媒體推薦：皮寇弗縝密思維所構成的王國，已超越一般人所認知的現實世界。──《紐約時報》

皮寇弗是當今世上最負有原創性與想像力的作者之一。──《趣味數學期刊》

我無法想像任何一個人的心靈不曾因為閱讀皮寇弗的著作而更加豐富。──《2001：太空漫遊》作者、科幻大師克拉克（Arthur C. Clarke）

富勒（Bucky Fuller）曾經是充滿想像力的代名詞，如今，克拉克取而代之，不過，皮寇弗的表現則顯然更勝前人。──《連線》

數學之書

約西元前600年／畢氏定理與三角形

波利亞（George Pólya，西元1887年~西元1985年）

有些小朋友可能是在西元1939年米高梅（MGM）電影《綠野仙蹤》（The Wizard of Oz）中，當稻草人終於有了自己的大腦並開口覆誦畢氏定理時，頭一次聽到這個赫赫有名的定理。唉！可是劇中的稻草人卻將這麼有名的定理給背錯了！

畢氏定理指的是在每一個直角三角形中，斜邊長c的平方必定等於其餘較短兩邊a跟b的平方和—算式寫成a2 ＋ b2 ＝ c2。這是一個被用最多方法證明過的定理，在盧米斯（Elisha Scott Loomis）那本《畢氏命題》（Pythagorean Proposition）中就舉例了367種不同的證明方式。

畢氏三角形（Pythagorean Triangle, PT）指的是三邊均為整數的直角三角形。「3-4-5」畢氏三角形—即兩短邊邊長分別是3跟4，斜邊長為5—是唯一一個由連續三個整數構成三邊的畢氏三角形，也是唯一一個三邊長總和數（12）恰為面積數（6）兩倍的直角三角形。排在「3-4-5」之後、下一個由連續數字構成邊長的畢氏三角形是「21-20-29」；以此類推到第10個這樣的三角形可就大得多了：「27304197-27304196-38613965」。

法國數學家費馬（Pierre de Fermat）在西元1643年問了一個問題：請找出一個不論斜邊c或者是兩短邊總和(a ＋ b)都是平方數的畢氏三角形，令人吃驚的是，符合這個條件的最小三個數字分別是：4,565,486,027,761、1,061,652,293,520以及4,687,298,610,289。顯然下一個符合上述條件的畢氏三角形將大到若以呎為單位的話，其邊長將超過太陽與地球之間的距離！

雖然我們都把畢氏定理的構成歸功給畢達哥拉斯，不過，卻有證據顯示在更早幾世紀的印度數學家波達亞納（Baudhayana）約在西元前800年左右就在其所著《波達亞納繩法經》（Baudhayana Sulba Sutra）上發展這個定理，甚至歷史更久遠的巴比倫人也早就知道畢氏三角形的特性了。

約西元前445年／季諾悖論

伊利亞的季諾（Zeno of Elea，約西元前490年~約西元前430年）

哲學家跟數學家花了超過一千年的時間想要了解季諾悖論（Zeno’s Paradoxes）—關於某些運動若非應該辦不到就根本是個幻覺的一組謎題。季諾是居住在南義大利、早於蘇格拉底的一位希臘哲學家，最有名的季諾悖論談及希臘英雄阿基里斯（Achilles）與一隻遲緩的烏龜賽跑時，只要烏龜在起點擁有些許領先優勢的話，阿基里斯就絕不可能在賽跑途中超越烏龜。事實上，這個悖論還可以蘊涵我們絕對無法離開所處房間—當朝房門走去要離開房間時，我們必須先走完這段距離中的一半，接下來得走完剩餘那半段距離中的再一半，再接著一直重複把剩餘距離減半的動作；結果，我們將永遠不可能在有限的跨步中抵達房門！在數學上，我們可以把這種無窮序列的動作之極限透過（1/2＋1/4＋1/8…）的無窮級數總和來表現。一個近代的想法，是堅持這個無窮級數的總和為1，以解決季諾悖論。只要每一跨步都耗去前一步所需的時間之一半，則完成這一連串無止境跨步所花費的時間，就跟現實生活中走出房間所需耗費的時間一樣。

可是這種論證方式並不夠圓滿，因為它並無法解釋我們如何能完成逐一走過無窮多個跨步點，因此現在的數學家採用無限小量（無法想像的極小數量，小到幾乎是卻又不等於0）的微觀概念分析季諾悖論。結合一個稱之為非標準分析（nonstandard analysis）的數學分支以及特別地，內含集合論（internal set theory），或許我們可以解釋季諾悖論，但相關的論辯並不會因此歇止，譬如就有些人認為當時、空兩者是離散的時候，從甲地前往乙地所需要的跨步數就一定會是有限的。



西元1637年／費馬最後定理

費馬（Pierre de Fermat，西元1601年~西元1665年），

懷爾斯（Andrew Wiles，西元1953年生），

狄利克雷（Johann Dirichlet，西元1805年~西元1859年），

拉梅（Gabriel Lame，西元1795年~西元1870年）

費馬是一位十七世紀初期的法國律師，他在數論領域發現相當多了不起的結果。雖然費馬只是一位「業餘」的數學家，卻創造出費馬最後定理（Fermat’s Last Theorem, FLT）這個艱困的數學挑戰，一直要到西元1994年才被英裔美籍的數學家懷爾斯解決。懷爾斯一生中有七年的時間都耗在證明這個定理上，它也是數學史上被嘗試證明最多次的定理。

