什麼不是數學？

楊維哲



呃，我的題目是「什麼不是數學？」當然你知道這樣的題目純粹是耍噱頭，這個題目其實就是「什麼是數學？」這怎麼說呢？「什麼不是數學」＝「什麼是數學」，對我要演講來說，用這兩個題目其實是一樣的，在數學裡叫作等價。等價的情形很多，而且是數學上最重要的一個概念。大致說來是兩件事情：一個是說「這個東西是那個東西的充分必要條件」。這樣的事情在數學裡最多了，如高等微積分、高等代數裡所說的「這個性質其實就是那個性質，兩者完全一樣」、「這兩個命題（statement）等價」。等價有別種用法，譬如等價關係（equivalence relation）。例子有很多，你很清楚啦，星期一、星期二、……星期七、星期八……，對我們來說沒什麼要緊，因為星期七就是星期天，星期八就是星期一。這怎麼講呢？這就是所謂的modulo， （modulo 7）──對7來說，8和1是等餘（餘數相等）──這也是等價。我用這個題目的理由是效果完全一樣，而且可以耍噱頭。另外一個理由是：理論上說來，如果我們把「什麼是數學」說清楚，那麼「什麼不是數學」也就很清楚了，反過來說也一樣。這等於是數學裡的所謂「補集」（complement），有（ ，所謂「負負得正」──補集合的補集合得到原集合。我打算在「什麼是數學」這欄講一些，在「什麼不是數學」那欄講一些，這樣一點一點講、積起來，情形就會變成「瞎子摸象」。「瞎子摸象」的道理本來是講人的偏執所見，有的人摸到的是這樣，有的人摸到的是那樣，就說象是怎麼樣的，其實這都不是嘛！不過，我們想清楚了，就知道瞎子摸象不應該這麼講，我們應該有比較正面、比較積極的說法。把我所摸到的各部分綜合起來，「象是什麼」也就更清楚了。我就打算這樣點點滴滴地講，這當然一點都不系統，不過沒有關係，你多少總會得到一點兒概念。

年老的數學家楊（L. Young）的數學史書上有這樣的故事：他是個英國佬，到屬地南非當教授。有一天接到一張請帖，他很高興，為了對得起胃，那天中午就不吃飯，照經驗這是對的。結果，到時候才發現，大家都是西裝筆挺，吃飽了飯來的，而且他竟是那天的演講者。而演講題目是什麼呢？──「什麼是數學？」他沒有演講的經驗又空著肚子，主人殷勤奉上的咖啡，使他越喝越苦澀。不得已，也只有開始講啦，小時候學過兩個蘋果加上三個蘋果等於五個蘋果，這是不是數學呢？他自己就答No，這當然不算數學；好了，那麼高深一點的，水流問題、雞兔同籠（即假設是「中國式」的來講）是不是數學呢？這當然也不是數學；再過來到初中時，解方程式有 ，是不是數學呢？這個也不是。好了，都不是數學──他不曉得如何度過那個晚上。

我認為，楊的「什麼是數學、什麼不是數學」這樣的說法，多少也說出了「什麼是數學」。

數學很注重所謂的本質（essense），我這裡講的essense不想作嚴格的定義──馬馬虎虎啦。…說到馬馬虎虎，這也很重要。數學很重要的一點就是「馬馬虎虎」，你要是懂得什麼是馬馬虎虎，就懂得什麼是無所謂；而懂得什麼是無所謂，就如同你懂得什麼是essense一樣。所以你要懂得什麼地方該馬虎，該不在乎；什麼地方才是要緊，你要在乎，這是數學最重要的一件事情。好了，那什麼不是數學？最少，什麼不是數學家呢？這兒我就記了一些東西，這樣兩邊（見表「什麼是數學」與「什麼不是數學」兩欄）慢慢就會越記越多。我在街上看過很大的豎招──「名數學家」，你知道那是算命的，這年頭比較少，現在都是寫「哲學家」，他們當然都不是真正的數學家，也不是真正的哲學家。這當然不是數學啦，是算命的。實際上我就真的考證過，譬如，「說唐」故事裡出現的欽天監李淳風，就是真的數學家，他曾對九章算經作注。古時候的欽天監就是數學家，那麼欽天監這官兒是幹什麼的呢？是替皇帝算命的。實際上，我們也知道像克卜勒（Kepler），是天文台的頭子，可是他實際上也要替什麼王公貴族算命。事實上是有一段時期，這些天文學家、算命的都是數學家，數學家也都是算命的，實在是無可奈何的事。但無論如何，星象學（astrology）是一種「不是數學的數學」。

又有一個故事，是關於大數學家歐拉（Euler）。百科全書派的狄德洛（Diderot ）是位典型的知識份子，絕對不信什麼牛鬼蛇神，什麼救主、得道。大家都辯不過他，於是想到找大數學家歐拉來對付他，歐拉就寫了一個公式eiπ=－1（譬如說），接著說「所以上帝存在」。故事裡說狄德洛沒辦法，只得「抱頭鼠竄」而去。我要講的是──這一點很重要──Euler研究的是數學，但是他講的那句話不是數學。

