動機模式，指出了選擇的確很重要。品克（2011）把「自主」列為動機的三大要素之一，德奇等人（2001）的論文也把自我決定論視為核心概念。這意味著賦予學生對於學習的掌控感，是從內在激勵他們學習。
但學生得到這種掌控感後，是否做出了正確的決定？
根據柯許納和范梅里波爾（2013）的論文，顯然不是。在他們的文章裡，為了破除和學習有關的常見錯誤概念，他們指出了賦予學習者更多掌控的三大問題：
1. 學習者沒有能力衡量作業的要求以及自身與作業有關的學習需求。即便是最有心的學生，很可能也沒辦法選出符合自己學習需求的最適當作業，因為他們必須先搞清楚作業的功用，還有自己的強項和弱點是什麼。看見和初學的新主題有關的陌生作業，學生難以選出最理想的項目並不令人驚訝。
2. 學習者通常會選擇自己偏好的，但是他們偏好的不見得對他們是最好的。學生尤其會持續練習自己喜歡的或者已經精熟的作業，不願意去練習新的、但不熟悉的作業。拿梭（2007）解釋：我們的研究顯示，學生會一股腦地熱衷於他們已經學會的內容。我也在學生身上看過無數的類似情況。我記得有個十一年級女生開心地一整天練習分數相加，卻壓根兒不想碰方程式。我問她為什麼那麼喜歡分數，她回答說：「因為我很拿手。」
3. 選擇的弔詭。人都喜歡有選擇的機會，然而選項愈多，做出選擇之後愈沮喪。更多的選擇不免意味著，更後悔沒挑上其他的選項。這就好比前往菜色琳瑯滿目的餐廳用餐一樣。上數學課也是如此，當我讓學生自由選擇做什麼習題或家庭作業，很多學生會說，「老師，你直接告訴我要做哪些題目好了」。
克拉克（1982）有個重大發現。他檢視相關研究，下了一個結論：「學生通常會喜歡他們學得不精的方法。」具體的說，「低能力」（克拉克的用詞，不是我）學生通常喜歡老師用引導性低的教學法（譬如發現式學習），顯然是因為這種方法可以讓他們保持「低調」，他們的挫敗也就不那麼明顯。然而，就像在第三章會談到的，這類學生從老師引導性高的教學法（譬如精確教學法）受益更多，這種教學法能夠降低學生處理信息的負荷量。反過來說，高能力學生偏好結構性的教法（譬如例題示範），認為這種方法讓他們學得更有效率，而低負荷的方法通常會干擾他們的學習，我們會在6.7節探討專家反轉效應（Expertise-Reversal Effect）談到，高能力學生事實上從老師引導性低的教學法（譬如獨自解決問題）學得更多，這種教法促使他們應用既存的知識，進一步發展基模。因此，學生的表現會受他們偏好影響，而他們的偏好卻無法如實反映他們學到多少。
假使學生沒辦法做出理想的選擇，真的有關係嗎？畢竟，他們有了這種掌控感會比較有動力學習，而動機又是學習的重要因素。
這個嘛，是這樣沒錯，但基於兩個理由。首先，學生很可能做出消極的決定，會直接影響到學習。其次，如果──我會在這一章後段談到──成功的感覺和經驗也是動機的關鍵因素，那麼這些誤入歧途的選擇對學習造成的負面衝擊，也會抹煞在動機上的任何加分效果。因此，讓學生做太多選擇，我們最後落得兩頭空：學生學得更少，學習動機也沒有提升。
●我現在的做法
總的來說，目前我給學生在課堂習題的選擇比以前少很多。如果我花心思仔細規畫一系列例題和習題（第七章），或者有目標的練習（Purposeful Practice）好讓學生演練關鍵的技巧，同時培養問題解決能力（第十章），那麼我會希望他們切實達到。這一點支持了我的看法，就是因材施教的最有效形式是藉由時間來區分而不是作業，這也是本書會反覆談到的主題。