費馬最後定理，指的是xn ＋ yn ＝ zn 這個方程式在 n＞2 的時候，並不存在一組非無聊的x、y、z整數解。費馬於西元1637年在自己收藏的戴奧芬特斯《算術書》中用一段話描述這個定理：「對於這個定理，我自己真的有一套美妙的證明方式，只可惜這裡的頁邊空間不夠我把證明方式記下來。」如今，我們認為費馬本人當時應該還不知道該如何證明。

說實在的，費馬絕不符合我們一般對於律師的印象，他被認為是足以跟巴斯卡並列的機率論開山鼻祖，並且跟笛卡兒共同開創解析幾何的領域。可以說費馬稱得上是首屈一指的現代數學家也不為過。費馬還曾經思考過一個問題—試著找出一個直角三角形，使其斜邊跟另兩邊邊長的和都是平方數；我們現在已經知道，符合這個條件的最小一組數字其實非常大，分別是：

4,565,486,027,761、1,061,652,293,520以及4,687,298,610,289。

從費馬還在世的時候起，費馬最後定理一直牽引出很多有意思的數學研究和全新的證明方式。西元1832年，德國數學家狄利克雷證明費馬最後定理在 n ＝ 14 時成立；西元1839年，法國數學家拉梅證明當 n ＝ 7 的時候也成立。艾克塞爾（Amir Aczel）評論說：「費馬最後定理已經成為世上最難以言喻的數學謎題。費馬最後定理簡潔、優雅又（看似）根本無從證明起，引得三世紀以來不論專業或業餘的數學家都想在這個議題上有所突破，其中有些人甚至對這個定理產生奇妙的情愫，讓他們逐步邁進一個充滿騙局、陰謀以及精神錯亂的陷阱。」



西元1925年／希爾伯特旅館悖論

希爾伯特（David Hilbert，西元1862年~西元1943年）

在某個有五百間客房的旅館中，每個房間都有旅客入住；在下午時分抵達旅館的你被告知已經沒有多餘的客房，正當你打算無助地離開時，希爾伯特旅館悖論（the paradox of Hilbert’s Grand Hotel）登場了。想像一下這間旅館有著無數間客房，同樣每一間也都住了旅客；儘管旅館已經客滿了，櫃台還是可以挪出一間客房給你。這怎麼可能呢？更奇妙的是，就算同一天有數不清的旅客為了參加研討會而下榻同一間旅館，櫃台同樣可以滿足所有人的要求安排房間，藉此機會海削一票！

德國數學家希爾伯特在西元1920年代提出這個悖論，藉以描述無限這個概念不可思議的特質。讓我們來看看你究竟是如何住進希爾伯特的大旅館。當你隻身一人抵達客滿的旅館時，櫃台將原本住在一號房的客人挪到二號房、把原本住在二號房的客人挪到三號房⋯⋯以此類推，所以現在一號房就成為你的專屬客房了。而為了安排陸續抵達且無法盡數的旅客，櫃台就把已經入住的旅客通通移到偶數號的房間（原一號房改成二號房，原二號房成四號房，原三號房改成六號房⋯⋯），再把這些晚到的旅客通通安排進所有空出來的奇數號碼房。

康托爾的超限數（Cantor’s Transfinite number）理論可以用來解釋希爾伯特旅館悖論，亦即儘管在一間正常的旅館中，奇數號碼的房間數一定小於旅館的全部客房數，但是在一間有著無數客房的旅館中，奇數房的「數量」可不見得小於旅館全部客房的「數量」（數學家使用「基數」這個詞彙比較這些以無限客房為元素所組成的集合大小）。

西元2001年／床單問題

賈莉雯（Britney Gallivan，西元1985年生）

某個失眠的夜晚讓你決定換張床單改變氣氛。這張床單只有0.4公釐那麼薄，對摺一次會變成0.8公釐厚，請問你需要對摺幾次才能讓床單厚度跟地球到月亮之間的距離一樣？這個床單問題（bed sheet problem）神奇的答案是：只要把床單對摺四十次以後，你就可以睡在月球上面了！這個問題其他版本的說法是：如果你可以把手中厚 0.1公釐的紙張連續對摺五十一次的話，堆起來的高度甚至比地球到太陽的距離還遠！

儘管如此，現實生活中其實不可能把一個物體連續對摺到那麼多次，以往在二十世紀大家普遍認定一張真正的紙不論有多大，最多也只能對摺七次到八次而已，可是，一位高中生賈莉雯卻在西元2002年，出乎世界意料之外地把一張紙整整對摺了十二次。

賈莉雯在西元2001年找到方程式，用以刻劃按單一方向對摺一張已知大小的紙張的次數上限。以厚度為 t的紙張為例，如果要對摺 n 次的話，則一開始這張紙最短的邊長必須是：L ＝ [(πt)/6] × (2n ＋ 4) × (2n － 1)。仔細研究 (2n ＋ 4) × (2n － 1)這條算式，從 n ＝ 0 開始，其計算結果分別是0、1、4、14、50、186、714、2,794、11,050、43,946、175,274、700,074…的整數數列，這表示當對摺到第十一次的時候，為了裝訂留邊所損失的材料，會是第一次對摺所損失的 700,074 倍。



