每次學習，大腦的神經路徑就會成形、強化或連結

研究人員從動物實驗找到大腦可塑性的新證據，接著就開始研究人腦改變的潛能。最有說服力的研究來自倫敦。我的教書生涯就是從倫敦開始的。倫敦是全世界最有活力的都市，這裡有數百萬的居民和觀光客。每天，你都可看到「小黑」（傳統的黑色計程車）在大街小巷穿梭。倫敦的小黑駕駛可說是地表上最厲害的運將，又有「人肉GPS」之稱。你跳上一部小黑，告訴司機你要去某個地方，如果司機說他不知道那個地方在哪裡，你就可以向計程車管理機關申訴。

要記住倫敦的每一條路，倒背如流，得費盡千辛萬苦，才辦得到。如果你要在倫敦開小黑，大約必須花費四年的時間。最近，我在倫敦搭小黑，司機告訴我，他花了七年才通過考試。在準備期間，應試司機必須記住以查令十字車站為中心、半徑十公里內的兩萬五千條街道和兩萬個地標或地點，以及任兩點間最順的路線。這不是死背硬記就能背下來的，你必須開過每一條路，感受每一條街，親眼看看地標，看任兩個地點要如何連接，才記得起來。在訓練完成後，司機必須通過「倫敦道路知識測驗」才可執業。每個倫敦計程車司機平均考了十二次才過關。

倫敦計程車司機的訓練範圍及焦點引發腦科學家的注意。科學家因而決定研究計程車司機在受訓前後的大腦變化。研究發現，經過密集的空間訓練之後，計程車司機的海馬迴明顯增長。這項研究非常重要，原因有好幾個。首先，研究對象是屬於多個年齡層的成年人，這些成年人全都出現顯著的腦部成長與改變。其次，他們腦部成長的區域──即海馬迴──對所有形式的空間及數學思維非常重要。研究人員還發現，如果小黑司機退休了，海馬迴就會萎縮──不是因為年齡大了，而是因為比較少使用。這種程度的大腦可塑性及變化震驚了科學界。成人如果積極的研究、學習，腦部就會產生新的連結與路徑，但是如果不需使用，這些路徑就會漸漸萎縮、消失。

出錯能強化大腦路徑

十三歲的克萊蕾莎正在學單簧管。她看起來只是個很普通的小女孩，音樂資質平庸，音感沒特別好，節奏感平平，也沒有特別強的學習動機。但根據音樂心理學家的計算，她運用特別的學習方法使自己的學習速度快十倍，而轟動音樂界。研究人員錄下一段驚人的學習影片，讓音樂專家研究。

科伊爾看了這段影片之後，建議這段影片題為：「用六分鐘達成一個月學習成效的女孩」。他如此描述克萊蕾莎的練習過程：

「克萊蕾莎吸氣，吹了兩個音。接著停下來，把口中的單簧管移開，盯著譜，瞇著眼。接著，重新吹奏。吹完第一句，馬上停下來。第一句有七個音，她漏了一個⋯⋯她又從頭開始，這次多吹了幾個音，又漏了最後一個音，再倒回去，重吹，把方才漏掉的音補上。開頭漸漸成形──她吹奏的音樂有了活力和感情。吹完一段之後，她足足停了六秒，似乎在心裡哼唱，一邊按著按鍵。然後，微微前傾，吸氣，開始吹奏。」

這段演奏聽起來很糟，根本不是音樂，只是支離破碎、斷斷續續的音符，動不動就停下來，而且錯誤很多。在一般人看來，克萊蕾莎大概永遠也學不會。但學習不能以一般人的眼光來看。

研究人員漸漸看出克萊蕾莎驚人之處，說道，她心中似乎有一份藍圖，不斷和自己比對。她會用完整的概念處理樂曲，同時能聽見自己的錯誤，然後修正。研究人員說道：「此刻價值百萬。」科伊爾指出：「這不是普通練習，而是一個高度專注、聚焦於錯誤和修正的過程。克萊蕾莎在成長、創建。旋律愈來愈清晰、連貫了，她也出現新的特質。」

就書中討論的各個案例，科伊爾論道，學習者「利用大腦神經機制，以有目標的練習模式來培養技能，不知不覺進入加速學習狀態。這種狀態雖然無法保留，然而如果能掌握竅門，就能進入這種狀態。簡而言之，他們破解了天才密碼。」

