第15章 地圖著色

西洋棋盤只需要兩種顏色，就能塗滿整個盤面，方法是讓緊鄰（共用一條邊線）的兩個小方格各塗上不同顏色。有些地圖也是一樣，只需兩種顏色就可以塗滿，使相鄰的國家有不同的顏色，但是有些地圖就做不到了。

為了簡單起見，當我們說「能以兩種顏色著色的地圖」或「兩色地圖」時，我們指的是只要用兩種不同的顏色，就可以把整張地圖塗滿，而且那些共享至少一條邊線的國家，會有不同的顏色。同樣的，在本章稍後，我們可能會談到「用三種不同的顏色塗滿地圖」或者說「一張五色地圖」，都是指：共享一條邊線的國家顏色不同。

我們假設前面兩張地圖，畫的都是一個有很多國家的大島。我們稱那些國界的交叉點為「頂點」，而不在海岸線上的頂點則稱為「內陸頂點」。而「頂點的次數」是指交會在這個頂點的邊線數目。這種觀念已經在第7章扮演過關鍵性的角色。

那些海島上有眾多國家的地圖裡，由於包圍內陸頂點的國家必須交替著上不同的顏色，因此若有個內陸頂點的次數是奇數的，這張地圖就沒辦法用兩種顏色來著色。我們因此得到下列定理：

定理1：如果一個海島上有許多國家的地圖能用兩種顏色來著色，則每個內陸頂點的次數都是偶數。

至於四色地圖的問題，可以回溯到1852年的10月23日，是梅氏（K. O. May）提出的。就在這一天，古斯瑞（Francis Guthrie）把它拿給他的老師，邏輯學家笛摩根（Augustus De Morgan, 1806-1871）看，而笛摩根則寫信問哈密頓（W. R. Hamilton, 1805-1865）：

我的學生今天就一件事問我原因何在。他認為這件事是一項事實，但我不那麼確定，以前也沒注意到。他說如果把一個圖形隨意分割，並且把每塊區域塗上不同的顏色，使得同一條邊線的兩邊顏色不同，則只需要四種顏色就一定夠了，甚至更少些……

你認為如何？如果真的是這樣，你以前知道嗎？我的學生說他曾以英格蘭的地圖來做實驗。這件事，我愈想愈覺得它是真確的。

1879年，坎普曾發表了一篇證明的論文，可惜是錯的。那篇論文裡面提到：

有些跡象暗示了這個問題的困難程度。除非能發現它的弱點並加以克服，否則在一張地圖上某個小地方的顏色調整，可能會導致整張地圖都必須重新著色。在經過一段艱苦的搜尋之後，我終於成功。正如很多人的預期，有一項隱藏的弱點忽然浮現出來，而且很容易克服。結果是，製圖者的經驗並沒有錯，他們所繪製的各種地圖，只要有四種顏色就一定夠用了。

坎普證明裡的瑕疵，在1890年被希伍德（P. J. Heawood）的一篇論文提出來。論文的開頭是：

畫法幾何學（descriptive geometry）定理，主張任何地圖都能用四色來著色，使所有接壤的區域都有不同的顏色……這個問題激起很多人的興趣，雖然還沒有發現失敗的例子，但大家總覺得要想證明這個定理，雖不敢說不可能，但一定很難。不過幾年前卻出現了定理的證明。我這篇論文並不是想證明這個原創的定理；事實上，這篇論文的破壞性還高於建設性，我只想指出目前大家公認的關於定理的證明，有一些瑕疵存在……

希伍德這篇論文指出，坎普所用的技巧能拿來證明球體上的每張地圖都能用五種顏色（或較少的顏色）來著色。這個證明過程可以再細分成六個引理，及定理本身的證明，下面我就來詳細介紹。

第15章 地圖著色

西洋棋盤只需要兩種顏色，就能塗滿整個盤面，方法是讓緊鄰（共用一條邊線）的兩個小方格各塗上不同顏色。有些地圖也是一樣，只需兩種顏色就可以塗滿，使相鄰的國家有不同的顏色，但是有些地圖就做不到了。

為了簡單起見，當我們說「能以兩種顏色著色的地圖」或「兩色地圖」時，我們指的是只要用兩種不同的顏色，就可以把整張地圖塗滿，而且那些共享至少一條邊線的國家，會有不同的顏色。同樣的，在本章稍後，我們可能會談到「用三種不同的顏色塗滿地圖」或者說「一張五色地圖」，都是指：共享一條邊線的國家顏色不同。...

