第8章　多變數函數，及它們的偏導數

8.5　偏導數

你應該還記得，函數f(x)的導數就代表y = f(x)圖形的切線（如圖8.12所示）。現在我們要把這項觀念，推廣到具有兩個變數的函數f(x, y)。

怎麼辦呢？讓我們假設，你現在正站在聖母峰的山腰上，身上是昂貴得出奇的登山裝跟裝備，有著閃亮耀眼的時髦花樣。當時你在專櫃店試穿這套服裝時，覺得自己酷得不得了，然而現在，你感覺不到酷，而是寒冷徹骨，因為冰冷的寒風從外套的下緣縫中鑽了進來，原來是你忘了把其中一條高科技束帶紮緊。

你被綁在一根繩索的一端，繩索懸掛在你頭頂上方那個卡在岩縫裡的帶環鋼釘上，而繩索的另一端，則掌握在芬蘭籍隊長的手中。他這時正拚命向你打手勢，並且用你壓根兒聽不懂的芬蘭話向你猛喊；似乎從這次探險一開始，你對他的唯一印象，就是見他拚命向你打手勢，並且用你聽不懂的芬蘭話向你猛喊。

這時候風愈刮愈大，氣溫也似乎在疾速下降，你不由得再一次自問，明明可以無憂無慮的躺在游泳池面上，啜飲著熱帶果汁，幹嘛要發神經參加什麼高山探險隊？ 你猜測，也許這位芬蘭隊長看時候不早，應該轉回基地營區，喝杯熱可可加上軟棉糖，以禦寒氣，所以你自以為是的向東跨出一小步。哪裡知道你這一腳踩了個空，因為在你所踏出的方向，根本沒有落腳處：下一個落腳處是在負z方向的200英尺外！

幸好你頭頂上的鋼釘沒有鬆脫，你才沒摔下去，結果整個人懸在半空中。這時你的芬蘭隊長喊聲更急促響亮，同時死命的拽住繩索，額頭上的青筋都冒了出來。 當然，剛才這幕驚險鏡頭之所以發生，問題出在山峰的東側坡度太陡。你定了定神，然後拿出吃奶的力氣，好不容易才收回了你那隻差一點造成千古恨的腳。

驚魂甫定，仔細向下看清楚之後，你這才發現芬蘭隊長的手勢，原來是在叫你向正北方移動前進，因為那一側的坡度沒那麼大，一步跨出去，只不過向負z軸方向踏出2英尺而已。 這讓你思想起大學時代修過的多變數微積分。你記起了，當你在三維空間曲面上的一點，就跟你現在站在山腰上的情形一樣，你周圍有不只一個斜率。

事實上，不管你面朝任何一個方向，都可能有一個不同的斜率，也就是在該方向上的切線的斜率。 假設這座山的表面，可由函數z = f(x, y)的圖形來表示，其中的正x軸指向正東方，而正y軸指向正北方（如圖8.13）。

剛才的那幕驚魂記，就相當於x方向上的切線斜率很大，而且為負值，約為－200，因為落差有200英尺；至於正y方向（亦即正北方）上的切線斜率，雖然也是負值，但是沒那麼陡，大約為 －2，因為落差僅2英尺。

你仍然記得，你的微積分老師（那個看起來不太愛乾淨的傢伙）曾經告訴過你們，函數f對x的偏微分，就是它在x方向的切線的斜率。

你還記得當時不太瞭解他的意思，於是發問道：「對不起，教授！x方向哪有什麼切線？x方向不是水平的嗎？切線不都是傾斜的嗎？」（多有趣啊，每當你的生命面臨危險時，你常會突然記起一些毫不相干的往事。） 於是，你的教授丟過來一個非常不屑的眼神，然後說：「你聽好，我的意思是你得取一個通過所求的那一點、且跟xz平面平行的平面，然後在該平面上取這個曲面的切線。」接著他就在黑板上畫了一個像圖8.14的圖形。

「我懂了！」你跟著說道：「如此一來，我們就可以用平面上求導數的同樣方法，去計算它的導數了。」於是你也走上講台，在黑板上畫了一個像圖8.15的圖形。 他見你如此舉一反三，立刻衝著你露齒一笑，只是露出的兩顆門牙還真是難看透頂。即使如此，你對他馬上產生了不少好感，心裡還打算也許就此轉系，主修數學。

