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（依姓名筆劃排列）

「迷幻又科學的黃金比例隱藏在我們周遭每個角落，本書令人...

黃金問題

回顧人類千百年的諸多發現，很明顯地，我們生活在一個由數學規律統治的宇宙中，不論是黃金比例還是其他規律。無論是克卜勒的行星軌道定律、愛因斯坦的相對論，還是讓你的眼睛能夠閱讀現在這頁文字的光學現象中涉及的數學，我們在物質宇宙中所經歷的一切都可以用數學來衡量和描述。

至於黃金比例，我們已經看到它是如何以其獨特的美吸引了無數數學家、藝術家、設計師、博學家、生物學家、化學家甚至經濟學家，激發了他們無盡的想像力。黃金比例存在於人類歷史上許多偉大的藝術和建築作品中。雖然並非所有的事物都建立在黃金比例的基礎上，但黃金比例的出現的確數量驚人。而且伴隨著科技的進步以及我們對物質宇宙知識的擴展，我們一定還會在愈來愈多地方發現黃金比例。

如果你更深入地去瞭解這個話題，你會發現：有些人會告訴你，黃金比例是一個可以定義一切的通用常數；你還會發現有些人說的完全相反，甚至會說我在這本書中列舉的證據根本不存在。這是你的「黃金機會」，仔細想想你所看到和學到的東西，深思熟慮後得出你自己的結論，然後思考這個結論意味著什麼。

你可能會問：為什麼會有爭議存在？這個在一位古希臘數學家書中的一個簡單的幾何圖形中所發現的普通數字，是如何、為何會引起如此熱烈廣泛的討論和分歧？你可以從一個簡單的事實中找到答案：φ以其獨特的方式，觸及了一些哲學層面最基礎的問題和生命的意義。當我們發現世上諸多事物的設計中存在某些數學上的共通性，尤其是在這種共通性看起來出乎意料或者無法解釋時，我們便可能會提出這樣一個問題：這其中是否具備了超越偶然的東西——一個宏偉的設計規劃，背後存在著某種意志，甚至背後有一位設計師？有些人則可能會有不同的解釋，認為這是自然界在適應和最佳化的過程中出現的巧合。無論有多少證據指向相反的結論，每個人都有他背後的信仰體系，影響他對自己所見所聞的一切的解釋。這些關於我們從哪裡來、我們為什麼在這裡，以及我們要往哪裡去的基礎問題，是所有人都必須以開放的思想和開闊的心胸去思考的謎題。

關於黃金比例，還有引起更普遍反響的更重要一點，那就是——它觸及了我們對美的感知。對有些人而言，美的核心在於數學和幾何上的獨特屬性，或者創造完美碎形圖案的能力。有些人則認為，無論有意識與否，我們都能感知到黃金比例之美，無論是在大自然中，還是在人類的臉龐與形態上。還有些人，會有意或無意地在他們的藝術和設計作品中表現黃金比例之美。

不論這種美被感知道什麼樣的程度，我們都需要提出一個更重要的問題：我們是如何、為何要感知美的存在？為什麼我們有看到美的先天能力？為什麼我們也有表達美的需求？從進化的角度來看，美可以視為一種健康的指標，而被健康的事物所吸引，會帶來更有優勢的生存決策——吃哪種水果，或者選擇哪個配偶來繁衍。這很合乎邏輯，但是，欣賞日落中的美、繁星滿天的夜空、啟迪心靈的藝術作品或者一首觸動你內心深處的歌，有什麼進化優勢可言呢？我認為，如果我們能夠坦誠地遵循內心真實感受，大多數人都得承認，人類的體驗存在著超越科學的另一面，不能試圖僅靠科學事實去理性地解釋我們周遭的物質存在。對於我以及歷史上的許多人來說，黃金比例好比黑暗中的一道光，將我們帶到一個不同的角度，讓我們對周遭的一切——包括我們自身——有更深刻的理解。

在這本書中，我只提到了少數可以找到黃金比例的地方，以及少數可以應用黃金比例的方法。有愈來愈多黃金比例的存在和應用不斷被發現，數量驚人。這些發現，哪些是真正的黃金比例，哪些又只是人們的想像呢？要想解決這個問題，最好的方法就是以開放的心態去探索，盡你所能去學習，進而產生真正屬於你自己的理解。

當你踏上這條探索之旅時，別忘了那些先於你走上這條旅程的人們所做出的貢獻。歐幾里得發現了幾何學原理，幾千年來一直給予我們教導和啟發；達文西和文藝復興時期的眾多偉大畫家創新地結合數學與藝術，至今仍然啟迪著我們；克卜勒發現了關於太陽系的基本真理，在他之前的幾代人，一直被謬論所支配；柯比意利用黃金比例的內在和諧，設計了聯合國祕書處大廈，成為領導全球的組織總部，應對人類共同的挑戰，為世界各國帶來和諧；謝赫特曼發現了新的物質狀態，這種狀態以前被認為是不可能的。從LOGO設計到量子力學，黃金比例在各處持續發揮作用。

帕西奧利將黃金比例稱為「神聖比例」，這種說法確實很恰當，因為在很多人看來，黃金比例是一扇門，透過它，我們就能更深入理解生活中的美和意義，找出我們周圍千變萬化事物背後隱藏的和諧或聯繫。以一個數字而言，它的作用和功能不可思議，但事實就是如此：這個數字在人類歷史中發揮了不可思議的作用，甚至之於生命本身，也扮演著不可思議的角色。