為了利用給學生選擇可以提升動機，以及培養學生的後設認知能力，當我讓學生選擇作業或習題時，不出以下兩種情況：
1. 學生要從我挑選過的題庫來選
2. 先進行低風險小考（第十二章），這樣他們更知道自己目前的理解程度
【2.3 眞實生活的數學】
●我以前的想法
「老師，我什麼時候會在真實生活中用到這個？」
如果有哪句話比上面這一問更讓數學老師聽起來刺耳的，我倒很想聽看看。
若有人問起，怎麼讓學生覺得數學很有趣，答案很簡單：當然是讓數學跟他們的生活搭上關係。完畢，下一題！
因此，很多很多年來，我花了很多很多時間想方設法把真實生活情境和「有用的」比喻硬塞到課堂內。我可不可以用二○○○○一年貝克漢在最後一刻踢進一球自由球讓英格蘭打敗希臘，來解說一元二次方程式的原理？當然可以！今夜新聞總有事情發生──讓我們想想辦法把它用到明天的數學課上。如果要數一數我從二○○一二年倫敦奧運賽事舉例教過的數學單元，我大概可以獨得一面金牌。
問題是，可以跟上課主題完全貼合的時事少之又少。我通常必須把時事加以修改簡化才能用在教學上，結果跟實際情況差得很遠。再說，也不是每個學生都覺得以時事做例子很有用或很有趣。
●帶給我啟發的資源
• 巴頓（2017）〈專訪英國資格評估與認證聯合會主考官老崔佛〔Trevor Senior〕〉，巴頓老師的數學podcast。
• 波勒（Boaler, J.）（1994）〈女生何時喜歡足球勝過流行時尚？分析女性低成就與「現實」的數學情境的關係〉（When do girls prefer football to fashion? An analysis of female underachievement in relation to “realistic” mathematics contexts），《英國教育研究期刊》20（5），第551-564頁。
• 德博克（De Bock, D.）、凡夏菲爾（Verschaffel, L.）、詹森斯（Janssens, D.）、范督赫（Van Dooren, W.）和克萊斯（Claes, K.）（2003），〈時事和圖示永遠對學生的表現有益？非線性幾何問題模擬研究的負面證據〉（Do realistic contexts and graphical representations always have a beneficial impact on students），《學習與教學》13（4），第441-463頁。
• 利托（Little, C.）和瓊斯（Jones, K.）（2010），〈把時事運用到高中數學問題的效用〉（The effect of using real world contexts in post-16 mathematics questions），《英國議會數學教育公報》（Proceedings of the British Congress for Mathematics Education）30（1），無頁碼。
• 拿梭（2007），《學習者的真相》，Wellinton: NZCER Press。
• 威廉（1997），〈在數學教育中故弄玄虛的實用性〉（Relevance as MacGuffin in mathematics education），《英國教育研究協會研討會》（British Educational Research Association Conference）27 （2），第37-41頁。