第8章　多變數函數，及它們的偏導數

8.5　偏導數

你應該還記得，函數f(x)的導數就代表y = f(x)圖形的切線（如圖8.12所示）。現在我們要把這項觀念，推廣到具有兩個變數的函數f(x, y)。

怎麼辦呢？讓我們假設，你現在正站在聖母峰的山腰上，身上是昂貴得出奇的登山裝跟裝備，有著閃亮耀眼的時髦花樣。當時你在專櫃店試穿這套服裝時，覺得自己酷得不得了，然而現在，你感覺不到酷，而是寒冷徹骨，因為冰冷的寒風從外套的下緣縫中鑽了進來，原來是你忘了把其中一條高科技束帶紮緊。

你被綁在一根繩索的一端，繩索懸掛在你頭頂上方那個卡在岩...

第1章　 導言
第2章　 不定式與瑕積分
2.1　不定式
2.2　瑕積分
第3章　 極座標
3.1　何謂極座標？
3.2　極座標中的面積
第4章　 無窮級數
4.1　序列
4.2　序列的極限
4.3　級數：基本觀念
4.4　個性外向的幾何級數
4.5　第N項檢驗
4.6　更多朋友：積分檢驗與P級數
4.7　比較檢驗
4.8　交錯級數與絕對收斂
4.9　更多檢驗法
4.10　冪級數
4.11　什麼時候該用什麼檢驗？
4.12　泰勒級數
4.13　帶有餘項的泰勒公式
4.14　一些著名的泰勒級數
第5章　向量：從歐幾里得，到邱比特
5.1　平面上的向量
5.2　太空：最後的疆界（空間：期末考的邊遠地帶）
5.3　空間中的向量
5.4　點積（內積）
5.5　叉積（外積；向量積）
5.6　空間中的直線
5.7　空間中的平面
第6章　空間中的參數曲線：來坐坐雲霄飛車
6.1　參數曲線
6.2　曲率
6.3　速度與加速度
第7章　曲面與作圖
7.1　平面上的曲線：回顧一下
7.2　三維空間方程式的圖形
7.3　旋轉曲面
7.4　二次曲面（帶-oid字尾的曲面）
第8章　多變數函數，及它們的偏導數
8.1　多變數函數
8.2　等高線8.3　極限
8.4　連續性
8.5　偏導數
8.6　最大、最小值問題
8.7　鏈鎖律
8.8　梯度與方向導數
8.9　拉格朗日乘數
8.10　二階導數檢驗
第9章　多重積分
9.1　二重積分與極限：技術方面的東西
9.2　求二重積分
9.3　二重積分與圖形下方的體積
9.4　極座標中的二重積分
9.5　三重積分
9.6　柱面座標與球面座標
9.7　質量、質心、矩
9.8　座標變換
第10章　向量場與格林－斯托克斯幫
10.1　向量場
10.2　認識散度跟旋度
10.3　線積分陣容
10.4　向量場的線積分
10.5　保守向量場
10.6　格林定理
10.7　散度定理：求散度的積分
10.8　面積分
10.9　火上加油！
第11章　期末考會考些什麼？
詞彙表：數學名詞速成
英中對照索引
公式祕笈

第1章　 導言
第2章　 不定式與瑕積分
2.1　不定式
2.2　瑕積分
第3章　 極座標
3.1　何謂極座標？
3.2　極座標中的面積
第4章　 無窮級數
4.1　序列
4.2　序列的極限
4.3　級數：基本觀念
4.4　個性外向的幾何級數
4.5　第N項檢驗
4.6　更多朋友：積分檢驗與P級數
4.7　比較檢驗
4.8　交錯級數與絕對收斂
4.9　更多檢驗法
4.10　冪級數
4.11　什麼時候該用什麼檢驗？
4.12　泰勒級數
4.13　帶有餘項的泰勒公式
4.14　一些著名的泰勒級數
第5章　向量：從歐幾里得，到邱比特
5.1　平面上的向量
5.2　太空：最後的疆界（空間：期末考的...