高效能學習的一個特點就是會出現錯誤、碰到困難，歷經這些考驗之後就能從新手變成專家。這和大腦研究的結果一致：也就是人在犯錯、掙扎時，大腦的活動比較顯著，如果做得正確無誤，大腦活動則比較少。不幸的是，大多數人都認為自己應該盡量做對，如果犯錯，那就糟了──殊不知對大腦而言，錯誤正是最好的刺激。

多角度學習，促進大腦連結

愛因斯坦或許是最典型的「天才」。他擁抱錯誤，而且以特別有成效的方式來學習。在愛因斯坦的名言中，我最喜歡的幾句如下：

．如果一個人從未犯錯，表示未曾嘗試新的東西。

．其實，關鍵不在我的聰明才智，而是在我鑽研問題的時間。

．我沒有任何特別的才能。我只是擁有熾熱的好奇心。機會就藏在難關之中。

從這些話來看，愛因斯坦極有可能具有成長型思維，即使在他在世時，「成長型思維」的概念尚未形成。愛因斯坦談到擁抱挫折、長時間的堅持、好奇、不要怕犯錯，而且拒絕有關才能與天賦的成見。

愛因斯坦會用圖形思考。他常說，他所有的想法都源於圖形，而且一直努力把圖形概念轉化為文字和符號。由於愛因斯坦對科學有長遠的影響，無怪乎世人皆認為他是「天才」。他沒有今天的工具和技術，但他猜想黑洞會互相環繞，並把時空扭曲成向外擴散的重力波。一百年後，《國家地理雜誌》描述的「巨大計算能力」才證明愛因斯坦的假設是正確的。儘管愛因斯坦有這麼偉大的成就，這樣的成就並非來自天賦或特別的才能，而是奉獻、孜孜不倦的研究和圖形思考。愛因斯坦對學習與人生皆不設限，這種態度有助於他研究的一切。

根據二○一七年五月《國家地理雜誌》刊登的一篇文章〈天才的要素〉（What Makes a Genius?），科學家曾研究愛因斯坦的大腦切片，看他具有哪些特質。二○一三年，費城的馬特博物館（Mutter Museum）收購了四十六片愛因斯坦的大腦切片樣本，放在館中展覽，以滿足民眾對天才大腦的好奇心。很多參觀者盯著愛因斯坦的大腦，實在看不出個所以然來。考夫曼（Scott Barry Kaufman）領導想像力研究所（Imagination Institute）的一個團隊則是研究活人的大腦。他們募集各領域的頂尖好手，觀察這些人的大腦。結果發現，這些人大腦不同區域之間出現比較多的主動連結，兩個大腦半球之間的交流較多，思考也比較靈活。腦部各區域的頻繁溝通就是他們大腦的特點，但這種溝通不是與生俱來，而是透過學習發展出來的。

數學重靈活，不必拚速度

數學並非一門講求速度的科目。諷刺的是，學校重視解題速度，如果學生解題速度不夠快或有解題壓力，就認為自己未來與數學或科學無緣。其實，有些偉大的數學家對數字反應不夠快，處理數學問題也很慢。他們之所以慢，是因為他們的思考細緻而深入。

近年來，有些全世界最偉大的數學家，包括榮獲菲爾茲獎的史瓦茲（Laurent Schwartz）和米爾札哈尼都曾公開表示自己是思考慢的人。史瓦茲在獲得菲爾茲獎後，出版了一部自傳，提到他在求學時代由於反應很慢而覺得自己很笨。他說：

「我總是懷疑自己的智力。我覺得自己不夠聰明。我小時候不聰明，現在還是一樣。我的思考很慢，得花很多時間才能完全了解、掌握一些概念。十一年級結束時，我暗自認為自己是個笨蛋。我一直很擔心這點。

現在，光是一個問題，我還是得琢磨個半天……升上十二年級之前，我衡量情況，得到一個結論：速度和智能沒有一定的關係。重要的是，是否能深入了解事物及事物之間的關係。這才是聰明才智。反應快慢其實沒那麼重要。」