物理之書

西元前一百三十七億年／大霹靂

勒梅特（Georges Lemaître，西元1894年～西元1966年），

哈伯（Edwin Hubble，西元1889年～西元1953年），

霍伊爾（Fred Hoyle，西元1915年～西元2001年）

1930年代初期，比利時神父兼物理學家勒梅特提出了我們今天所說的大霹靂理論（Big Bang theory）。根據這個理論，我們的宇宙起自一個極為緻密且高熱的狀態，空間從那時以來便不斷地膨脹。科學家相信大霹靂發生在137億年前，今天大多數的星系仍然以高速飛離彼此。這些星系與炸彈爆炸後飛射的碎片不同，他們之所以遠離彼此是因為空間本身正在膨脹。星系間距離增加的方式比較像是氣球膨脹時，畫在氣球表面上的黑點彼此會越離越遠的樣子。不管你位在哪個黑點上，都可以觀察到這種膨脹的現象。從任何一個黑點上看出去，其他的黑點都正在遠離。

觀測遙遠星系的天文學家可以直接觀察到這種現象，美國天文學家哈伯在1920年代首先發現了宇宙正在膨脹。霍伊爾則在1949年的一次廣播中首次提出「大霹靂」這個詞。大霹靂後過了40萬年，宇宙才冷卻到足以讓質子和電子結合成中性的氫原子。大霹靂在宇宙誕生的最初幾分鐘就創造出氦原子核和其他的輕元素，提供了形塑第一代恆星所需的原料。

依尚恩（Marcus Chown）的著作《神奇的大爐子》（The Magic Furnace）的說法，在大霹靂發生後，氣體團很快地開始凝聚，然後宇宙就像棵聖誕樹一樣突然間亮了起來。這些星星早在我們的銀河系出現之前就已經存在，而且已經死亡。

天文物理學家史蒂芬霍金曾經估算過，如果大霹靂之後一秒宇宙的膨脹速率再小個十萬兆分之一，宇宙就會重新塌縮，而無法演化出智慧生命。

西元1609年／克卜勒行星運動定律

克卜勒（Johannes Kepler，西元1571年～西元1630年）

天文學家歐文金格里奇說：「雖然今天克卜勒最為人所知的是他的行星三大運動定律，但這只是他對宇宙秩序的追尋的一小部分⋯⋯他留給（天文學）的是，一個比過去精確將近一百倍，物理學一以貫之的日心系統。」

克卜勒是德國天文學家、神學家及宇宙論者，發現了描述地球與其他行星如何以橢圓形軌道繞著太陽運行的克卜勒定律（Kepler’s Laws of Planetary Motion）。在克卜勒提出他的定律之前，他必須先揚棄當時盛行的看法：圓是用來描述宇宙與行星軌道的「完美」曲線。當克卜勒提出他的定律時，並沒有理論的支持。這些定律只是提供了一個優雅的方式描述了觀測到的行星軌道。大約過了七十年，牛頓才用萬有引力定律（Law of Universal Gravitation）證明了克卜勒定律。

克卜勒第一定律（也稱軌道定律，西元1609年）指出在我們的太陽系中，所有的行星都以橢圓軌道運行，而太陽就位於橢圓的兩個焦點其中一個。第二定律 （也稱等面積定律）說的是當行星離太陽較遠時，其運動速度比離太陽近時慢。如果用一條假想的線把行星和太陽連起來，則這條線在同樣時間段落內掃過的面積是相等的。有了這兩條定律，我們就可以輕易地計算出行星的軌道和位置，而且與觀測的結果一致。

克卜勒第三定律（也稱週期定律）說的是任何行星，其繞太陽公轉周期的平方與橢圓軌道的半長軸距離成正比。因此離太陽遠的行星，其公轉週期非常地長。克卜勒定律是人類所提出最早的科學定律之一，這些定律不只將天文學與物理學結合再一起，也促使後來的科學家去嚐試用簡單的方程式來描述真實世界的運作。

西元1687年／牛頓運動定律和萬有引力定律

牛頓（Isaac Newton，西元1642年～西元1727年）

　　　　牛頓說：「上帝以計數、衡重、測量創造了萬物。」牛頓是英國數學家、物理學家及天文學家，他發明了微積分、證明了白光是各種顏色的光所組成解釋了彩虹的成因，打造了第一具反射式望遠鏡，發現了二項式定理（binomial theorem），提出極座標系（polar coordinate），而且證明了使物體掉落的作用力和造成星球運轉及產生潮汐的作用力是同一種。

　　　　牛頓運動定律（Newton’s Laws of Motion）探討施加在各個物體上的作用力和這些物體的運動彼此有何關係。而萬有引力定律（Newton’s Laws of Gravitation）則說明物體間會互相吸引，且引力的大小與物體的質量乘積成正比，與物體間的距離成反比。牛頓第一運動定律（Law of Inertia，慣性定律）說，除非受到外力的影響，否則物體不會改變其原本的運動狀態：靜止的物體保持靜止；運動中的物體除非受到一個淨外力，否則會依原本的方向持續進行等速運動。牛頓第二運動定律則是說，當物體受到外力時，其動量（momentum）變化率與作用力的大小成正比。最後根據牛頓第三運動定律，當第一個物體施加一個作用力於第二個物體時，第二個物體也會施加一個大小相等方向相反的作用力於第一個物體。例如當湯匙掉落在桌子上時，湯匙向下施加於桌子的作用力，與桌子向上施加於湯匙的作用力相等。

