1.1　邏輯符號

邏輯是除去事物的表象，而研究事物的本身結構及其相互關係的一門學問，它不僅能培養我們發現問題的能力，亦能訓練我們推理思考與解決問題的能力，因此邏輯是數學學習上不可或缺的一項基本工具。在本節中我們將介紹基礎的邏輯符號及其性質，而在1.2節中我們將介紹有效論證。

1.1.1　敘述

句子是語言運用的基本單位，若依照用途或功能分類，可以簡單分為直述句、疑問句、祈使句和感嘆句四種。而「能夠客觀辨別真假的直述句」，我們才稱之為

「敘述」。例如：

(a)小明長的很高。

(b)小明身高超過180公分。

(c)你吃飽了嗎？

(d)上課請不要吃東西。

(e)今天的夕陽好美喔！

其中，(a)和(b)是直述句，(c)是疑問句，(d)是祈使句，(e)是感嘆句；而(a)雖然是直述句但卻無法客觀決定其真假，所以(a)不是敘述

，相反的，(b)可以明確地知道其真假，所以(b)是敘述。

如果一個敘述所表述的內容與事實完全相符，我們就稱此敘述為「真（ture）」，否則就稱此敘述為「假（false）」。因為敘述是可客觀辨別真假的

句子，因此，一個敘述不是真的便是假的，不會有既不真也不假這種模稜兩可的情形。

句子若依照結構分類，則可以分成單句和複句兩種。單句是最小單位的句子，在邏輯學上，通常以英文字母P、Q、R、…來表示單句；複句（或稱複合敘述）

則是由兩個或兩個以上的單句合起來所構成的一個比較複雜的句子，而將這些單句合起來的字詞則稱為「語句連詞」，以下將介紹常用的語句連詞及其性質。

1.1.2　否定敘述

給定一個敘述，我們可以述說一個新的敘述，使其真、假與原敘述正好相反，此新的敘述稱為原敘述的「否定敘述」，例如：

(a)「小明今天上課遲到」的否定敘述是「小明今天上課沒有遲到」。

(b)「所有的學生都認識校長」的否定敘述是「有些學生不認識校長」。

注意：「這隻狗的毛是黑的」的否定敘述不是「這隻狗的毛是白的」。「這隻狗的毛是黑的」的否定敘述為何？留給讀者自行思考。

1.1.3　連言

將兩個敘述用「而且」、「並且」、「和」、「與」、「但是」、…等類似的連接詞連接起來，其所形成的敘述稱為這兩個敘述的「連言」，而此個別的兩個敘

述則稱為此一連言敘述的「連言因子」。例如：

(a)牛頓是英國人而高斯是德國人。

(b)大一學生必須選修國文和英文。

(c)235而236。

上述三句都是連言，其中(a)的兩個連言因子是「牛頓是英國人」以及「高斯是德國人」；(b)的連言因子是「大一學生必須選修國文」以及「大一學生必須選修英文」；(c)的連言因子是「235」以及「236」。

一個連言敘述要為真，必須其連言因子皆為真，若連言因子中至少有一個為假，則其所形成的連言敘述就為假。例如：

「235而236」是真（正確）的；

「235而235」是假（錯誤）的。

1.1　邏輯符號

邏輯是除去事物的表象，而研究事物的本身結構及其相互關係的一門學問，它不僅能培養我們發現問題的能力，亦能訓練我們推理思考與解決問題的能力，因此邏輯是數學學習上不可或缺的一項基本工具。在本節中我們將介紹基礎的邏輯符號及其性質，而在1.2節中我們將介紹有效論證。

1.1.1　敘述

句子是語言運用的基本單位，若依照用途或功能分類，可以簡單分為直述句、疑問句、祈使句和感嘆句四種。而「能夠客觀辨別真假的直述句」，我們才稱之為

「敘述」。例如：

(a)小明長的很高。

(b)小明身高超過180公分。

(c)你吃飽了嗎...

序

　數學為科學之母，也是科學與科技發展的基礎，且國民的數學能力常被國際上視為國家人才素質的指標之一。國小數學是數學學習的啟蒙階段，國小教師的數學能力素養直接或間接影響學童的數學學習成就。「普通數學」科目是國小職前教師培育的重要科目之一，主要在涵養職前教師的數學內容知識。本系曾於1998年編撰《普通數學》一書，該書是國內各大學國小師資培育課程常用的教科書。但由於近年來高數學課程變革頗大，該書已不適用，本系教師本於國小數學師資培育之責，遂提議重新編寫《普通數學》，以供國小師資培育課程之用。外，職前教師的數學能力是近年來師資培育的焦點，我國自2014年起，國小教師資格檢定考試已將「數學能力測驗」列為檢定的科目。因此，本系重新編寫這本《普通數學》，除了提供國小職前師資培育課程使用之外，亦適合職前教師做為數學內容的自習。