• 威林罕（2003），〈請教認知科學家。學生記得他們思考過的東西〉，《美國教育工作者》27（2），第37-41頁。
●我的心得筆記
我們在2.1節討論過，學生感覺到自己所做的事有價值會提高他們去做的動機。因此我們可以合理的得出一個結論，學生覺得數學和生活息息相關是一件好事。然而，這可沒那麼單純。
利托和瓊斯（2010）貼切地總結了這個困境：
從一方面來看，把數學的抽象世界和日常生活連結起來，我們加強了把數學當作一種語言來解釋「真實」世界的規律和對稱的效用。從另一方面看，假使我們操縱和「文飾」真實世界的經驗，讓這些經驗能夠被預定的一套數學技術來模擬，那麼結果會顯得造作不自然。
拿梭（2007）說得更簡要：「學生經常提防老師誘導自己對教材感興趣。」
沒錯，我就有這種經驗。學生並不笨，當我站在講臺上宣稱，貝克漢在對手列陣攔截他的自由球時，曾細想過最後出現的那條二次曲線的特性，這種話可沒人買單，糗的是我。
威廉（1997）指出了讓數學課變得很痛苦的三類有問題的真實生活情境：
1. 沒有意義的情境
看看數學課本裡的一道題目亞倫喝掉了一品脫啤酒的5/8，請問啤酒剩下幾分之幾？（題目旁邊有幅插圖，畫著一名中年男人喝著一品脫啤酒）
在評估是否採用這種問題時，我們必須考量它要達成什麼目的。
如果我們希望學生能夠自動化運算用1減掉某個分數，那麼不妨把整個情境刪除，直接要學生計算1-5/8。與情境相關的信息，學生終究還是必須處理，我們將在第四章的冗餘效應談到，處理這些情境信息會讓學生薄弱的工作記憶有負荷過度之虞，結果阻礙了學習。
如果我們要學生練習克服題目的表面結構和看出深層結構，那麼使用這類問題的一個論點是，畢竟高風險考試常常出現這種其實是很簡單的數學運算，卻被情境掩蔽的題目，結果把學生難倒了。不論如何，就像第七章會談到的，給學生大量的深層結構相同的題目，會讓表面結構變得無關緊要，因為學生知道這些題目要他們做什麼，不需要用力思考。
最後，如果老師們認為這類問題可以激起學生興趣，就像與生活有關的問題會提高學習動力一樣，那麼我會覺得老師們還真好拐。畢竟，就像威廉指出的，啤酒不是以八分之一品脫來測量的，就算是如此，亞倫暢飲啤酒時，也不會在意要精準計算喝下肚的酒量。
2. 讓人搞糊塗的情境
看看以下的例子：
這是一棟辦公大樓裡的電梯告示：
本電梯最多可搭載14人。在早上的巔峰時段，有269人想搭電梯上樓，請問電梯要上升幾次才能載完所有人？
計算機會算出19.21428571次，我希望學生會推論出「20次」才是正確答案。不過，真是這樣嗎？如同威廉指出，正確答案如果是20次，必須基於幾個前提：
• 電梯每一次都滿載
• 沒有人擠不進電梯而改走樓梯
• 載重限制嚴格地以人數計，不是重量或體積
• 搭電梯的人都沒有坐輪椅
審查高風險數學考試題目的老師通常會注意到類似的模稜兩可情況，同樣的真實情況可以有兩個以上的答案。這些預備多年而且由一組人審查過的考試顯示，要設計出不會令人混淆的明確題目有多麼不容易。的確，我訪問英國資格評估與認證聯合會主考官老崔佛時，他談到在中學會考的數學考題使用情境題的難處。有鑑於此，我在課堂上使用情境題總格外小心，深怕會造成無謂的混淆。
3. 危險的情境
這說不定是最常見，也是最有問題的。為了讓學生感興趣，我們承擔了把不感興趣的學生排除在外的風險。因此當我偷懶地又舉了另一個與足球有關的例子時，班上不管男生女生全都怨聲四起（實在不能怪他們）。