　　　　牛頓終其一生都深受到躁鬱症的困擾。他非常痛恨他的母親和繼父，曾在青少年時期威脅要把他們活生生地燒死在房子裡。牛頓也寫過一些與聖經及預言有關的論文。很少人知道牛頓花在研究聖經、神學以及煉金術上的時間比科學還多；而且他在宗教上的著作也多於自然科學。無論如何，這位英國數學家及物理學家仍然是史上最有影響力的科學家。

西元1988年／蟲洞時光機

索恩（Kip Stephen Thorne，西元1940年生）

我們在〈時光旅行〉一節中曾談到，戈德爾在1949年所提出的時光機必須運作在巨大的尺度上—整個宇宙都必須隨之旋轉才行得通。而另一種完全不同的時光機，則是索恩和他的同事，在一篇1988年發表於著名的《物理評論通信》（Physical Review Letters）上的文章中所提出的，從次原子量子泡沫（quantum foam）中所產生的蟲洞（Wormhole）。他們在論文裡描述了一個連接了存在於不同時間下的兩個區域的蟲洞，因此蟲洞可以連結過去與現在。由於經由蟲洞的旅行幾乎是發生在一瞬間，因此我們可以藉由蟲洞來回到過去。索恩的時光機與威爾斯（H. G. Wells）的時光機不同，需要極為龐大的能量，而我們的文明在未來的許多年內都不可能產生如此龐大的能量。然而索恩樂觀地在論文中提到：「一個夠先進的文明，都可以藉由單一的蟲洞建造出回到過去的時光機。」

　　把宇宙中無所不在的量子泡沫中的微形蟲洞放大，也許可以產生索恩的時光蟲洞。把蟲洞放大後，可以把其中一端短暫地加速到非常高的速度，或是把其中一個開口移到重力非常大的天體旁，然後回頭。這兩種方法都可以讓蟲洞移動過的那一端因為時間延遲而經歷較短的時間（跟相對於實驗室座標從未移動過的那一端相比）。例如放在加速過那一端的時鐘顯示的時間可能是2012，而靜止不動那一端的時鐘顯示的可能是2020。如果你跳進2020年那一端的蟲洞，你將會回到2012年。但是你無法回到蟲洞時光機建造之前的日期。建造蟲洞時光機的困難之一是為了讓蟲洞保持開啟，需要大量的暗能量（dark energy，例如具有負質量的稀罕物質），而我們現今的科技仍無法製造出這種物質。

一百兆年後／宇宙的終結

弗雷德亞當斯（Fred Adams，西元1961年生），

霍金（Stephen William Hawking，西元1942年生）

詩人佛洛斯特（Robert Frost）曾寫道：「有人說世界將會終結於火中，有人說終結於冰裡。」我們的宇宙的最終命運取決於它的幾何形狀，暗能量的行為以及物質的總量等因素。而天文物理學家弗雷德亞當斯以及格雷戈里勞克林則描繪了一個黯淡的終點：現在這個充滿星星的宇宙，到最後將成為一個由次元子粒子所組成的巨大海洋，所有的恆星、星系和黑洞都將消失不見。

在其中一個情境裡，宇宙的死亡分成好幾幕。目前上演的這一幕，恆星所產生的能量正驅動各種天體物理的過程。雖然我們的宇宙已經有137億歲，但是大部分的恆星都才剛剛開始發亮。但是所有的恆星都會在100兆年後死亡，屆時將不再有新的恆星誕生，因為星系已經耗盡它們的燃料—那些用以產生新恆星的原料。到了此刻，滿天繁星的這一幕將迎來它的終點。

第二幕，宇宙繼續膨脹，但是能量不變且星系逐漸萎縮，物質逐漸聚集到星系的中央。只剩因為質量不足而無法像恆星一樣發光的棕矮星仍在苟延殘喘。到了這時候，重力已經把死亡恆星的殘骸聚集成超級緻密的天體，例如白矮星、中子星與黑洞。到最後，即使是這些白矮星和中子星也都會因為質子衰變而消失。

第三幕，是黑洞的時代，這時候重力已經將所有的星系都轉換成看不見也質量非常巨大的黑洞。藉由天文物理學家霍金在1970年代所提出的一種能量輻射過程，黑洞會逐漸地流失其巨大的質量。這表示一個巨有大型星系質量的黑洞，在大約1098到10100年後，會蒸發殆盡。

當黑洞時代落幕後，還有什麼東西留下來嗎？有什麼來填滿這個寂寞的巨大宇宙空洞？有生命能夠存活嗎？到最後，我們的宇宙可能只是一片漂散著無數電子的海洋。

數學之書

約西元前600年／畢氏定理與三角形

波利亞（George Pólya，西元1887年~西元1985年）

有些小朋友可能是在西元1939年米高梅（MGM）電影《綠野仙蹤》（The Wizard of Oz）中，當稻草人終於有了自己的大腦並開口覆誦畢氏定理時，頭一次聽到這個赫赫有名的定理。唉！可是劇中的稻草人卻將這麼有名的定理給背錯了！

畢氏定理指的是在每一個直角三角形中，斜邊長c的平方必定等於其餘較短兩邊a跟b的平方和—算式寫成a2 ＋ b2 ＝ c2。這是一個被用最多方法證明過的定理，在盧米斯（Elisha Scott Loomis）那本《畢氏命題》（Pyt...