本書首先介紹基礎邏輯與集合，強化讀者之數學思考能力，其後再分別依照數學概念先後順序加以說明，包含：數系、數的計算、坐標系統、多項式、函數、直線方程式、曲線方程式、空間中的平面與直線、證明、幾何圖形、解析幾何級數、指數函數與對數函數、排列與組合、機率與統計、三角函數等共計17章。本書所涵蓋的內容頗多，可符合國小職前教師數學知識所需。授課教師可依課程內容需要，選擇授課的章節；而做複習之用的職前教師，亦可根據本身數學知識，決定研讀的章節。

本書之撰寫者（依姓名筆劃排序）為易正明、林炎全、林原宏、張其棟、陳中川、陳彥廷、陳　逸、黃一泓、楊晉民、廖寶貴、劉好、鄭博文和謝闓如等13位教師，皆為國立臺中教育大學數學教育學系之專兼任教師，採個別執筆，集體修訂之方式執行，成稿雖經多次校訂，難免仍有疏漏之處，尚祈學界先進不吝指正。

序

　數學為科學之母，也是科學與科技發展的基礎，且國民的數學能力常被國際上視為國家人才素質的指標之一。國小數學是數學學習的啟蒙階段，國小教師的數學能力素養直接或間接影響學童的數學學習成就。「普通數學」科目是國小職前教師培育的重要科目之一，主要在涵養職前教師的數學內容知識。本系曾於1998年編撰《普通數學》一書，該書是國內各大學國小師資培育課程常用的教科書。但由於近年來高數學課程變革頗大，該書已不適用，本系教師本於國小數學師資培育之責，遂提議重新編寫《普通數學》，以供國小師資培育課程之用。外，職前教師...

目　錄
第1章　基礎邏輯與集合
1.1　邏輯符號
1.2　有效論證
1.3　集合
1.4　集合的基本運算及其性質
第2章　數系
2.1　整數系
2.2　有理數系
2.3　實數系
第3章　數的計算
3.1　數的運算
3.2　數的次序性質
3.3　因數、倍數、質數、最大公因數與最小公倍數
第4章　坐標系統
4.1　坐標系
4.2　二元一次方程式的圖形
4.3　坐標平面上的直線方程式
4.4　二元一次聯立方程式的圖形
4.5　空間坐標系
第5章　多項式
5.1　多項式
5.2　多項式之四則運算及其化簡
5.3　因式分解
5.4　代數分式的化簡及其四則運算
第6章　函數
6.1　函數的定義
6.2　函數符號
6.3　合成函數
6.4　反函數
6.5　奇偶函數與單調函數
6.6　多項式函數
第7章　直線方程式（含不等式）
7.1　距離公式
7.2　坐標系直線
7.3　二元一次方程式（直線方程式）
7.4　坐標系上的直線與平面
7.5　二元一次聯立方程式
7.6　不等式
第8章　曲線方程式
8.1　一元二次方程式
8.2　二次函數
8.3　一元二次不等式
8.4　三次式的性質
8.5　高次不等式
第9章　空間中的平面與直線
9.1　空間概念
9.2　空間向量及其內積
9.3　外積、體積及行列式
9.4　平面方程式
9.5　空間直線方程式
第10章　證明
10.1　算術和代數的論證
10.2　證明法
10.3　平面幾何定理證明舉例
第11章　幾何圖形
11.1　平面圖形與其對應的度量
11.2　平行線
11.3　平面多邊形的介紹
11.4　三角形與四邊形
11.5　圓
11.6　空間形體
11.7　面積與體積
第12章　解析幾何
12.1　扇形的弧長與面積
12.2　圓
第13章　級數
13.1　數列
13.2　級數
第14章　指數函數與對數函數
14.1　指數
14.2　指數函數
14.3　對數
14.4　對數函數
第15章　排列與組合
15.1　加法原理與乘法原理
15.2　直線排列
15.3　重複排列
15.4　環狀排列
15.5　相異物組合
15.6　重複組合
15.7　二項式定理
15.8　二項係數的性質
15.9　加法原理的一般化：排容原理
第16章　機率與統計
16.1　機率的概念和定義
16.2　機率性質與定理應用
16.3　敘述統計與統計量數
16.4　變數分類與統計圖表
第17章　三角函數
17.1　銳角三角函數
17.2　廣義角與極坐標
17.3　正弦定理與餘弦定理
17.4　和角、倍角與半角公式
17.5　三角測量

目　錄
第1章　基礎邏輯與集合
1.1　邏輯符號
1.2　有效論證
1.3　集合
1.4　集合的基本運算及其性質
第2章　數系
2.1　整數系
2.2　有理數系
2.3　實數系
第3章　數的計算
3.1　數的運算
3.2　數的次序性質
3.3　因數、倍數、質數、最大公因數與最小公倍數
第4章　坐標系統
4.1　坐標系
4.2　二元一次方程式的圖形
4.3　坐標平面上的直線方程式
4.4　二元一次聯立方程式的圖形
4.5　空間坐標系
第5章　多項式
5.1　多項式
5.2　多項式之四則運算及其化簡
5.3　因式分解
5.4　代數分式的化簡及其四則運算
第6章　...