數學家真正用心去研究的是有一點數學。著名的色幻體（亦有稱之魔術方塊），我的老師，我們系上（台大數學系）的施拱星教授就曾以此為例演講過。他慢慢兒跟你講如何用變換群（transformation group）來看它，考慮它的軌道（orbit）。色幻體大家都玩過，多少有一些觀察，一些歸納，這當中也是有一些數學的，對不對？！譬如，轉來轉去，頂點仍然是頂點，中心仍是中心。當然，以我們的年紀很快就可以觀察出來了；可是事實上並不那麼簡單，這裡的數學主要是群論（或變換群論），而最初的一個問題是「對稱」。

在數學上會提到「對稱函數」，譬如f（x,y）=x2+xy+y2是x、y的對稱函數，因為x變y，y變x，結果還是原式：f（x,y）=f（y,x）。你也知道什麼是交代式，就是x、y交換，使結果變個符號──f（x,y）=-f（y,x）。另外還有奇函數、偶函數〔奇函數：f（x）=-f（-x），偶函數：f（x）=f（-x）〕。

然後你注意到偶函數加偶函數得偶函數，奇函數加奇函數得奇函數；偶函數乘偶函數得偶函數，偶函數乘奇函數得奇函數，奇函數乘奇函數得偶函數，這有點像負負得正的情形，事實上是嘛！本來就是啊！在數學上叫做「同態」（homomorphic）就是「在某種意味上，它們的本質是一樣的」。

在數學裡，我們隨時隨地要注意類推（analogy），這當然是數學的本質之一。剛剛說的對稱式與交代式以及奇函數與偶函數的情形也一樣，當然這有統一的理論，是群論裡最簡單的情形，群論討論的是更複雜的對稱。這其中都有一個類推，你要觀察出，咦，這很相像──這可以說是數學的開始。或是我們常常會說觀察到某種對稱性，這可以說是所有觀察裡最重要的，不只是在數學，在物理學也是如此。「類推」是什麼意思呢？是「相像」而不是「相同」，你要看出是什麼地方一樣，什麼地方不一樣。

呃，什麼是數學呢？通常的說法可分成理論數學、應用數學，我記得施教授說過還有第三種「考試數學」。考試數學就不是數學了，為什麼呢？你看那些人天天準備數學，在補習班補數學，其實他們只是在練習「反射作用」！根本不用大腦，也不用小腦，只用延腦、間腦。學數學不是這樣子的，不是學的要快，是要你把它想得很深刻，知道它的本質。好了，「考試數學」不是數學，還有什麼東西不是數學？「新數學」就不是數學。所謂「新數學」，就是什麼東西都要用集合（set）來講，如此而已！施教授就說過，「set是康托（Cantor）提出來的，已經一百年，不算新了。」什麼東西都用集合，我可以舉例子來說明這有多荒謬。我女兒打跆拳回家，最先就喊「媽咪！」──還好她中「新數學」的毒不太深，否則她要喊「那個singleton set──我媽媽所形成的那個集合──在那裡？」而我說的時候就更糟糕了：「我太太所形成的集合在那裡？」人家要問了，咦，你太太還可以形成一個集合啊！你是摩門教徒，還是回教徒？什麼東西都用集合，有時真是很荒謬。

解方程式3x2+2x-7=0，「新數學」卻這麼說──求3x2+2x-7=0的解集合──那些人以為這樣就是數學，數學就是這樣；當然，這可一點都不是數學。

這兒我還列了一些「什麼是數學」──數學教育和數學的哲學。我的理由很簡單，數學念通了，你當然可以教人，但教法是有點兒講究的，有的人口才好教得好一點。但是這區別不大，你真正的會，等於只要把你的學習過程重覆一遍，因為你跟他會犯的錯誤差不多一樣，重要的是過程。我們學數學，重要的當然是整個思考的過程，所以我們在思考如何教人的同時，其實是心得最多的時候，這是數學。那麼哲學呢？有些自命哲學家──算命的侈談什麼科學哲學、數學理哲學，就像我一位朋友說的，要談那些個也要自己先把數學、物理都弄通了，才有資格講。平常我上課就常提到一句羅素說的俏皮話（跟數學有關）：「The number of a set is the set of all sets which have this number as their number of set」（對一個集合，它的元素個數就是「所有有同樣元素個數的集合的那個集合」）這個定義不是很好，我知道，這有點兒矛盾，但是這裡的邏輯家不需要跟我辯論，我說過馬馬虎虎啦，數學就是要馬馬虎虎，要講本質。這就是所謂的「抽象化」，譬如要得到「4」這個概念，我把所有有「4」這個屬性的那些東西都拿出來，就可以具體表達出「4」這個概念；它的意思只不過是這樣，一點都沒有深奧之處。