不過，相反的情況也很常見。為了讓學生感興趣，我們照理要舉他們有更多背景知識的實例。這看來是好事，不過就像我先前提過的，通常要把真實情境修改簡化才能用到課堂上。因此我們所呈現的情境很可能跟見多識廣的學生所知道的不一致。此外，學生可能以我們始料未及的方式運用他們既有的知識和經驗。
波勒（1994）在一篇文章裡舉了一個有趣的例子。標題說明了一切：曾幾何時女生喜歡足球甚於流行時尚？成績不好的女生和「真實」數學情境的關聯分析。波勒發現，女生會試圖把情境題目和既有的知識結合在一起，而男生往往會用以前的經驗來對付個別的問題。結果是，男生在回答情境題目時表現得比女生更好。因此，以特殊興趣為訴求來激發次群體的學習動力，最後對他們來說壞處可能大過好處。
4.影音教材
另一個提高學習動力的方法是，在課堂上使用不一樣的媒介來呈現教材。我們將在第四章進一步討論使用影像、動畫和動態幾何軟體輔助教學，此處我只想簡短談一下影音器材的使用。影音往往被視為把真實生活的數學及其實用性帶入數學課的簡易方式。我要先自首，我會在課堂上播放Maths4Real的節目（電視明星班・謝菲德〔Ben Shephard〕剛入行的節目之一，我會再說明），甚至也會播放克里斯・摩爾斯（Chris Moyles）的電視益智節目「Quiz Night」的數學單元。
考慮使用這類教材來提升學習動力時，必須謹記兩件事。首先是威林罕（2003）的一句名言：「學生記得他們思考過的東西。」如果學生的注意力被拉到影音內容中其他吸睛的地方（譬如年輕的班・謝菲德的帥氣模樣），很可能學不到東西。
第二件事更微妙。德博克等人（2003）針對152名八年級生（13～14歲）和161名十年級生（15～16歲）做了一項研究。這些學生接受紙筆測驗，測驗的內容關乎不同型態的直線圖形和非直線圖形的長度、面積和體積之間的關係。測驗之前，一組學生觀看由真人解說的說明影片，另一組學生則閱讀一份書面說明。研究者發現，看影片那一組學生，成績明顯比另一組差很多。他們推測，比起閱讀書面說明，看影片說明的學生覺得測驗比較簡單，所以和閱讀書面指導而覺得測驗比較困難的學生相比，就不會去動腦思考。
●我現在的做法
回顧過去，我在課堂上運用的真實情境教學沒那麼能夠激發學習動力。把真實情境加以修改簡化的同時，我也把趣味和實用性給抹去了。更重要的是，我們看到了這類情境不利於學生學習，會叫他們混淆或分心，無法把心思集中在真正該學習的內容。總之，我的結論是，真實情境的數學通常麻煩居多，不太值得。
我將在下面的兩小節指出，我們還有更好的方法來幫助學生重視學數學。
最後一點，我對「在真實生活裡我們什麼時候會用到這個？」有一個理論。我認為學生真正要說的是，「我不懂這個」。這完全是我個人的觀察，我發現，答對一大堆題目的學生──不管什麼單元和情境──從沒問我那個問題。不過，只要我上課講解得不好，或者活動規畫得不好，就會有學生問我那個問題。如果我教課教得很順利，學生也學得很好，那惱人的問題似乎消失無蹤。
〈第二章 動機〉
我從小就很喜歡數學，數學一向是我最喜愛的科目。我以前（現在也是）是個怪胎──真希望有更好的說法。所以我開始教書之後，發現不是每個青少年都覺得在星期五晚上解一元二次方程式是很好的消遣，我還蠻吃驚的。
我教書的大半歲月裡，我用盡各種方式激勵／哀求／拐騙叛逆的青少年做數學題，這實在很累人，蠻耗精神的，如果還牽涉到甜點的話，也很花錢。因此，我很想找到更好、更持久的方式來提升學生學數學的動力。
【2.1動機模式】
●我以前的想法
我以前從沒真的想過學生如何思考，也就沒真的花心思提升學生的學...
