◎錯過公車有可能是好事

所有人都知道，每次想搭公車時都要等上天長地久，接著一來就是三班。這是常見的都市之謎，而且至少頻繁得可以用來當作書名。不過，數學家也確實會認為是個謎團。因為通常公車並不是一來就三班，而是兩兩出現。

不過，眼前就暫時假定，公車的確一來就是三班。如果這是事實的話，那麼通勤乘客的惡夢根本就不是惡夢。

或許你每次有重要約會的時候也都很倒楣，老是要錯過公車。或許你會想像，錯過公車絕對不會是好事。不過，倘若公車都是成三出現，那麼恰好錯過一班公車，或許你還可以預期會更快抵達目的地。

怎麼會這樣呢？錯過公車怎麼可能反而是好事？

我們鑽研公車現象之前，要先設計一種所謂的數學模式，也就是用虛構數字來簡化真實情況。只要假定合理，就能用模式來驗證構想，看出事情的脈絡。

假定公車總站每15分鐘發一班車。結果等到公車抵達你的候車亭，卻全都是三班集結為一群。為方便討論，就假設一群內各班公車的間隔都只有1分鐘。

既然這三班公車都是在某個45分鐘時段內由總站出發，那麼圖示兩群公車的間隔時段就必然是43分鐘。

集結之前：15分鐘―15分鐘―15分鐘

集結之後：1分鐘―1分鐘―43分鐘

現在假定你剛好看到一班公車離開你的候車亭。你並不知道那班車是一群公車中的哪一班。有可能是第一班，也可能是中間或最後一班，機會均等。倘若那是第一或第二班，那麼你只需要等1分鐘，就可以等到下一班。然而，倘若那是第三班，那麼你就要等43分鐘。

這就表示，你等到下一班車的平均時段長度為：

（1分鐘＋1分鐘＋43分鐘）/3＝15分鐘

不過，倘若當你來到候車亭之時，並沒有看到公車呢？換句話說，倘若你並不是恰好錯過公車，那又會如何呢？這就表示，你是在公車兩種間隔之一的時段間抵達。或許你剛好逮到1分鐘間隔時段。不過，你也有43/45的機會是碰上較長間隔。而且你抵達的時間，還可能是位於長間隔時段之間的任何時刻。你或許要從43分鐘的起點開始等起，也或許是從終點開始，那麼下班公車就要到站。因此，這時你的平均候車時間就是（43＋0）/2＝21.5分鐘。若是你抵達候車亭之時，並沒有看到公車離站，而且我們還把你在1分鐘間隔時段抵達的微小機會也納入，並略做調整，那麼你等車的時間還是要更長，超過看到公車離站的狀況。若你沒有看到公車離站，平均就要多等5分多鐘。

那就是為什麼，恰好錯過公車有可能會讓你更快完成整段旅程。

【知識補給站】公車真的一來就是三班嗎？

車班集結成群絕對不是公車公司無能所造成的。這種集結現象純粹是生活中的現實。就算總站每15分鐘準時發車，乘客來到候車亭的時間卻不是那麼精確。絕大多數乘客都是隨機抵達。很可能在公車路線某點上，會突然有大批乘客抵達，當然搭車上下時也要刷卡投幣。這種行為會讓公車慢下來，也因此到了下一站時，就會需要搭載更多旅客。

這樣一來，下一班公車就會愈來愈接近前一班。況且，由於在兩班車的間隔期間抵達的乘客人數也要減少，於是第二班公車要搭載的乘客還要更少。因此第二班公車還會行進得更快。這時兩班公車就會陷入一種惡性循環，所以第二班車就幾乎肯定會趕上第一班，結果這兩班車就會雙雙完成旅程。這就是為什麼公車常會兩兩成群。

公車行進的路線愈長，就愈可能和另一班車集結成群。果真有三班公車聚集並列，也比較可能是在接近漫長行程的終點時出現。這種現象也比較常見於班車相距很近的狀況，換句話說，就是車班較為密集的公車路線。這還真是諷刺，「最好」的公車路線卻變成最會集結成群，也最容易引來罵名的路線。

