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2010年度臺北...

★從已知推算未知的「茶壺原理」

在數學裡，有一個有用且常用的解題法，叫做「茶壺原理」，這可和清末明初國學大師辜鴻銘先生的「茶壺理論」無任何關聯。話說有一位工程師和一位數學家，同時被要求解答下列問題：

問題A：在廚房地板上，有一個空的茶壺，請提供一個方法，煮一壺開水來泡茶。

工程師回答：把茶壺提起來，打開水龍頭裝滿水，將茶壺放在爐子上，點燃爐火，靜待水被燒開；數學家說：我的方法也一樣。

接著，他們被要求解答下列問題：

問題B：爐子上放著一個茶壺，裡面裝滿水，請提供一個方法，煮一壺開水來泡茶。

工程師回答說：點燃爐火，靜待水被燒開；數學家說：把茶壺從爐子上提起來，把茶壺裡的水倒光，再把空的茶壺放在廚房地板上，於是，問題B就化成已經知道怎樣解答的問題A了。

這雖然是一個笑話，但是把待解答的問題化成已經解答的問題，卻是在數學、科學裡，甚至在生活裡，有用而且常用的方法，這就是「茶壺原理」。

★從數學家的思維出發

讓我再多說一點，和上述笑話類似的例子還有很多。比方，林先生有一位從香港來的朋友，打電話問林先生如何從臺北火車站到101大樓？林先生詳細地一步一步為他說明如何坐捷運、轉公車、再走路，果然一切順利。第二天，香港朋友又打電話問他如何從東區誠品到101大樓，林先生說您就坐計程車從東區誠品到臺北火車站，在臺北火車站再按照我昨天告訴您那條路線走就對了。這就是把一道待解答的問題，化成一道已經知道如何解答的問題，關於箇中奧妙，我就不用再多費唇舌了，這就是「茶壺原理」。

有人問一位老先生：「您今年貴庚了？」老先生說：「我40歲時，我的小兒子出生。」那人繼續問：「那麼您小兒子今年幾歲了？」老先生答：「他比鄰居的張博士小5歲。」「那麼張博士今年幾歲了？」老先生答：「張先生屬狗，剛從美國拿了博士學位回來。」假設今年是2012年，屬狗的是78、66、54、42、30、18或者6歲，所以，張博士應該是30歲，老先生的小兒子是25歲，老先生是25＋40＝65歲。

在這個問題當中，我們先把老先生是幾歲的問題，化成他小兒子是幾歲的問題，再把他小兒子是幾歲的問題，化成張博士是幾歲的問題。當我們找出來張博士是幾歲，就可以解答小兒子是幾歲，然後就可解答老先生是幾歲了。

上述例子指出應用「茶壺原理」的兩個要點：第一、我們先把一道待解答的問題，化成另一道待解答的問題；第二、最終我們要把一道待解答的問題，化成另一道已經知道如何解答的問題。這兩個要點也可以用兩句成語來描述：第一、前事不忘，後事之師；第二、飲水思源，可不是貼切得當嗎？

神奇的定律

科學的研究有理論和實驗兩個相輔相成的層面，理論是一個模型，加上數學的公式，可以用來描述物理、化學或者生物裡的真實現象；實驗則是經由觀察這些真實現象，獲得數據來驗證理論上的模型。科學上有很多例子是先有理論，然後再從實驗裡得到驗證的數據。譬如愛因斯坦在1916年提出的廣義相對論裡指出，光線會被重力扭曲，但是一直等到3年之後，1919年5月29日，當在非洲和南美洲可以看到日全蝕的時候，才獲得驗證的數據。（英國的亞瑟‧愛丁頓在當天觀測了日全蝕，發現太陽附近的星星位置確實會產生視覺上的偏差，證明了愛因斯坦的推論。）



★80/20法則

19世紀義大利經濟學家帕雷多（Vilfredo Pareto）提出了現在被大家叫作「帕雷多法則」或者「80/20法則」的經驗法則。帕雷多研究當時義大利人民財富的分配時，發現大部分的財富分配在少數人的身上，比較精準的說法是，他發現全義大利80%的財富，集中分配在20%的人身上。後來，他對其他國家財富的公布做了相同統計，也發現這個80/20法則是相當準確的。按照聯合國1989年的統計，全世界最富有的20%人口的生產總值是全世界的82.7%，他們在自己國內的儲蓄是全世界的80.6%，他們在自己國內的投資是全世界的80.5%。

我們只知道這個80/20的分配，卻沒有一個模型或者方程式可以用來解釋怎麼導出80/20這個結果。後來，美國的管理大師朱蘭（Joseph Juran）沿用帕雷多的觀念，提出在管理學上的80/20法則，也就是80%的結果來自20%的力量。譬如說，在一個企業裡，80%的成果來自20%菁英員工的貢獻；上班時，20%的時間用來做80%需要做的事情，剩下來的80%的時間就花在無關重要的事情上了；生產線上，80%的錯誤來自20%的工作點。不過，漸漸地「80/20法則」也被濫用，失去了數值上的精準性。