我在學生時代反應很快，但老師反而生我的氣。記得十年級數學老師在開始上課時會先在黑板上寫下八十個題目。老師一邊寫，我一邊飛快解題，等她寫完，放下粉筆，轉過頭來面對我們時，我已經做完所有題目，把試卷交給她。看我做這麼快，她總是擺出一張臭臉。有一次，她對我說，我做這麼快，完全是為了跟她作對（我實在不明白為什麼她會這麼想）。接著，她仔細看我的解答，希望抓到我的錯誤。但我不記得我曾出錯。如果過去的我有今天的知識，我希望告訴她，我能做這麼快，是因為那些題目用不著複雜、深入的思考─雖然這麼說或許也不會有什麼好的結果。

那時，我題目做得飛快，因為我以為速度是最重要的。在古老的學校系統，好幾百萬的學生都認為「學習成就」與「速度」息息相關。幾十年後的今天，我才知道不能只重視速度，該用不同的方法來學習。我不再追求解題速度。對我而言，深入、有創意的思考才是最重要的。這樣的變化對我有很大的幫助。現在，不只是數學思考，科學或科技文章及研究工作也能讓我獲益良多。學習方式的改變引燃我對學習的熱情，因而能幫助別人破解迷思，追求理解、創造力與連結。

多吉醫師說道，如果一個人學得快，或許能強化已有的神經連結，但這種連結「來得容易，去得也快」。這就是為何考試前一天臨時抱佛腳，在短時間內硬塞很多新東西到腦子裡，但一考完也差不多忘光了。比較永久的大腦變化來自大腦新結構的形成──包括神經連結與突觸的萌生。這個過程終究需要時間。

多吉醫師提到一個關於點字學習的研究。研究人員發現，較快的大腦發展會立即開始，但是更慢、更深、更永久的發展則需要比較長的時間，而後者的學習效果才能持續到幾個月之後。多吉醫師建議，如果身為學習者的你感覺自己的心靈像個篩子，沒能學到東西，你還是得繼續下去，時間久了，必然能增進學習的深度和效果。「烏龜」學習一種技能似乎需要比較長的時間，不像「兔子」學得那麼快，但兔子如果不持續練習、鞏固學習成果，已學會的東西還是會忘記。

每次學習，大腦的神經路徑就會成形、強化或連結

研究人員從動物實驗找到大腦可塑性的新證據，接著就開始研究人腦改變的潛能。最有說服力的研究來自倫敦。我的教書生涯就是從倫敦開始的。倫敦是全世界最有活力的都市，這裡有數百萬的居民和觀光客。每天，你都可看到「小黑」（傳統的黑色計程車）在大街小巷穿梭。倫敦的小黑駕駛可說是地表上最厲害的運將，又有「人肉GPS」之稱。你跳上一部小黑，告訴司機你要去某個地方，如果司機說他不知道那個地方在哪裡，你就可以向計程車管理機關申訴。

要記住倫敦的每一條路，倒背如流，得費盡千辛萬...

【推薦序】

天大的好消息，人人都學得會！

賴以威　台灣師範大學電機系副教授／數感實驗室共同創辦人

「這樣的數學很好玩吧！」

我永遠記得父親對我說這話時，他那滿臉興奮的笑容。

當時我還在讀大學，他是小學退休老師，因緣際會投入數學教育，開發各種有趣的數學教材。我常常就做為他的頭號試教對象。

「還不錯啦，但這個就是解方程式可以處理的問題⋯⋯。」

深深留在腦海裡的除了父親開心的樣貌，還有我的一絲不以為然。求學過程中我的數學一直都不錯，我覺得老爸的那套比較像解謎、益智遊戲，對象是小學生可能還沒關係，畢竟小孩子就是玩嘛。但如果以學習來說，恐怕太輕飄飄、太快樂了。真的要學好數學，還是得腳踏實地一點，扎扎實實讀講義、練題目，孤單的跟數字符號正面對決，費盡心力戰勝它們，然後將之收為己用。

如果你跟當時的我有一樣的想法，那你絕對是此書的目標讀者。許多人對學習數學有某種既定的想法，這個想法一部分來自自身經驗，更大部分是整個社會傳承的共同經驗與氛圍。舉例來說，普遍認為數學需要大量反覆練習、只有少部分人才能學好數學⋯⋯。這本書打破許多類似的刻板觀念，用故事、研究、教學經驗告訴我們，數學其實可以很好玩，也很好學。