數學之書作者序／

數學之美與效用

數學已經滲入每一個需要費盡心思的科學領域，並且在生物學、物理、化學、經濟、社會學跟工程等方面取得無法替代的角色。我們可以用數學說明夕陽色彩分佈的情況，也可以用來說明人類的大腦結構。數學幫助我們打造超音速飛機跟雲霄飛車，模擬地球天然資源流轉的方式，進入次原子的量子世界探索，甚至讓我們得以想像遙遠的銀河系。數學可以說是改變了我們看待宇宙的方式。

在本書中，我希望運用少量數學公式提供一點數學品味，而鼓勵讀者發揮想像力。對大多數讀者而言，這本書所談論的應該不只是能滿足好奇心卻缺乏實用價值的單元，根據美國教育部實際調查的結果顯示，能夠順利完成高中數學課程的學生升上大學後不論選讀哪一個科系，都能夠展現出比較優秀的學習能力。

數學的實用性讓我們可以建造太空船，探索所處宇宙的幾何結構。數字也可能是我們跟有智能的外星生物間所採用的第一種溝通手段。有些物理學家認為在掌握更高空間維度和拓樸學（topology，探索形狀與彼此間相互關係的一門學問）或許有一天當現在這個宇宙處於在極熱或極冷的末日之際，我們就能逃出，在所有不同的時空環境下安身立命。

數學史上不乏許多人同步有重大發現的例子，就以這本書裡面的莫比烏斯帶（The Mobius Strip）為例。德國數學家莫比烏斯（August Mobius）和當時另一位德國數學家利斯廷（Johann Benedict Listing）同時在西元1858年各自發現莫比烏斯帶（一個只有單面，神奇的扭曲物體）。這種同步發現的現象就跟英國博學多聞的牛頓（Isaac Newton）與德國數學家萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz）各自同時發現微積分的例子相似。這些例子讓我不禁懷疑科學領域為何經常有不同人，在相同時間，獨立發現同一件事情的情況？其他例子還包括英國博物學家達爾文（Charles Darwin）和華萊士（Alfred Wallace）都在相同時間各別提出演化論的觀點，匈牙利數學家鮑耶（Janos Bolyai）和俄羅斯數學家羅巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky）似乎也是在同一時間各別提出雙曲幾何的想法。

最有可能解釋同步重大發現的理由，是因為人類在那些時間點對於即將誕生的發現，已經累積足夠的知識，這些想法自然也就瓜熟蒂落地被提出來；可能兩位科學家都受到當代其他研究人員同一篇先導研究論文的影響。另一種帶有神祕色彩的解釋，會從較深層的觀點說明這種巧合。奧地利生物學家卡梅納（Paul Kammerer）曾表示：「或許我們可以說，儘管打散、重組的過程在現實世界繁華的表面下與宇宙無垠的千變萬化中不斷重複發生，但是物以類聚的現象也會同時在這些過程中產生」；卡梅納把現實世界的重大事件比喻成海洋波濤的頂端，彼此間看起來各自孤立，毫無瓜葛，不過根據他充滿爭議性的理論，我們其實只看到上層的波浪，卻沒注意到海面下可能存在某種同步機制，詭譎地把世上各種重大事件串在一起，才顯現出這種一波又一波的風潮。

易法拉（Georges Ifrah）在《數目溯源》（The Universal History of Numbers）一書中談論馬雅數學時，順便論及了這種同步情況：

我們因此又再一次地見證到，散居在廣大時空環境的下互不認識的人⋯⋯也會有非常類似甚至是一模一樣想法。⋯⋯有些例子的解釋；是因為他們接觸了另一群不一樣的人並受到對方的影響，⋯⋯真正的有效解釋是因為前面提過的深層文化融合：智人這種生物的智力具有共通性，把世界各個角落統整串連的潛力非常可觀。

古代的希臘人深深受到數目字的吸引。在這個不停變動世界的艱困年代，會不會只有數目字才是唯一恆常不變的？對於源自一門古希臘學派、畢達哥拉斯理念的追隨者而言，數目字是具體不變、和緩永恆的—比所有朋友更值得信賴，卻不像阿波羅或宙斯般讓人無法親近。

本書中有很多條目都跟整數有關，聰穎的數學家艾狄胥（Paul Erdos）醉心於數論—有關於整數課題—的研究，他經常能輕易使用整數提出問題，儘管問題的陳述很簡單，但是每一題卻都是出了名的難解。艾狄胥認為如果有任何數學問題提出後經過一個世紀依然無解的話，那一定是個跟數論有關的問題。