推薦序
導讀 永遠學習的教學者
做為電機背景，半路出家投入數學科普，甚至有機會開始嘗試數學教育，老實說，很多時候我都有些心虛。畢竟，比起坐在教室的學生，我對邏輯閘的了解更多。為了彌補自己的不足，我做了很多能力範圍內可以做到的自我充實，像是跟專家請教、去上課累積經驗，或是最簡單的⸺讀書。
我在《幫孩子找到自信的成長型數學思維》認識了史丹佛的波勒教授，從他的理論印證了我們推廣的動手做數學，讓孩子感受到能學好數學、數學有趣的價值。而在這本《原來數學這樣教更有效》中，就像更走入教室，坐下來觀課，見證一位資深老師如何展演一堂有效率的數學課。
讀《原來數學這樣教更有效》時，我有種在看數學版的「楊過練劍」的感覺，巴頓老師成名的原因是他那新穎的教學方式。過去這幾年來在教育現場的新形態教學模式，他樣樣精通，而且教學成效卓越。但後來開始接觸各種理論後，漸漸改變了他的想法，又回到了以講述為主的授課方式。不只如此，他過去很喜歡講述各種數學跟生活結合的例子，現在則大幅減少。（對此，我起初直冒冷汗，畢竟這是我最熱愛的事情，但看完後我認同他的想法，還希望能跟他交流，向他提案或許我們可以有更好的做法。）
但這不代表他的立場一百八十度大轉變，過去走在教育創新的最前端，現在則致力捍衛傳統教學。回到金庸小說《神雕俠侶》中，楊過在海邊練劍的譬喻。起先，他揮舞木劍的聲音很響亮，後來慢慢變小聲，接著再次從輕轉響，從響而輕。但很顯然的，每次的「響」背後的意義，都跟前一次大不相同。
與其說巴頓老師是回到講述教學，我更認為是他在新型態教學累積了經驗（包括好的跟不好的），看到了一開始沒看到的深度。比方說，過去他認為讓學生自己勾選習題，是讓學生有自主權，能夠提升動機。但後來他發現，學生的經驗不如老師，他們選題的品質會影響到他們的學習成效，而擁有選擇權後若遭遇挫敗，也比沒有選擇權時要來得更讓人沮喪。過去他追求的是學生們在課堂上的發言、討論，他認為這是積極學習的態度。而如今他認為靜靜地坐在那裡動腦思考，才是真正的積極。過去他認為應該把學習的主導權交給學生，現在他說：「我們是專家，在學習的這個階段，學生最需要我們的指導。把這個責任放在學習新手的肩上，會危及學生的學習，而且純粹就是不公平。」結合這些觀察與理論，巴頓老師的教學又有了一次轉變。
書中有非常多觀點我都很認同，包括講述式教學的優點與翻轉教育的一些問題。有些我可能持比較保留的態度，但我依然認為巴頓老師所提出的觀點都是有憑有據，能讓人有所反思有所得。我自己從講述式教學中學好數學，如今在大學的教書也以這樣為主，但同時，我們在很多科普推廣活動中，則主要採分組討論。透過本書，我能好好的檢視自己在過去這兩種方法中的不足，也試著找出更好的平衡。但比起這些收穫，我更相信一件事：只要巴頓老師持續在教育現場，持續向現在這樣不斷自我精進，他很可能會有一而再，再而三的轉變。這也是我看這本書最重要的心得：身為教學者，我們也永遠都在學習，學習如何讓學生更有效率地吸收知識。而這是做為老師唯一不變的事。
賴以威
臉譜「數感書系」特約主編
國立臺灣師範大學電機系助理教授
數學推廣平臺「數感實驗室」共同創辦人
導讀 永遠學習的教學者
做為電機背景，半路出家投入數學科普，甚至有機會開始嘗試數學教育，老實說，很多時候我都有些心虛。畢竟，比起坐在教室的學生，我對邏輯閘的了解更多。為了彌補自己的不足，我做了很多能力範圍內可以做到的自我充實，像是跟專家請教、去上課累積經驗，或是最簡單的⸺讀書。
我在《幫孩子找到自信的成長型數學思維》認識了史丹佛的波勒教授，從他的理論印證了我們推廣的動手做數學，讓孩子感受到能學好數學、數學有趣的價值。而在這本《原來數學這樣教更有效》中，就像更走入教室，坐下來觀課，見證一位資深老師...