黃金問題

回顧人類千百年的諸多發現，很明顯地，我們生活在一個由數學規律統治的宇宙中，不論是黃金比例還是其他規律。無論是克卜勒的行星軌道定律、愛因斯坦的相對論，還是讓你的眼睛能夠閱讀現在這頁文字的光學現象中涉及的數學，我們在物質宇宙中所經歷的一切都可以用數學來衡量和描述。

至於黃金比例，我們已經看到它是如何以其獨特的美吸引了無數數學家、藝術家、設計師、博學家、生物學家、化學家甚至經濟學家，激發了他們無盡的想像力。黃金比例存在於人類歷史上許多偉大的藝術和建築作品中。雖然並非所有的事物都建立在黃金比例...

前言

是什麼讓一個數字如此吸引人，讓它超過兩千年以來一直存在於我們的想像中？是什麼讓一個數字如此普遍，不管在古希臘數學家的著作、宇宙學家革命性的思考、二十世紀建築師的設計，抑或是暢銷驚悚小說翻拍的強檔電影陰謀中，你都能找到它？是什麼讓它無處不在，竟能同時出現在古代世界最偉大的建築物、歷史上最傑出的文藝復興時期大師的繪畫，以及最近發現的準晶體礦物的原子排列中？是什麼讓它如此具有爭議性，在它的出現和應用上竟產生了相互矛盾的說法？

你可能會想，或者已經有人跟你說：證據已經水落石出，解答也已經被找到，這些爭議已經結束了。「黃金比例」並不是一個新話題，自古以來就有很多關於黃金比例的文章，還能有什麼新發現呢？但答案可能會讓你吃驚。幸運的是，技術與知識日新月異、不斷增加，持續提供我們前所未及的新資訊。正如DNA的新技術可以揭示新的真相，完全推翻刑事案件的原有判決；新技術也提供了我們資訊與工具，告訴我們過去的某項判決其實缺乏完整性和準確性。我們也要推翻一些過去的「定罪」——這裡指的不是對監獄裡重刑犯的定罪，而是深植我們心中的定見。定見也是一種監獄，直到我們從不同的角度去看世界前，我們往往無從得知自己的思想是如何被禁錮的。

網際網路就是讓我們蒐集判斷證據的新工具，包括使用更快速計算技術的新軟體，以及日益成長中的全球網路社群，人們會在上面提供資訊。1997年，只有11%的已開發國家和全球2%的人口使用網際網路。而到了2004年，大多數美國用戶仍是透過撥接方式上網，維基百科（Wikipedia）的文章數量還不到2017年的5%。2001年，我創立了「黃金數字」網站（GoldenNumber.net），隨後在2004年，又推出了PhiMatrix軟體，這個軟體僅需花上幾秒就能分析數位圖檔。現在，有大量複雜的圖檔等待我們去研究，其中有許多是我們在近五到十年才獲得的高解析度圖檔。書中將與大家分享的許多見解，都來自於上述網站和軟體世界各地使用者的貢獻，他們在此之前並沒有相互聯繫的管道。因此，我們可以說，那些在一二十年前所提出的見解、證據和結論，現在完全有可能被證明是不完整的。而且我們可以猜測，再過十到二十年，我們到時能掌握的技術和資訊又會帶來新的見解，而且連在我下筆的這個時刻都難以去想像。

無論你是數學家、設計師、φ迷，還是φ懷疑論者，我都期盼你能在這本書中找到一些嶄新、有趣且豐富的資訊，並我希望本書能讓你願意挑戰以全新的方式看待及應用這個數字。我也希望，在我們接下來穿越時空的旅行中，能點燃各位讀者心中的火焰，去探索這個無處不在的數字所擁有的非同尋常的、獨特的數學特性。在各個時代，這個數字曾被冠以不同的名稱，為歷史上許多偉大人物帶來靈感和思考。

前言

是什麼讓一個數字如此吸引人，讓它超過兩千年以來一直存在於我們的想像中？是什麼讓一個數字如此普遍，不管在古希臘數學家的著作、宇宙學家革命性的思考、二十世紀建築師的設計，抑或是暢銷驚悚小說翻拍的強檔電影陰謀中，你都能找到它？是什麼讓它無處不在，竟能同時出現在古代世界最偉大的建築物、歷史上最傑出的文藝復興時期大師的繪畫，以及最近發現的準晶體礦物的原子排列中？是什麼讓它如此具有爭議性，在它的出現和應用上竟產生了相互矛盾的說法？

你可能會想，或者已經有人跟你說：證據已經水落石出，解答也已經被找到，這...

前言
Ｉ黃金幾何
II　φ和費波納契
III　神聖比例
IV　黃金建築與設計
V黃金生命
VI黃金宇宙？
附錄A：更進一步
附錄B：黃金幾何作圖
延伸閱讀與註釋
銘謝
圖片版權
索引

前言
Ｉ黃金幾何
II　φ和費波納契
III　神聖比例
IV　黃金建築與設計
V黃金生命
VI黃金宇宙？
附錄A：更進一步
附錄B：黃金幾何作圖
延伸閱讀與註釋
銘謝
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