有很多宇宙萬物可以用整數表達之，譬如用整數描述菊花花瓣構成的方式、兔子的繁衍、行星的軌道、音樂的合弦，以及週期表元素間的關係。德國代數學家暨數論大師克羅內克（Leopold Kronecker）曾經說過：「只有整數來自於上帝，其他都是人造的。」這句話也暗示整數是一切數學的最主要根源。

自從畢達哥拉斯的年代以來，按照整數比例演奏出的音樂，就相當受到歡迎，更重要的是，在人類理解科學的演進過程中，整數也扮演著相關關鍵的角色，像是法國化學家拉瓦節（Antoine Lavoisier）就是依照整數比調配組成化合物的元素，顯示出原子存在的強烈證據。西元1925年，激態原子放射出一定整數比的光譜波長，也是當時發現原子結構的一項證據。幾乎按照整數比呈現的原子量，顯示原子核是由整數個數的相似核子（質子跟中子）所組成，與整數比的誤差則促成同位素（基本元素的變形體，擁有幾乎一樣的化學特性，只在中子數的個數上有所差異）的發現。

純同位素（pure isotope）原子量無法完全以整數比呈現的微小差異，確認了愛因斯坦（Albert Einstein）著名方程式 E ＝ mc2是成立的，也顯示出生產原子彈的可能。在原子物理領域隨處可見整數的存在。整數關係是組成數學最基本的一股勢力—或者引用高斯（Carl Friedrich Gauss）的說法：「數學是所有科學的女王—而數論則是數學中的天后。」

用數學描述宇宙這門學科成長迅速，但是，我們的思考方式跟語言表達能力卻還有待好好加強。我們一直發現或創造出新的數學，但是，我們還需要用更先進的思維才能加以理解。譬如最近這幾年已經有人針對數學史上幾個最著名問題提出證明，可是，他們的論證方式非常冗長又複雜，就連專家們也都沒辦法確定這些論證是否正確。數學家哈里斯（Thomas Hales）將一篇幾何學論文投稿到《數學會誌》（Annals of Mathematics）期刊後，整整花了五年的時間等待專家審查意見—專家們最後的結論是找不到這篇論文哪裡有錯，建議該期刊加以發表，可是必須加上免責聲明—他們無法肯定這個證明是對的！另一個例子來自數學家德福林（Keith Devlin），他在《紐約時報》（New York Times）刊出的文章中承認：「數學已經進展到一個相當抽象的程度，甚至就連專家有時都無法理解最新的研究課題到底在講什麼。」如果就連專家都有這樣的困擾，想要把這些資訊傳遞給普羅大眾當然更是困難重重，我們只好竭盡所能，盡力而為。雖然數學家們在建構理論、執行運算這些方面很在行，不過他們在融會貫通、解說傳達先進觀念的能力恐怕還是有所不足。

在此引用物理作為類比。當海森堡（Werner Heisenberg）擔心一般人可能永遠也無法真正理解原子是怎麼一回事時，波耳（Niels Bohr）顯得相對樂觀。西元1920年代，波耳在一封回給海森堡的信中提到：「我認為這是有可能的，但是要配合我們重新認識『理解』這個詞彙真正意涵的過程。」我們現在使用電腦進行研究的真正原因，是因為我們直觀能力有限，透過電腦實驗實際上已經讓數學家們取得更進一步的發現與洞見，這是在電腦普及以前作夢也想不到的結果。電腦及其繪圖功能，讓數學家們早在有辦法正式完成證明之前，就先看到結果，也開啟了一項全新的數學研究領域，就連試算表這種簡單的電腦工具，也能讓現代數學家擁有高斯、歐拉（Leonhard Euler）、牛頓等人渴望的數學功力。隨便舉個例子，西元1990年代末由貝利（David Bailey）跟佛格森（Helaman Ferguson）兩人設計的電腦程式用一條新公式把圓周率π、log 5跟其他兩個常數串在一塊，如同克拉瑞克（Erica Klarreich）在《科學新知》（Science News）上的報導，只要電腦能把公式先找出來，事後完成證明的工作就簡單多了，畢竟在完成數學證明的過程中，簡單地知道答案這項工作，通常也是最難以跨越的障礙。

我們有時候會用數學理論預測某些要經過好幾年後才能確認的現象，譬如以物理學家麥斯威爾（James Clerk Maxwell）命名的麥斯威爾方程式（Maxwell equation）預測了無線電波的存在；愛因斯坦場論方程式（fields equation）指出重力可以折彎光線及宇宙擴張論。物理學家狄拉克（Paul Dirac）曾說過，今天研究的數學課題可以讓我們偷偷瞄見未來的物理理論，事實上，狄拉克的方程式預測了之後才陸陸續續發現的反物質（antimatter）存在。數學家羅巴切夫斯基也說過類似的話：「就算再抽象的數學分支，也總有一天會運用在詮釋現實世界的物理現象上。」