然而，這種怪異的結果有個先決條件，那就是公車確實會每三班集結。不過，下面的「知識補給站」可以證明，公車比較可能兩兩聚集，卻較少成三集結。倘若公車是兩兩集結，那麼結果是就算你恰好錯過公車，也不會影響候車時間長度。

倘若公車完全不集結成群，這時若乘客錯過公車，情況就最糟糕了。這時錯過公車絕對就要等15分鐘，而這時若是沒有看到公車，就表示平均要候車7.5分鐘。不過，倘若你看到公車離開，至少你就知道今天他們還在營運……

◎為什麼總是看到公車朝反方向離去？

另外有個問題和公車集結有關，這種現象很怪，實際上也可能發生。假定你的候車亭很接近公車路線終點。公車到終點就要掉頭向起點開回去。你也注意到，不管你在任何時間前往候車，幾乎每次都會先看到你的公車朝反方向離去，隨後才會看到你要搭的方向。這感覺上就像是串通好的，你是否應該寫信去抱怨？

我們先替你的公車路線擬定幾個時間。你的候車亭距離路線終點只有1分鐘，而且公車繞完整條路線要花15分鐘。這就表示，你的公車每15分鐘就來一班。你抵達時，公車有可能在較長路線行進，也就是你在那13分鐘間隔期間來到候車亭，不然你也可能是在公車開抵終點並掉頭回駛的那2分鐘間隔期間抵達。

只要你是隨機抵達，那麼你就比較可能在較長間隔期間抵達，機率是13比2，因此你看到的第一班公車，就會在道路另一側行駛，並正要前往終點站。事實上，只要是每隔15分鐘發一班車，不管有多少輛公車在你的路線上行駛都沒有關係。因此，儘管你會覺得，在道路另一側行駛的公車班次比你這側的多，事實上卻不是如此。

【知識補給站】花為什麼全都送到莎拉手中？

菲爾有兩位女朋友，他去探望女友時都搭火車。貝姬住在城北，莎拉則住在城南。由於菲爾猶豫不決，不知道該去探視哪位，因此他打算碰運氣來決定。每天他都隨機在不同時間來到車站，倘若北上列車先抵達，他就去找貝姬；若是南下列車先抵達，他就去看莎拉。幾個月之後，菲爾開始覺得命運有安排，因為他只探視了貝姬2次，去找莎拉卻達28次。這該如何解釋？

答案和列車頻率完全無關。北上南下的火車班次相等。其實其中原因非常單純。南下的列車在整點和每小時的15、30與45分鐘時抵達菲爾候車的車站；而北上的列車則是在每小時的01、16、31和46分鐘時抵達。

因此，倘若菲爾是在隨機時間抵達，那麼他就比較可能在南下列車到站前的較長間隔期間抵達，同時比較不可能在南下列車剛走、北上列車到站前的較短間隔期間抵達（事實上機率為14倍）。

◎在雨中跑多快才不會被淋濕？

本章談了很多有關於等公車和火車的事情。當然，偶爾大眾運輸系統也會失靈，到最後你根本就必須走路。倘若這時還下起了大雨，而且你的雨傘也不在手邊，那麼問題就更大條了。

這裡有個老問題：「你是應該跑步或走路？」若是你決定開跑，想想原本打不到身上的許多雨點，這下你都要撞上了。那麼就走路吧，這樣你在雨中就會待得更長，肩上也淋個濕透。多年以來都有些人認真構思，從數學角度來鑽研這個問題。結論始終都是，若想儘量保持乾燥，你就應該全力奔跑。或許你根據常識就知道這點。