第三版序

　　《數學是啥玩意？》的第二版發行迄今，已經七年了，在這段時間裡，由於受到專業學識發展和社會變遷的影響，數學的本身及教學方法都有相當程度的演進。本書的第三版就充分反映了這些演進，同時也表達出我個人在想法上的改變。例如我在第三版增加了一章，專門討論機率，即反映出現今的社會或個人，可能會應用與機率有關的數學知識，來解決所面臨的難題，而老師與學生在探討相關知識時，也對這些課題愈來愈感興趣。

　　在我們所處的世界裡，許多事物都是天然生成的，比如水。我們知道，水分子是由兩個氫原子與一個氧原子構成的，但對於水分子湊在一起時如何能呈現水的特性，卻一無所知。用原子與分子的概念，很方便就能解析水這種物質，卻又無法掌握水真實的特性，原子與分子真是既方便卻又抽象的天然事物。

　　相反的，數學就完全是人為的成果，每個定理與每項證明都是人類心智活動的產物；在數學裡，所有的牌都攤在桌上。在這層意義上，數學是具體的，世界反而是抽象的。

　　我打算藉由這本書，把數學的這種具體特性介紹給一般讀者。我所謂的「一般讀者」，可以是大學生、高中生或喜歡追根究柢的上班族，不管你的主要興趣是什麼，只要有一顆好奇的心就行了。這本書最初是設計為大專課程，幫助不同科系的學生認識數學的美、生命力與包羅萬象。在寫作本書之前我花了好幾年，想找一本合適的教科書，但找到的不是太難就是太專門。

　　本書所談的主題選自數論、拓樸學、集合論、幾何、代數與分析學，但我希望讓僅有少許數學背景的讀者也看得懂（有些章節只需國中學過的算術），所以針對每個主題，我都會說明主要觀念，讓這些主題的本身很容易實驗或求證。

　　我建議各位在閱讀每一條定理及證明時，要充分利用數學的具體特性，不要有先入為主的信念，而是要心懷警覺與懷疑，仔細檢查每一個推理的步驟。在碰到像「你可以自己舉個例子」，或「在證明之前，不妨用一些特例檢驗一下這個定理」之類的建議時，最好是能照做。讀這本書時，最好也能把紙、筆放在手邊，隨時可派上用場。

　　《數學是啥玩意？》的第三版與前兩版有很多不同。在第三版，第1章到第4章是全書的核心，而接下來的六章與新增的第13章，則是用得最多的。第13章〈機遇〉是在介紹機率論的幾個基本知識，在強調機率理論的一般應用及做決策時的重要性；你們由第13章的內容與附帶的練習題可以看出，機率的概念在日常生活裡雖然隱而不顯，卻無所不在。此外在新版的第9章〈數的表示法〉當中，還增添了公制的介紹，這是因為公制與十進位制是不可分的。

　　全書還有許多較小規模的改變，包括新的結果、更為簡單的證明，以及新的練習題。就像第二版一樣，很多改變只是為了讓觀念闡述得更清楚。大部分習題的解答都附在書後。

　　「數學健身房」裡的習題依難度分為三類。第一類是一般練習，讓各位自我測驗是否理解相關的定義與基本觀念。第二類習題我用了一隻筆（✎）與前一類區隔，通常你必須應用那一章所談的觀念才能解答。第三類練習題的前面有兩隻筆（✎✎），難度最高，解題時你不僅要充分理解那一章的中心主題，還必須能舉一反三，想出其他的方法。

　　值得注意的是，本書依不同類型的學生及不同的難易程度，做了不一樣的閱讀安排。利用最前面的閱讀地圖與閱讀指南，老師或讀者可以自行決定要如何進行。

斯坦

第三版序

　　《數學是啥玩意？》的第二版發行迄今，已經七年了，在這段時間裡，由於受到專業學識發展和社會變遷的影響，數學的本身及教學方法都有相當程度的演進。本書的第三版就充分反映了這些演進，同時也表達出我個人在想法上的改變。例如我在第三版增加了一章，專門討論機率，即反映出現今的社會或個人，可能會應用與機率有關的數學知識，來解決所面臨的難題，而老師與學生在探討相關知識時，也對這些課題愈來愈感興趣。

　　在我們所處的世界裡，許多事物都是天然生成的，比如水。我們知道，水分子是由兩個氫原子與一個氧原子構成...

閱讀地圖
閱讀指南
第15章 地圖著色
第16章 數的種類
第17章 尺規作圖
第18章 無窮集合
第19章 總 覽
附錄E 等比與調和級數
附錄F 任何維數的空間
「數學健身房」的部分解答與說明

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閱讀指南
第15章 地圖著色
第16章 數的種類
第17章 尺規作圖
第18章 無窮集合
第19章 總 覽
附錄E 等比與調和級數
附錄F 任何維數的空間
「數學健身房」的部分解答與說明