在這本書裡，讀者們將會碰上許多被認為掌握宇宙之鑰、相當有趣的幾何學家。伽利略（Galileo Galilei）曾說過：「大自然的鬼斧神工不外乎是數學符號寫成的篇章。」克卜勒（Johannes Kepler）曾使用正十二面體之類的柏拉圖正多面體，建構太陽系的模型。西元1960年代的物理學家維格納（Eugene Wigner）對於「數學在自然科學中具有超乎常理的效用」感到印象深刻；像是E8這種大李群（large Lie Group）—請參照條目：探索特殊E8李群的旅程（西元2007年）—則可能在某一天協助我們創造一統物理學的終極理論。西元2007年，瑞典裔的美國宇宙學家泰格馬克（Max Tegmark）發表一篇相當受到歡迎、談論數理宇宙假說的科學文章，指出我們看到的物理實體其實都是數學結構；也就是說，我們不只可以用數學描述所處的宇宙，甚至可以說—宇宙本身就是數學。

物理之書作者序／

物理的範圍

美國物理學會（The American Physical Society）是當今最重要的物理學家專業組織之一，這個學會是在1899年，由36名聚集在哥倫比亞大學（Columbia University）的物理學家所成立，學會的目標是促進並推廣物理學的知識。該學會在宗旨中提到：



物理學對於了解環繞著我們的世界、我們之內的世界以及我們感知以外的世界，都非常地重要。它是最基本也最重要的科學。物理學裡的相對論與弦論等概念挑戰了我們的想像力，它還引導了電腦與雷射等改變了我們生活的偉大發現。物理學的研究範圍涵括了最大的星系到最小的次原子粒子。除此之外，物理學還是其他許多學科，例如化學、海洋學、地震學以及天文學的基礎。

的確，今天物理學家的研究範圍又遠又廣，包含了各種酷炫的主題以及基本定理，以了解自然、宇宙以及組成真實世界最細微的結構。物理學家探討多重維度、平行宇宙以及連結不同時空的蟲洞存在的可能性。就如美國物理學會所說的，物理學家的發現經常會導致新的科技，甚至改變哲學以及我們看待這個世界的方式。舉例來說，對許多科學家來說，海森堡的不確定性原理意味著物質宇宙並非以決定論者所說的形式存在，而是一個由各種可能性所形成的神祕組合。我們對電磁學的了解導致了無線電、電視與電腦的發明。我們對熱力學的了解則導致汽車的發明。

從這本書中，你將會發現物理學的範圍無法以年代來區分，更難以劃定界線。我採用了一個較寬廣的視角，把工程與應用物理，以及我們對天體了解的進展都納了進來，有些主題甚至還帶有哲學的意涵。儘管這樣的範圍很廣，但是大多數物理領域都有一個共通點，那就是科學家非常仰賴數學工學來了解、實驗並預測自然世界。

愛因斯坦曾說，世界上最難以理解的事就是，這世界是可以理解的。確實我們似乎活在一個可以用簡潔的數學式與物理定律來描述或近似的宇宙中。然而除了這些自然定律之外，物理學家還鑽研一些人類所曾思考過最深奧難解的概念，例如相對論、弦論以及大霹靂宇宙論。量子力學讓我們瞥見一個如此古怪又違反直覺的世界，讓我們對空間、時間、資訊以及因果產生疑問。然而，量子力學的那些神祕指涉姑且不論，這個領域的研究成果已經被應用在雷射、電晶體、微晶片以及核磁共振造影等各式各樣的領域與科技上。

這本書的內容也把提出那些偉大物理概念的「人」納入其中。物理學是現代科學的基石，幾個世紀以來它吸引了無數的人們投身其中。牛頓（Isaac Newton）、馬克士威爾（James Clerk Maxwell）、居禮夫人（Marie Curie）、愛因斯坦（Albert Einstein）、費曼（Richard Feynman），這些史上最偉大而迷人的心靈，都曾將自己奉獻給物理學的進展。他們改變了我們看待宇宙的方式。

物理學也是科學中最困難的學科之一。物理學對宇宙的描述永無止盡地成長，而我們的思考與語言技巧卻有極限。每天都有新的物理被發現，因此我們也需要新的方式來思考與理解物理。德國理論物理學家海森堡（Werner Heisenberg）曾擔心人類或許永遠無法真正地了解原子；但是丹麥物理學家波耳（Niel Bohr）則在1920年代初期樂觀地回應：「我想我們還是可以辦得到，但是在這個過程中，我們或許必須學習『了解』這個字，到底意味著什麼。」今天，我們藉由電腦來分析超越我們直覺的事物。事實上，以電腦所進行的實驗已經讓物理學家得以提出在電腦普及以前無法企及的理論與洞見。

現在有一些傑出的物理學家認為在我們的宇宙之外，還有許多像是一層層的洋蔥或是奶昔裡的泡泡一樣平行存在的宇宙。在某些平行宇宙理論裡，我們或許可以偵測到從鄰近宇宙所「洩漏」過來的重力，偵測到這些宇宙。舉例來說，來自遙遠星球的光可能會因為幾釐米外，位於平行宇宙中的不可見天體而產生扭曲。整個多重宇宙的概念並不像它表面上看起來那樣的異想天開。根據美國研究者大衛拉柏（David Raub） 在1998年對72名頂尖物理學家所做的問卷顯示，有58%的科學家，包括霍金（Stephen Hawking），都相信某種形式的多重宇宙。