破除天賦論

波勒教授畢業於倫敦國王學院，現任教於史丹佛大學教育系，我第一次知道她是從中研院李國偉老師分享的一場TED演講。那場演講中，她講述了數學學習與成長型思維之間的強烈連結。多數人對成長型思維並不陌生，這是同樣任教於史丹佛大學的杜維克教授所提出，其核心概念是指，心態是影響個人學習、成長、終生成就的關鍵因素。有興趣的朋友可以參考《心態致勝》。波勒教授認為，學習數學就是絕佳的成長型思維實踐場所。因為許多人認為數學講究天賦，甚至男女有別（女生擅長文科、男生擅長理科的刻板印象）。這些剛好就是與成長型思維相反的固定型思維。做為同校教授，波勒頻繁與杜維克討論交流，證實了她的想法。於是在這本書裡，你可以讀到大量破除「數學天賦論」的案例，從腦科學研究到教學現場，再再證明學好數學與天賦無關。

數學天賦論的想法源自於數學家，數學家所追求的是在抽象數學世界裡探索，證明某猜想、發展某理論，開拓人類的數學知識邊界。這是極其偉大且重要的工作，也因為它的特殊性，就像某些得天獨厚的運動員那樣，擁有特殊的數理天賦會有很大的幫助。

然而，回到教學現場，仔細想想我們並非要培育每個孩子都成為數學家，我們希望的只是學好小學數學、學好國高中數學，能理解且運用一定範圍的數學工具。畢竟在資訊、數據主導的科技世界裡，數學是極其重要的能力。這本書告訴我們，掌握這樣程度的數學，好比說解出一元二次方程式，或甚至算出一段積分面積，是人人都可以學會，與天賦無關的。

多元探索，打破單一視角

聽到這邊，許多父母與老師應該會覺得這真是天大的好消息。但也會懷疑起這是否只是心靈雞湯，畢竟實際看到的，就是很多孩子投入了大量時間，卻依然學不好數學。做為一位學者，波勒教授不只有高談闊論，她實際提出了許多教與學的策略方法，讓大人幫助孩子學習。這本書講了最精華的幾種方法，例如多元探索：從不同的角度理解一個數學觀念，搭配圖像化、視覺化的操作，就是很棒的學習方式。

她所說的這些觀點，對我來說十分受用。

我傳承父親理念後，繼續推廣數學近十年。但起初我自己也不太確定，覺得我們寫文章、辦活動，開發所謂的動手做「數學實驗課」，雖然真的讓很多人看見數學好玩的一面，也有不少孩子長期追蹤下，有著不錯的數學表現。但對課堂學習的幫助到底有多少？我的專業是電機，這部分一直只能打個問號，或安慰自己「如果他們覺得好玩，至少以後遇到困難時會願意花比較多時間面對」。但自從看了波勒教授的第一本著作《幫孩子找到自信的成長型數學思維》，上過她在史丹佛開的線上課程，還有這本書後，我獲得了與經驗相互印證的學術理論，更確定「玩」是學好數學的重要關鍵。數學的本質之一是發現規律，最適合做為「探究」、「探索」的學科。學習過程固然需要自己深入思考，但適當的開放、分享自己與他人的觀念，就能像剛剛說的那樣，看見不同的知識面向。比起把時間完全投入在反覆的程序性練習，效果是更好的。

因為數學是紙筆就能學習的科目，過去我們常只重視紙筆的數學學習。紙筆學習或許是一條直徑，但對許多人來說，這條路障礙重重，走起來諸多不易。而多元的活動，明明三言兩語就能講完的觀念，卻變成一整堂課的操作，乍看之下是繞了遠路，但就像市區塞車，我們就會開上高速公路，雖然得走比較遠的距離，但最終更快抵達目的地。

事實上，這幾年，數學教育界也發展出許多活動，例如師大數教中心的奠基模組、洪萬生教授帶領的台灣數學史學會、林口國中李政憲老師的摺紙活動、嘉義大學嚴志弘教授的藝數活動、成功大學舒宇宸教授的數學建模黑客松，還有諸多第一線老師的百花齊放，台灣的數學教育界用實際行動來呼應波勒的理論。