然而，這道問題還有個意外轉折。標準答案假定雨點是垂直落下。倘若下雨時還刮風，雨點是以某個角度下墜，那時又會如何？

當雨點垂直下墜，而你站立不動，雨點只會打到你的頭頂肩上。然而，倘若有風從你背後吹來，那麼就算你靜靜站著，還是有部分雨點會淋到你的後背。這就猶如雨點除了垂直下墜之外，還會橫向撲來。雨點有水平速率。這個意外轉折就是，當雨點從你後方撲來，有時候最好還是走路，不要奔跑。不過，這只有當你的移動速率，能夠超過雨點的水平速率之時才管用。

◎公平分蛋糕的心理戰術

分蛋糕給小孩時，他們都會斤斤計較是否公平。一旦孩子認為蛋糕不是切得完全公平，他們都會等不及開始抱怨。成人很少大聲抱怨，不過他們私底下也會感到不滿。因此，你要怎樣才能保證蛋糕分得公平？我們就假定那是鮮奶油蛋糕，因此，第一次就絕對要把蛋糕切得圓滿，不會有第二次的機會。

首先提出一個簡單問題。媽媽給湯姆和凱蒂吃鮮奶油蛋糕，想要平均分給他們。兩個孩子都不相信媽媽有辦法完全公平分配，也都自認為會吃虧。媽媽要怎樣做，才能保證讓兩個孩子都覺得完全公平？

答案是把刀子拿給湯姆，要他分糕，接著要凱蒂選擇一塊。湯姆要切糕，因此他會認為那兩半是一模一樣，而凱蒂則會選擇她覺得比較大的那塊。順便一提，這還會產生一種有趣的現象。湯姆會認為留給他的那塊是正好均分，而凱蒂則會覺得，她拿走的那塊比均分還要大一點。湯姆的「均分」加上凱蒂的「比均分大一點」加起來大於1。若依這種數學邏輯推論，結果就是孩子認為，那塊蛋糕到最後還比原來的更大！這對當父母的是個好消息，可以讓孩子心滿意足。

若是有3個孩子，問題就比較複雜了。我們假定這時艾瑪也來了。最簡單的作法就是要湯姆把蛋糕切成3塊，接著要凱蒂先選，隨後讓艾瑪挑一塊。不幸，儘管凱蒂和艾瑪都會認為，她們選的蛋糕比湯姆的大，艾瑪卻可能覺得，凱蒂拿到的有可能是最大塊的。

這促成了「眼紅數學」（mathematics of envy）研究。幾位數學家都曾經針對這類問題下過功夫，結果發現幾種作法，可以把蛋糕切成3份，而且分到蛋糕的人，也都會認為自己拿到的最大。布拉姆斯（Steven Brams）和泰勒（Alan D. Taylor）還鑽研了切糕分給4人的問題。他們訂出嚇人作法，包括20個步驟，保證可以妥善均分蛋糕，還能讓所有人都認為，自己挑中的是最大塊的。這種作法的最大缺點是，過程要從其中一塊切下薄片。很少有人有那種耐心照本宣科，而且切軟蛋糕時還會亂七八糟黏成一團。

不過，布拉姆斯和泰勒發現，他們的程序不只是可以用來切糕，還能用來分其他東西。其中也包括戰後領土劃分、離婚怨偶的財產分配或甚至於分遺產。這一切都可以證明，蛋糕和三明治都是很好的研究起點，能夠由此進入「公平數學」（mathematics of justice）研究。不過，這兩者也都是研究「內疚數學」（mathematics of guilt）的優異初階範疇。

◎來自餅乾的內疚數學

假定你和4位鄰居獲邀到住在27號的歐太太家喝茶。在你到達時，歐太太端出一壺茶，還有一碟5片餅乾。4片是巧克力的，另一片是原味的。你猜想那4位鄰居中，多數都愛吃巧克力餅乾。那碟餅乾擺在桌上，大家都在聊天，前3位鄰居動手各拿走1片巧克力餅乾。