用一個例子來驗證班佛定律：假設我們有100元存在銀行裡，每年利息10%，按複利計算，如果我們把25年內每年在銀行裡存款的數據列出來，我們可以看到從100元到200元要花7年多的時間，所以有7個數據的第一位數字都是1；但是，從500元到600元只要花2年的時間，所以只有2個數據的第一位數字是5；從900元到1000元只要1年多一點的時間，所以只有1個數據的第一位數字是9，這又驗證了班佛定律。



★班佛定律

100年前物理學家班佛（Frank Benford）發現的定律，叫作「班佛定律」。這個定律說，假設找出1,000個人，請每一個人隨手寫下一個四位數，這些四位數的第一位數字可能是1，也可能是2，是3……是8，是9，這其中會有多少個是1？多少個是2？……多少個是8？多少個是9呢？一個直覺的答案是──應該是相當平均地分布吧！九分之一是1，九分之一是2……九分之一是9吧！因為這1,000個四位數是完全隨機選出來的。但是，當班佛分析許多從真實生活裡搜集得來而不是隨機選出來的數據時，例如不同河流的長度、不同城市的人口、不同股票的股價，他發現在許多數據裡，第一位數字的分布並不是均勻的。

他提出一個公式，用來計算第一位數字的分布，按照他的公式計算出來的結果：第一位數字是1的機率是30%，是2的機率是17%，是3的機率是12%，一路遞減，是8的機率只有5%，是9的機率只有4.6%；換句話說，在這些數據裡，大約三分之一數據的第一位數是1；大約三分之一數據的第一位數是2或3；大約三分之一數據的第一位數是4、5、6、7、8或9。當我們看第二、第三或第四位數字的時候，它們從0、1、2、3……到8、9的分布倒是相當平均，每個數字出現的機率都大約是十分之一。我相信很多人的第一個反應是：這聽起來有點奇怪、不可思議，甚至和直覺相違背。但班佛定律經過反覆驗證，很多數據都是相當正確的。

★從已知推算未知的「茶壺原理」

在數學裡，有一個有用且常用的解題法，叫做「茶壺原理」，這可和清末明初國學大師辜鴻銘先生的「茶壺理論」無任何關聯。話說有一位工程師和一位數學家，同時被要求解答下列問題：

問題A：在廚房地板上，有一個空的茶壺，請提供一個方法，煮一壺開水來泡茶。

工程師回答：把茶壺提起來，打開水龍頭裝滿水，將茶壺放在爐子上，點燃爐火，靜待水被燒開；數學家說：我的方法也一樣。

接著，他們被要求解答下列問題：

問題B：爐子上放著一個茶壺，裡面裝滿水，請提供一個方法，煮一壺開水來泡茶。

工...

《學校沒教的邏輯課》
序　事物背後的規律

Part 1　語言的邏輯
詭辯也能幫助思考：
用人身攻擊扭曲結論／彼此彼此，五十步何必笑百步／冒牌專家不具說服力／人多勢眾容易造成偏見／諂媚奉承肯定不合邏輯／倒果為因就是一廂情願／用胡言亂語轉移焦點／魚與熊掌之外還有其他可能／不值一哂就是故意忽視／化強為弱是縮小優點，放大缺點／漸入迷途引人一步步走進陷阱／前因後果可能是一種迷信／新的不見得好／老的不一定是寶／斷章取義／以偏概全／未打先勝／玩文字遊戲

白馬不是馬：
白馬、黃馬、黑馬／不見了……找到了！／下結論前多想一想

Part 2　人際的邏輯
你有幾個朋友：
半猜半估的技巧／波音747能裝幾顆高爾夫球？／一個人有300~3,000個朋友！／經驗法則：大拇指的啟示／跟朋友有關的數學定理

人與人的距離：
用少數代表多數的「抽樣」／「誤差界限」與「信心水準」／退稿就像臭雞蛋／朋友的朋友的朋友……／株連九族的由來／愛多斯距離

把資切一片出來看看：
以小見大／愛情實驗室／人格因素模型／可能被控告醫療疏失的醫師／只可意會，不可言傳的內隱知識／第一印象也是薄片／臆測是一種能力／偏見的影響／過分迅速的反應