剩下的時間，我想比較正面的來講「數學是什麼」。講數學的分類並不重要，要緊的是講它的本質，那麼數學的本質是什麼？我們剛剛講的──數學家讀的、做的──但這不是很好。比較好的是克爾文（Kelvin）的定義──數學只不過是「精煉的常識」（refined common-sense），這裡當然有好多層意思，我想我可以舉例。我上大一微積分課，講到微分學的應用，最重要的應用是極大、極小。所謂「應用數學」，最根本的問題就是極大、極小，為什麼呢？因為我要賺最多的錢，或是吃虧最少。那麼極大極小最簡單的問題是什麼呢？這裡有一個故事：

日本有一位文學家菊池寬，他說數學其實沒有用，所用到的只有一個──兩點間直線的距離最短。

所以走路的時候永遠是直進了──行必（不）由徑啦！你不信？！只要看看我們校園裡的草坪；其實我們都是這麼走法，這是「良知良能」──不懂什麼定理不定理，也照樣這麼走。施教授就說嘛，這不是人的「良知良能」，是狗的「良知良能」，這level用不到「人」嘛！對呀，你看看狗也是這麼走的。你覺得人的尊嚴掃地了﹖﹗O.K.改一改！兩千多年前，希隆（Heron）提出假說（hypothesis）解釋光線直進：「光線走最短距離，所以就直進」。這個精煉的常識，狗就提不出來了！有數學，人才有尊嚴。後來到了費瑪（Fermat），說法也不一樣啦，他提到「折射」，這也應該用極小原理來說明：光從一個介質進到另一介質，所用的時間要最短，而不是距離最短。那麼在不同介質中光速不一樣，他就利用這個說法，以微分法來推，完全能夠解釋司乃耳的折射原理了，這當然很偉大。我上大一微積分課時，常常跟同學們舉一個例子〔從費因曼（Feynman）講義抄來的〕：你人在沙灘上，遠遠地海上有人喊救命。如果你的程度跟狗一樣，你就直跑過去；如果你的程度跟費瑪一樣，或是有我們大一學生的程度，你就會應用折射原理算一算，跑遠一點路程再折過去、游過去──因為路上跑總比較快一點。

數學上有很多這樣子的例子，大部分的東西都有它常識的一面，道理其實很簡單，但是你要把它弄通、整個精煉。

以上的問題，費瑪的計算方法是（見圖），從（0,-a）到（c, b） （a、b、c均＞0），在（x,0）處打折，而在沙灘與海水中，你的速度分別是u、v，那麼所需時間為而求y之極小。實質上他用了微分法，而算出的司乃耳定律！

以求最大公因式的輾轉相除法來說，教科書上所講的，我就不太滿意，理由是：沒有一個很常識（common-sense）性的說法。想法是很自然的嘛，為什麼不強調呢？──這個問題本來是：找兩個長度的公共度量，當然這個度量不一定存在。假設存在，則用輾轉相除的想法來作就可以得到。想法是這麼簡單，是常識嘛！但是要「精煉」，這當然就牽涉到方法了。數學的方法大致說來是抓住要點，「抓住要點」是什麼呢？常常就是「抽象化」；我們常說數學要「公理化」、「抽象化」，要「推廣」，這些講起來都是把它「結晶」下來，你抓住的要點就是所謂的「公理」。為什麼要抽象化？就是要「以簡御繁」，以簡單的幾個要點來統概一切，我想很多人都知道這意思。我上微積分課，跟同學們說，微積分最基本的一個技巧，說了半天，其實就是「變數代換」，事實上也是你常常用到的。我常舉以下的一個例子：

我跟他們說過，我私自決定，如果有那位同學作題目時會自動利用這樣的，我一定要加他二十分。結果我教了十年，沒有一位同學這樣做。（因為如果這麼寫，表示他太懂得『變數代換』，懶得寫『令u=x2+9x，則……』，這就是『抓住要點』了嘛！）微分的「連鎖規則」其實也就是「變數代換」，整個就只有一招──就是數學的精神所在。……呃，我這樣講，有點兒拉雜，列出的點也不夠多，不過時間也差不多了，就在這兒打住。

什麼不是數學？

楊維哲



呃，我的題目是「什麼不是數學？」當然你知道這樣的題目純粹是耍噱頭，這個題目其實就是「什麼是數學？」這怎麼說呢？「什麼不是數學」＝「什麼是數學」，對我要演講來說，用這兩個題目其實是一樣的，在數學裡叫作等價。等價的情形很多，而且是數學上最重要的一個概念。大致說來是兩件事情：一個是說「這個東西是那個東西的充分必要條件」。這樣的事情在數學裡最多了，如高等微積分、高等代數裡所說的「這個性質其實就是那個性質，兩者完全一樣」、「這兩個命題（statement）等價」。等價有別種用法，譬如等價關...

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