你看著碟子，裡面有1片巧克力的和1片原味的，於是你思忖：「倘若我拿那塊原味餅乾，吃起來並不過癮，不過這樣一來，我就不會覺得內疚。另一方面，倘若我拿巧克力餅乾，那會很好吃，不過我會感到內疚……我該怎麼辦呢？」

問題是，你拿走最後那片巧克力餅乾，真的應該感到內疚嗎？畢竟，倘若第1個人拿的是原味的餅乾，那麼往後4人就都只有巧克力餅乾可吃。因此，或許第1個人應該也要感到內疚，因為是她讓你陷入這種困境。第2位和第3位也一樣。

這個問題會牽涉到內疚數學，這個領域和機率有些關連。倘若80%的人比較喜歡吃巧克力餅乾，超過原味的，那麼當第1位鄰居伸手取走1片巧克力餅乾之時，在其他鄰居當中，希望拿巧克力餅乾的比例，各約為40%（算法為0.8×0.8×0.8×0.8）。因此，第1位鄰居不必太感到內疚。不過，等到該你拿餅乾的時候，碟子裡就只剩下1片巧克力的和1片原味餅乾，這時另一位鄰居想要吃巧克力餅乾的機率，已經攀升到80%。難怪你會感到內疚。不過，前面幾位鄰居也都是幫凶，會逐一提高機率。因此，拿巧克力餅乾的人，沒有一個是完全無辜的。

要解決巧克力餅乾內疚問題，有幾種對策可以採用。第一種是，一開始就拿起碟子，詢問是否有人要原味餅乾。倘若有人拿走原味的，那麼你就可以如願拿1塊巧克力餅乾，也完全不用感到內疚。這種作法的缺點是，不管是巧克力或其他任何東西，都沒有人希望最後挑選。突然之間，原味餅乾本身卻變成內疚的來源。

還有另一種作法，你可以宣布自己不餓，因此其他人就可以自行分享餅乾。有些人會說，這種無私表現能博得屋裡其他人的一致讚揚，還能鼓舞全球民眾的博愛胸懷。另外則有人會認為，這是自甘放棄的懦弱表現。

於是只剩下最後一項對策，那就是把一切罪過都推到歐太太身上：「對不起，不過我們有5個人，卻只有4片巧克力餅乾。」就短期而言，問題很可能解決，同時歐太太也飛奔到街角餅店，不過這或許就是你最後一次獲邀飲茶。

◎錯過公車有可能是好事

所有人都知道，每次想搭公車時都要等上天長地久，接著一來就是三班。這是常見的都市之謎，而且至少頻繁得可以用來當作書名。不過，數學家也確實會認為是個謎團。因為通常公車並不是一來就三班，而是兩兩出現。

不過，眼前就暫時假定，公車的確一來就是三班。如果這是事實的話，那麼通勤乘客的惡夢根本就不是惡夢。

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怎麼...

【推薦序】 數學知識果然非常有用！――洪萬生
【序】 生活種種全都有數學――Tim Rice

【緒論 把數學帶回日常現實生活】

【第1章 為什麼永遠找不到四葉幸運草？】
自然界裡的數學大驚奇╱費波那契數列╱黃金比率╱圓周率和圓╱為什麼動物沒有輪子？╱蜂巢形和六角形╱接下來要完成大自然循環……

