這種地方也有微積分！

01 常見於現實生活中的「微積分」

微積分有什麼用途呢？

聽到微積分，可能會讓您想到高中時硬背下來、卻不知道在幹嘛的公式，以及複雜的計算過程。想必有不少人就是因為不曉得微積分實際上有什麼用途，進而排斥這門學問。

微積分是用來預測事物瞬間變化的工具。舉例來說，像是汽車的車速錶、飛機起飛／落地速度計算、人造衛星或火箭的軌道計算、化石的年代測定、經濟狀況的變化、畫出高速公路或雲霄飛車彎道的羊角螺線、颱風路徑預測、Twitter「流行趨勢」中熱門關鍵字的演算法等等，都會用到微積分。微積分是一種非常實用的工具，能在各種領域中發揮其用途。

最近發展起來的微積分應用

近年來，我們常可聽到人工智慧、機器學習等名詞。微積分可以說是機器學習的必要學問。在瞭解微積分原理之後，便能加深對這些尖端技術的理解。而本書會在不列出複雜算式的情況下，介紹微積分的概念。

我們的周圍充滿了微積分的應用！

●我們周圍的微積分

車速錶、人造衛星軌道計算、颱風路徑預測

化石年代測定、高速公路的彎道角度、手機的殘存電量

櫻花開花時間預測、Twitter的流行趨勢

●使用微積分的最新技術

人工智慧、機器學習、深度學習

↓

微積分 是這些技術的基礎

試著觀察它們之間的關係吧

02 揭露微積分的本質 加、減、乘、除

接著就讓我們開始來學習微積分吧。若想掌握微積分的概念，可以先試著從各種角度重新觀察「加、減、乘、除」的意義。本節就讓我們來看看「加、減、乘、除」的本質吧。

加法的相反是減法、乘法的相反是除法

如右圖所示，加法的相反是減法、乘法的相反是除法。精確來說，這種逆向運算的方法，稱做逆運算。

乘法是加法的應用

接著讓我們把焦點放在加法與乘法的關係，以及減法與除法的關係。舉例來說，若要計算3 + 3 + 3 + 3 + 3的結果，可以像下面這樣把3一個個加起來

不過寫成3 × 5 = 15時顯然快得多，也能得到正確答案。相同數值的連加可以寫成乘法，所以我們可以說乘法是加法的應用。

p.11

從蘋果的計算開始學習微積分的概念

●加、減、乘、除之間的關係

加法 相反 減法

應用

乘法 相反 除法

●加法與乘法的關係

「乘法」可以想成是「加法的應用」

減法與除法間有什麼關係？

03 除法是減法的應用

減法與微分息息相關

看過前節內容後，可能你會想，既然乘法是加法的應用，那麼除法是否也是減法的應用呢？

舉例來說，一般我們會把「6 ÷ 2 = 3」看成是「3 × 2 = 6」的逆運算，但其實我們也可以把這個除法看成是「6減去幾次2之後會變成0」。故可得到以下結果。

6 - 2 = 4 ：減去1次2

6 - 2 - 2 = 2 ：減去2次2

6 - 2 - 2 - 2 = 0 ：減去3次2

6減去1次2後為4，6減去2次2後為2，6減去3次2後為0，故可得到6 ÷ 2 = 3。這種將除法視為減法應用的概念，可以用在許多情況。

舉例來說，我們曾在小學時學過，計算分數除法時，需「乘上倒過來的除數」，但要說明為什麼要這樣算並不容易。這是因為，如果我們將除法視為乘法的逆運算，就很難用日常生活的例子來說明「分數的除法」為什麼要這樣算。

此時，「除法是減法的應用」這個概念就能派上用場了。減法常用在比較數字大小的時候。如果把除法視為減法的應用，那麼在比較大小時就可以使用除法。微分就是由這種想法衍生出來的計算方式。

奠定微積分概念的四則運算關係

●除法是減法的應用

減去1個2 減去2個2 減去3個2

●加、減、乘、除之間的關係

加法 相反 減法

應用 應用

乘法 相反 除法

應用

微分

盒裝蛋就是乘法的化身！

04 乘法與積分彼此對應

用盒裝蛋來說明乘法

如右頁圖所示，2個蛋成對，共有5對。因為蛋在運送過程中可能會破裂，所以通常會裝在盒子內販售。這種裝成一盒的行為，就是在做乘法。把盒子與蛋置換成正方形與○，如右頁圖示。置換之後，一個縱行、一個橫列分別有多少個正方形呢？像這樣用簡單的形狀置換之後，計算起來就會簡單許多。