靠左走靠右走：
左右大不同／對偶是一種觀念／歷史上的左右／你的左撇子指數是多少？／左與右的文化意涵／左右腦的分工合作／左撇子容易精神分裂？／左撇子的故事

Part 3　金錢的邏輯
神奇的定律：
80/20法則／班佛定律／齊夫定律

理論也會長尾巴：
長尾巴與80/20法則／長尾經濟中的消費者／長尾經濟中的供應者／新經濟模式

蘋果橘子經濟學：
遲到的家長／無法量化的誘因和壓力／誘因和壓力的平衡點／如果你有隱身戒指

討價還價的藝術：
什麼是拍賣？／十二生肖獸首／甘地的遺物／白色黃金／拍賣的心理／公開拍賣／暗標拍賣／網路拍賣

Part 4　數字的邏輯
配對與卡位：
分發志願的方式／穩定的婚姻／結婚掛保證？／一對一、一對多／幸福指數怎麼算？／占位置的遊戲／先搶不一定先贏／數獨遊戲

有趣的數字：
數字的種類／數字與文字

無窮大的數字：
可數的無窮大／乒乓球與飛毛腿／不可數的無窮大／比不可數的無窮大更大？

高斯的數學世界：
數學王子／正多邊形的證明／等差級數／等比級數

《你沒聽過的邏輯課》
作者序 寶藏無限大 一切「從零講起」

Part I 日常生活中隱藏的邏輯
◎從已知推算未知的「茶壺原理」
．從數學家的思維出發
．輕鬆倒推薪水、存款或預算
．從綿延不絕的兔寶寶到費氏數列
．按高矮排列
．誰是海盜船上的幸運兒？
．文學中的茶壺原理--頂真格
◎最公平的分配法
．從切蛋糕到世界和平
．公平百百種，你選哪一種？
．滿足的公平
．沒有妒忌的公平
．各得其所的公平
．Sperner定理
．各得其所可能嗎？
◎預測群蟬亂舞的年份
．羽化登仙 遺世獨立
．冰河時期氣溫大巨變
．被打亂的生命週期
．在特定年份對撞的「質數蟬」
◎「尋找千里馬」的法則？
．慧眼識「書豪」
．從黃金比例找俊男美女
◎誰是美國職棒聯盟的潛力股？
．尋找明日之星--打擊手篇
．尋找明日之星--投手篇
．量化指標與MVP
◎《魔球》的啟示：打破慣性，締造傳奇
．球員出身的總經理
．力抗傳統的新思維
．電腦怪咖的分析
．用數據締造20連勝
◎科技時代的壓縮邏輯

Part II 魔術中的數學邏輯
◎魔術和數學
◎條條道路通羅馬
◎漢蒙洗牌法
．三娘教子
．陰陽調和
．逢黑必反
． 一言驚醒夢中人
◎排列的秘密
．皇家同花順
．五中取一
．五子登科
．五子登科的延伸
．文學上相似的形式
◎吉爾布雷斯的梅花間竹式洗牌法
．吉爾布雷斯原則
．誠實和謊言
．五神
．第四十七頁
◎蒙日洗牌
．同性相吸
．Ace在哪裡
．慶祝婦女節
◎股票紅利

Part III 識破博奕背後的數學邏輯
◎機率是什麼？
．用過去的經驗估算未來
◎從賠率算出的必勝賭盤
．穩賺不賠的運動博彩下注法
．賭客的必勝方程式
．馬?為何能穩贏不賠？
◎獨立事件的機率
．如何預測同事的服裝搭配？
．飛機上有炸彈的機率
．為什麼賭客愛玩擲骰子遊戲？
．下一張黑白撲克牌是……
．老二是男孩的機率有多大？
．何先生的三門猜獎習題
．先釐清問題，再善用已知
◎受事件先後影響的機率
．互有影響的褲子襯衫搭配機率
．用貝氏定律算出球員被交易的機率
．罹患乳癌的機率
．血液檢查增加準確度
．看醫生划算嗎？
．電子郵件過濾器
◎看穿賭博的勝敗邏輯
．為什麼賭客一定會破產
．賭客的加碼策略
．靠算牌打敗賭場
．如何獨得樂透彩
．預測輪盤的贏錢數

Part IV 來練數學邏輯基本功
◎正整數與自然數
◎負整數
◎整數
◎有理數與無理數
◎代數數與超越數
◎實數和虛數
◎複數
◎規矩數
◎無窮大
◎郵票面額的配對
．一個有趣的例子
．一個古老的例子
◎畢氏定理
．幾何的觀點
．再談無理數
◎費瑪最後的定理
．法國數學家傑曼
．谷山豐、志村五郎的猜想
．懷爾斯的貢獻

《學校沒教的邏輯課》
序　事物背後的規律

Part 1　語言的邏輯
詭辯也能幫助思考：
用人身攻擊扭曲結論／彼此彼此，五十步何必笑百步／冒牌專家不具說服力／人多勢眾容易造成偏見／諂媚奉承肯定不合邏輯／倒果為因就是一廂情願／用胡言亂語轉移焦點／魚與熊掌之外還有其他可能／不值一哂就是故意忽視／化強為弱是縮小優點，放大缺點／漸入迷途引人一步步走進陷阱／前因後果可能是一種迷信／新的不見得好／老的不一定是寶／斷章取義／以偏概全／未打先勝／玩文字遊戲

白馬不是馬：
白馬、黃馬、黑馬／不見了……找到了！／下結論...