【第2章 走路也有大學問！】
柯尼斯堡道路之謎╱瓦斯查表員該怎麼走最省時？╱旅行銷售員的路程煩惱╱曼哈頓的計程車司機如何估算出正確的最短距離？

【第3章 問卷調查的真相】
我能相信收視率調查嗎？╱撒謊數學╱訪問的樣本人數足夠嗎？╱樣本的選擇與統計結果是否有關係？

【第4章 聰明人也會做錯事？】
經驗和智慧偶爾也要壞事╱灰頭土臉的藥物試驗員╱星際板球場之柵欄傳奇╱威士忌該怎麼調配？╱心算常犯的錯

【第5章 怎麼下賭注，勝算最高？】
誰在研究如何下注？──伽利略、帕斯卡與費馬╱硬幣和骰子╱樂透彩的祕密╱賭馬和賭場╱有沒有賭法能夠逢賭必贏？

【第6章 巧合真的很巧嗎？】
巧合並不如想像中意外╱你的生日跟我一樣╱生命中發生奇妙巧合的機率會高嗎？

【第7章 從哪個角度撞球才容易入袋？】
幾何學是生活的數學╱打撞球的角度學問╱踢英式橄欖球的自由球，最佳得分位置在哪？╱遊客們要如何輕鬆地瞻仰雕像英姿？╱海灘遊俠們的戒護角度

【第8章 密碼攻防戰】
瑪麗女王的死因╱早期的密碼系統╱代換密碼╱矩陣代換╱轉置式密碼╱陷門和真正無解的密碼

【第9章 為什麼公車一次來三班？】
錯過公車有可能是好事╱為什麼總是看到公車朝反方向離去？╱在雨中跑多快才不會被淋濕？

【第10章 怎樣切蛋糕最好？】
先倒牛奶還是先倒茶？╱蛋糕聰明均分術╱公平分蛋糕的心理戰術╱來自餅乾的內疚數學

【第11章 不作弊要怎樣贏？】
不真正作弊的對局獲勝技巧╱成功邀到美人的祕訣╱剪刀、石頭、布╱誰是廣告戰後的贏家？╱公平競爭與協商合作╱維護原則，人盡皆輸！

【第12章 誰是世界冠軍選手？】
運動排行榜的數學基礎╱運動排行榜問世前的狀況是……╱為什麼運動排名並不單純？╱運動排行榜的反常現象

【第14章 第13章哪裡去了？】
我們能合理解釋厄運嗎？╱閱讀地圖時的倒楣事╱每次趕路時，總是碰到紅燈？╱別人玩樂透都中獎，為什麼我偏偏沒有？

【第15章 誰是殺人凶手？】
福爾摩斯解開謀殺之謎╱推論的正與誤╱孩童的「不要」邏輯╱電腦和邏輯閘╱或許含糊才是聰明的

【第16章 真衰，又碰上塞車了！】
為什麼高速公路、電扶梯和超級市場都要大排長龍？╱紅綠燈的服務率╱沒有紅綠燈也排長龍╱脈衝和電扶梯╱超市購物長龍╱不可能超越的限制……

【第17章 為什麼淋浴時水溫不是過熱就是過冷？】
淋浴回饋系統╱正回饋作用力╱指數成長與負回饋╱負回饋和控制╱負回饋迴圈╱時間差和淋浴

【第18章 如何準時上菜？】
關鍵路徑和排程問題╱注意！順序要做對╱如何在時間內完成程序複雜的肉餡馬鈴薯餅？╱如何縮短病人等候時間？╱有效率！風險也要納入關鍵路徑分析

【第19章 六種逗小孩高興的神奇把戲！】
數字也可以變魔術╱1號把戲：動物魔術╱2號把戲：超能力遊戲╱3號把戲：預測數字╱4號把戲：魔術方陣╱5號把戲：無聊的數字，驚喜的結果！╱6號把戲：顛倒數

結語

【推薦序】 數學知識果然非常有用！――洪萬生
【序】 生活種種全都有數學――Tim Rice

【緒論 把數學帶回日常現實生活】

【第1章 為什麼永遠找不到四葉幸運草？】
自然界裡的數學大驚奇╱費波那契數列╱黃金比率╱圓周率和圓╱為什麼動物沒有輪子？╱蜂巢形和六角形╱接下來要完成大自然循環……

【第2章 走路也有大學問！】
柯尼斯堡道路之謎╱瓦斯查表員該怎麼走最省時？╱旅行銷售員的路程煩惱╱曼哈頓的計程車司機如何估算出正確的最短距離？

【第3章 問卷調查的真相】
我能相信收視率調查嗎？╱撒謊數學╱訪問的樣...