在這個問題中，一個縱行有2個正方形，一個橫列有5個正方形，故正方形總數為2 × 5 = 10。右頁圖中，如果把裡面的格線拿掉，可以得到一個大長方形，縱長為2，橫寬為5，故面積為2 × 5 = 10。所以說，乘法可以想成是計算一個形狀的面積。不過，用面積來表示一個數會顯得有些抽象，如果改用乘法來表示的話就會具體許多。

具體（蛋） 抽象（正方形與○）

數學領域中，常會像這樣把事物簡化計算。這種「乘法＝面積」的概念，就與積分息息相關。

這種地方也有微積分！

01 常見於現實生活中的「微積分」

微積分有什麼用途呢？

聽到微積分，可能會讓您想到高中時硬背下來、卻不知道在幹嘛的公式，以及複雜的計算過程。想必有不少人就是因為不曉得微積分實際上有什麼用途，進而排斥這門學問。

微積分是用來預測事物瞬間變化的工具。舉例來說，像是汽車的車速錶、飛機起飛／落地速度計算、人造衛星或火箭的軌道計算、化石的年代測定、經濟狀況的變化、畫出高速公路或雲霄飛車彎道的羊角螺線、颱風路徑預測、Twitter「流行趨勢」中熱門關鍵字的演算法等等，都會用到微積分。微積分是一...

前言
第1章 學習微積分之前的準備
01 常見於現實生活中的「微積分」
02 揭露微積分的本質 加、減、乘、除
03 除法是減法的應用
04 乘法與積分彼此對應
05 藉由分配蘋果來理解除法概念
06 不能除以0
專欄 在法國旅行時學到的自然數概念
07 用x與y的圖來描述x與y的關係
08 笛卡爾作夢夢到的「座標平面」
09 座標平面與熱門商品的關聯
10 與深度學習有關的函數
11 用具體的例子來學習函數
12 如何表示「超級小的數」？
13 lim也可表示「超大數值」
專欄 「1 = 0.99999……」是真的嗎？

第2章 微分的本質是除法
01 地球明明是圓的，為什麼看起來是平的？
02 由傾斜程度理解微分的概念
03 微分符號中，最重要的符號是「—」
04 瞭解微分的概念與微分結果的意義
05 由圖理解微分的計算
p.5
06 由微分結果看出遞增或遞減
07 日本高中教科書就有提到微分的目的〔其一〕
08 日本高中教科書就有提到微分的目的〔其二〕
09 大學入學考試試題中出現過的奇怪圖形
專欄 How much is你的時薪

第3章 積分的本質是乘法
01 由面積理解積分的概念
02 為什麼微分與積分是相反的過程
03 為什麼積分後會得到面積
04 為什麼要先學微分，再學積分
05 答案有無限多個？ 不定積分的神奇之處
專欄 單字與符號顯露出了微積分的意義
06 答案固定的定積分與面積
07 許多圖形是旋轉後得到的結果
專欄 1 L牛奶盒之謎

第4章 身邊常見的微積分例子
01 推特趨勢由微分決定
02 用函數瞭解滿足程度的極限
03 用在CD和DVD上的微分
04 冠狀病毒的新指標「K值」
05 用積分預測櫻花前線
06 用積分計算是否有充電的必要
07 用積分證明地動說
08 微積分與物理的關係
09 為什麼變化球會彎曲
10 為什麼飛機能在空中飛？
p.6
11 照片像素（pixel）與積分的關係
12 最近常聽到的像素（pixel）究竟是什麼？
13 AI、機器學習、深度學習的介紹

第5章 賦予角色生命的微積分
01 決定動畫或遊戲中的角色位置
02 如何製作3D角色
03 「草」剛好很適合用函數來表現
04 用電腦重現出光的特徵
05 動畫是連續的微小變化呈現出來的結果
06 把僵硬的動作修到自然平順的spline函數
07 角色的捲髮是物理學的應用
專欄 誕生自創造性休假的未來科學

結語

前言
第1章 學習微積分之前的準備
01 常見於現實生活中的「微積分」
02 揭露微積分的本質 加、減、乘、除
03 除法是減法的應用
04 乘法與積分彼此對應
05 藉由分配蘋果來理解除法概念
06 不能除以0
專欄 在法國旅行時學到的自然數概念
07 用x與y的圖來描述x與y的關係
08 笛卡爾作夢夢到的「座標平面」
09 座標平面與熱門商品的關聯
10 與深度學習有關的函數
11 用具體的例子來學習函數
12 如何表示「超級小的數」？
13 lim也可表示「超大數值」
專欄 「1 = 0.99999……」是真的嗎？

第2章 微分的本質是除法
01 地球明...