《物理之書》的內容涵括了從理論與具備卓越實用性的發現到奇特難解的主題。在其他的介紹物理的書籍裡，你可能看不到介紹完1964年的次原子粒子－上帝粒子（God Particle）後，下一篇出現的會是1965年風靡了整個美國，擁有絕佳彈跳力的超級球（Super Ball）。我們還會介紹有朝一日可能會撕裂星系，並造成可怕的大撕裂，終結宇宙的神祕暗能量（Dark Energy）；以及開啟了量子力學的黑體輻射定律（blackbody radiation law）。我們將一同沉思涉及與外星生命接觸的費米悖論（Fermi Paradox）；探索一座在非洲發現已經運作了20億年的史前核子反應爐。我們將會討論到創造出史上最深沉的黑－比車子的黑色烤漆還要黑上一百倍－的競賽。這種「終極的黑」未來可能可以用來更有效率地從太陽獲取能量或是設計極度靈敏的光學儀器。

本書裡的每一節都很簡短－只有個位數的段落。這種形式可以方便讀者很快地切入一項主題，而省略冗長的說明。想知道人類最早是在什麼時候看到月球的遠側？只要翻到「月球的黑暗面」（Dark Side of the Moon）就可以獲得簡短的介紹。什麼是古老的巴格達電池（Baghdad batteries）之謎？什麼又是黑鑽石（black diamonds）？這本書裡將會提到這些與其他令人好奇的主題。我們將會懷疑真實是否其實只是人為的建構。當我們越來越了解宇宙，而且可以利用電腦來模擬複雜的世界時，即使是嚴肅的科學家也開始質疑真實的本質究竟為何。會不會我們其實都活在電腦所模擬出來的世界裡？

在我們生存的這個小小星球上，我們已經發展出可以用軟體與數學規則來模擬類似生命的行為。有一天，我們或許可以創造出具有思考能力的生物，存活在如同馬達加斯加（Madagascar）雨林那樣複雜而多樣的豐富虛擬空間裡。也許我們還能模擬「真實」本身，而更先進的生命或許早就在宇宙的另一個角落這樣做了也說不定。

數學之書作者序／

數學之美與效用

數學已經滲入每一個需要費盡心思的科學領域，並且在生物學、物理、化學、經濟、社會學跟工程等方面取得無法替代的角色。我們可以用數學說明夕陽色彩分佈的情況，也可以用來說明人類的大腦結構。數學幫助我們打造超音速飛機跟雲霄飛車，模擬地球天然資源流轉的方式，進入次原子的量子世界探索，甚至讓我們得以想像遙遠的銀河系。數學可以說是改變了我們看待宇宙的方式。

在本書中，我希望運用少量數學公式提供一點數學品味，而鼓勵讀者發揮想像力。對大多數讀者而言，這本書所談論的應該不只是...

數學之書
螞蟻的里程表（約西元前一億五千萬年）、魔術方陣（約西元前2200年）、畢氏定理（約西元前600年）、季諾悖論（約西元前445年）、歐幾里得《幾何原本》（西元前300年）、算盤（約西元1200年）、黃金比例（西元1509年）、對數（西元1614年）、滑尺（西元1621年）、巴斯卡三角形（西元1654年）、發現微積分（約西元1665年）、常態分佈曲線（西元1733年）、代數基本定理（西元1797年）、重心微積分（西元1827年）、莫比烏斯帶（西元1858年）、黎曼假設（西元1859年）、質數定理的證明（西元1896年）、毛球定理（西元1912年）、混沌理論與蝴蝶效應（西元1963年）、模糊邏輯（西元1965年）、魔術方塊（西元1974年）、碎形（西元1975年）、NP完備的俄羅斯方塊（西元2002年）、破解西洋跳棋（西元2007年）、數理宇宙假說（西元2007年）……共250則

物理之書
大霹靂（西元前一百三十七億年）、以太陽為中心的宇宙（西元1543年）、克卜勒的行星運動定律（西元1609年）、伽俐略落體加速度（西元1638年）、氣壓計（西元1643年）、笛卡兒動量守恆（西元1644年）、波以耳的氣體定律（西元1662年）、牛頓的運動定律和萬有引力定律（西元1687年）、富蘭克林的風箏（西元1752年）、黑洞（西元1783年）、奧伯斯悖論（西元1823年）、愛因斯坦特殊相對論（西元1905年）、熱力學第三定律（西元年1905）、超導（西元1911年）、原子核（西元1911年）、波耳原子模型（西元1913年）、薛丁格方程式（西元1926年）、中子（西元1932年）、平行宇宙（西元1956年）、雷射（西元1960年）、巴克球（西元1985年）、哈伯太空望遠鏡（西元1990年）、霍金的星際奇航記（西元1993年）、宇宙的終結……共250則。

數學之書
螞蟻的里程表（約西元前一億五千萬年）、魔術方陣（約西元前2200年）、畢氏定理（約西元前600年）、季諾悖論（約西元前445年）、歐幾里得《幾何原本》（西元前300年）、算盤（約西元1200年）、黃金比例（西元1509年）、對數（西元1614年）、滑尺（西元1621年）、巴斯卡三角形（西元1654年）、發現微積分（約西元1665年）、常態分佈曲線（西元1733年）、代數基本定理（西元1797年）、重心微積分（西元1827年）、莫比烏斯帶（西元1858年）、黎曼假設（西元1859年）、質數定理的證明（西元1896年）、毛球定理（西元1912年）、混沌理...