目錄
各界推薦
推薦序
導讀
前言
第一章 學生如何思考與學習？
1.1. 思考與學習的簡單模式
1.2. 老手與新手
1.3. 他們在思考什麼？
1.4. 擴充工作記憶容量
1.5. 持久的方法
1.6. 數學焦慮
1.7. 但願我記得三件事⋯⋯
第二章 動機
2.1. 動機模式
2.2. 學生會做出好的決定嗎？
2.3. 真實生活中的數學
2.4. 老師的影響力
2.5. 提供學習目的
2.6. 獎勵與懲罰
2.7. 為什麼痛苦和失敗不見得是好事？Part 1
2.8. 成就和動機
2.9. 但願我記得三件事⋯⋯
第三章 精確教學法
3.1. 什麼造就優質教學？
3.2. 有些學生天生是數學好手嗎？
3.3. 引導性低的教學何時失效？為什麼失效？
3.4. 引導性發現式學習的問題
3.5. 教導低成就的學生
3.6. 故事結構
3.7. 比喻
3.8. 認知衝突
3.9. 怎麼做在先，為什麼在後
3.10. 以最難的題目收尾
3.11. 但願我記得三件事⋯⋯
第四章 聚焦於思考
4.1. 認知負荷理論和多媒體學習認知理論
4.2. 當糊塗犯錯沒那麼糊塗
4.3. 感官效應
4.4. 學習型態
4.5. 開放效應
4.6. 分散注意力效應
4.7. 冗餘效應
4.8. 沉默教師
4.9. 增生負荷
4.10.但願我記得三件事⋯⋯
第五章 解釋給自己聽
5.1. 解釋給自己聽效應
5.2. 善用解釋給自己聽
5.3. 但願我記得三件事⋯⋯
第六章 善用範例
6.1. 範例效應
6.2. 例題–習題配對
6.3. 標註
6.4. 高效範例
6.5. 範例中的錯誤
6.6. 遞減效應
6.7. 專家反轉效應
6.8. 但願我記得三件事⋯⋯
第七章 範例和習題的挑選
7.1. 範例vs定義
7.2. 範例vs規則
7.3. 邊緣例子
7.4. 表面相似，深層問題不同
7.5. 含糊的答案
7.6. 含糊的問題
7.7. 延伸問題
7.8. 差別最小的例題和聰明練習
7.9. 但願我記得三件事⋯⋯
第八章 刻意練習
8.1. 拆解
8.2. 刻意練習的五階段
8.3. 練習vs最終表現
8.4. 永遠要公布答案的三個理由
8.5. 但願我記得三件事⋯⋯
第九章 解決問題與獨立
9.1. 什麼是問題？
9.2. 為什麼有些學生不擅長問題解決⋯⋯
9.3. 我們該怎麼做？
9.4. 為什麼苦思和失敗不見得是好事？Part 2
9.5. 獨立的學習者
9.6. 但願我記得三件事⋯⋯
第十章 有目標的練習
10.1. 教書最困難的地方
10.2. 什麼是有目標的練習？
10.3. 但願我記得三件事⋯⋯
第十一章 形成性評量和診斷性問題
11.1. 什麼是形成性量表？為什麼它很重要？
11.2. 班級文化
11.3. 什麼是診斷性問題？
11.4. 什麼樣的問題是好問題？
11.5. 如何提問與回答？
11.6. 問診斷題的時機
11.7. 關於選擇題的七個常見的批評
11.8. 預料失誤和錯誤觀念
11.9. 老師設計題目的好處
11.10. 但願我記得三件事⋯⋯
第十二章 長期記憶與有益的困難
12.1. 長期記憶如何運作？
12.2. 表現的問題
12.3. 間隔效應
12.4. 交錯效應
12.5. 變異效應
12.6. 測驗效應
12.7. 考試的無數好處
12.8. 低風險小考
12.9. 預試效應
12.10. 延遲回饋和減少回饋
12.11. 但願我記得三件事⋯⋯
結語
致謝
各界推薦
推薦序
導讀
前言
第一章 學生如何思考與學習？
1.1. 思考與學習的簡單模式
1.2. 老手與新手
1.3. 他們在思考什麼？
1.4. 擴充工作記憶容量
1.5. 持久的方法
1.6. 數學焦慮
1.7. 但願我記得三件事⋯⋯
第二章 動機
2.1. 動機模式
2.2. 學生會做出好的決定嗎？
2.3. 真實生活中的數學
2.4. 老師的影響力
2.5. 提供學習目的
2.6. 獎勵與懲罰
2.7. 為什麼痛苦和失敗不見得是好事？Part 1
2.8. 成就和動機
2.9. 但願我記得三件事⋯⋯
第三章 精確教學法
3.1. 什麼造就優質教學？
3.2. 有些學生天生是數學...
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