讓下一代學好數學

歷史上發生過許多事，回首過往常讓人覺得有些不可思議，不只是像地心說這樣明顯的科學錯誤，有些比較像是莫名的「社會共識」，例如曾經有一段很長的時間，科學研究對女性來說相對比較不友善。如同前面提到的，台灣的數學教育界已經邁開腳步，如果能結合本書的理論支持，搭配行政端、家長的支持，說不定到了下一代回頭看，他們會開玩笑說：

「以前的人認為少數人才有數學天賦？又不是只能挑一位勇者來拯救世界，明明每個人都能學好數學。」

更希望，他們能同意當年父親所說的話：

「沒錯，數學真的很好玩。」

【自序】

六把學習金鑰

陽光燦爛的一天。我在聖地牙哥博物館前駐足片刻，欣賞廊柱光影亮暗交替，接著準備上台演講。走上演講廳台階之際，一陣興奮震顫穿過我全身。演講廳座無虛席，皆是醫療專業人士。我的演講對象通常是教師和家長。我不知道我的新發現能否引起這群聽眾的共鳴。他們會欣賞我提出的理念嗎？

其實，我用不著擔心。這群醫療人員的反應和很多聽我演講的學生和教育者一樣熱烈。就這次的聽眾而言，大多數人都覺得驚奇，有些人深受震撼，所有人都能了解腦科學研究與自己工作的關聯，甚至能用新的角度來看自己。演講結束時，有位職能治療師跑來跟我說，多年前她本來主修數學，後來覺得太難，就放棄了，認為自己沒有數學方面的才華。她提到她因為被錯誤觀念誤導，無法了解自己的能力，深陷痛苦，恐懼畏縮。她相信大多數人也跟她一樣，認為自己能做的有限。

但是，如果事實恰恰相反，我們能夠學習任何東西呢？如果我們在這一生真的能持續不斷的改變專長、往不同的方向發展、形成不同的身分呢？如果我們每天醒來，腦子都能煥然一新呢？本書將提出證據，證明大腦和人生都具有令人驚奇的可塑性。如果你能完全擁抱這樣的知識，用新的方式來生活、學習，就會有不可思議的結果。

幾乎每天我都會發現有人對自我及學習抱持有害的想法。這樣的人不分性別，來自各個年齡層，各行各業的人都有。他們的經驗如出一轍──本來喜歡數學、藝術、英文或某個學科，後來碰到困難，認為自己沒有那個方面的才能，於是就放棄了。以放棄數學的人來說，他們放棄的不只是數學，還有所有的相關領域，如科學、醫學和科技。同樣的，如果有人認為自己當不了作家，也可能放棄所有的人文領域。又如，有人認為自己沒有藝術天分，就放棄了繪畫、雕刻等藝術。

每年，有好幾百萬兒童在踏入學校之初，為了即將學到的東西興奮不已，然而他們很快就發現自己不像別人那麼「聰明」，因而飽受挫折。成人也往往認為自己不夠好，聰明才智比不上別人，因此決定放棄夢想。不知有多少人一踏入會議室就焦慮起來，深怕被人發現自己知道的東西不夠多。這些限制的想法來自於我們內心。這樣的想法通常是別人或學校給我們的錯誤訊息引發的。我遇見很多孩子和成人，發現他們的人生因為錯誤的想法而受到限制，因此我決定寫一本書來破除這種自我設限的迷思，並提出一種生活和學習的新方式。

很多人都聽過老師或父母這麼說：「你沒有數學腦袋」、「你英文不行」或是「你沒有藝術方面的才華」。師長出自好心告訴孩子，他們學的東西「不適合他們」。聽到這樣的話語時，有些人還只是孩子，有些人則是在大學修習某些科目，或是為了工作第一次接受面試時聽到這樣的意見。有些人直接被告知，他們沒有某種潛力，還有一些人則認為他們能做什麼、不能做什麼是受到文化因素的影響。

如果你能學習本書闡述的新科學，並掌握六把學習金鑰，大腦運作的方式就會出現變化，你也會跟著改變。這六把金鑰不只會改變你對現實的認知，甚至能扭轉現實。因為一旦你開始發揮潛能，就能掙脫束縛，自由自在的生活，克服大大小小的人生挑戰，締造成就。我在本書分享的新科學對每個人的生活都很重要。不管是教師、領導人或學習者，這種新訊息帶來的轉變將有深遠的影響。

我是史丹佛數學教育學系教授，過去幾年和腦科學家密切合作，希望把神經科學的知識納入我對教育和學習的知識當中。我經常與人分享本書的新知識，請他們用不同的角度來看問題，也改變他們對自我的想法。近幾年，我都把心神放在數學教育的問題上。非常多老師、學生和家長都對數學這個學科抱持有害的想法。關於數學能力（及其他能力）的成見，已在美國及全世界引發數學焦慮。很多孩子都認為數學能力是一種天賦，有人天生就有「數學腦筋」，有人則否。一旦他們在學習遭遇困難，就認為自己能力不足。這種成見影響好幾百萬人。根據一項研究，參加產學合作計畫的年輕人當中，48%都有數學焦慮，其他研究也發現，在大學上數學概論的學生約有50%因為數學不好而倍感挫感。儘管我們很難估算在這個社會上究竟有多少人覺得自己數學不好、沒有自信，我估計至少有一半的人。

現在，研究人員已經知道有數學焦慮的人，一碰到數字的問題，大腦裡的恐懼中樞就會變得活躍，就像看到蛇或蜘蛛一樣。

大腦裡的恐懼中樞愈活躍，負責解決問題的中樞就會變得遲鈍。難怪很多數學不好的人一旦開始焦慮，腦部功能就會受到影響。任何學科引發的焦慮都會對大腦的功能產生不良影響。因此，不管在學校或家裡，我們必須避免會引發焦慮的教學方式，不要繼續傳送錯誤的訊息給孩子，以免讓他們對自己的能力有錯誤的認知。

【推薦序】

天大的好消息，人人都學得會！

賴以威　台灣師範大學電機系副教授／數感實驗室共同創辦人

「這樣的數學很好玩吧！」

我永遠記得父親對我說這話時，他那滿臉興奮的笑容。

當時我還在讀大學，他是小學退休老師，因緣際會投入數學教育，開發各種有趣的數學教材。我常常就做為他的頭號試教對象。

「還不錯啦，但這個就是解方程式可以處理的問題⋯⋯。」

深深留在腦海裡的除了父親開心的樣貌，還有我的一絲不以為然。求學過程中我的數學一直都不錯，我覺得老爸的那套比較像解謎、益智遊戲，對象是小學生可能還沒關係，畢竟小孩...

推薦序　天大的好消息，人人都學得會！　　賴以威
各界讚譽
國際好評
自序 六把學習金鑰

第1章　大腦可塑性帶來的驚人改變
　固定型思維的局限
　改變你的認知，改變你的大腦
　好學生也怕數學
　叫「資優生」太沉重
第2章　錯誤與掙扎的正面效應
　錯誤能強化大腦路徑
　從另一個角度看挫折
　錯誤的價值
　用不同視角重新定義失敗
第3章　改變思維信念，扭轉現實
　信念和衝突
　信念與學習
　改變思維方式
第4章　多角度學習，促進大腦連結
　有關手指的驚人發現
　「天才」究竟是什麼樣的人？
　促進大腦溝通和發展的方法
　如果老師也運用多角度學習法
第5章　數學重靈活，不必拚速度
　壓力與焦慮的影響
　關於學習速度的神經科學
　靈活思考
　概念學習
第6章　與人連結，強化神經路徑、增進學習成效
　為什麼合作很重要？
　合作的力量：兩個案例
　透過連結與合作，發揮無限潛能
　鼓勵合作的策略

結論　人生不設限
致謝
參考資源
附錄I　用數字和圖形來解題的範例
附錄II　評量樣本
注釋
出處說明

推薦序　天大的好消息，人人都學得會！　　賴以威
各界讚譽
國際好評
自序 六把學習金鑰

第1章　大腦可塑性帶來的驚人改變
　固定型思維的局限
　改變你的認知，改變你的大腦
　好學生也怕數學
　叫「資優生」太沉重
第2章　錯誤與掙扎的正面效應
　錯誤能強化大腦路徑
　從另一個角度看挫折
　錯誤的價值
　用不同視角重新定義失敗
第3章　改變思維信念，扭轉現實
　信念和衝突
　信念與學習
　改變思維方式
第4章　多角度學習，促進大腦連結
　有關手指的驚人發現
　「天才」究竟是什麼樣的人？
　促進大腦溝通和...