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․北一女中數學教師 許秀聰

․國立臺灣師範大學附屬高級中學數學教師 陳燮溥

世界末日快要到了嗎？

大約再過另外半個世紀，這個世界就會結束。

我們都知道牛頓是17、18世紀最傑出的科學家與數學家，他被稱為物理之父，以及萬有引力定律的創造者。但他真的如同我們所想像的，是個理性的思想家嗎？差得遠了！事實顯示，牛頓也是個致力於聖經研讀的基本教義派，他曾寫過一百萬字以上有關聖經的文章。

　　

牛頓的目的是要闡釋萬事萬物都有上帝的神祕旨意。依據這位偉大科學家的說法，這些訊息都藏在神聖的經文之中，而牛頓尤其想找出世界末日會在何時降臨的祕密。他堅信基督將會重回人世，並且在地球上建立一個千年神國，而他，以撒‧牛頓（Isaac Newton），將以聖徒之一的身份統治世界。不過，牛頓隱藏的數千頁宗教思想與計算，則約有半世紀之久。

　　

三百年後，也就是2002年末，哈里法克斯（Halifax）國王學院的加拿大科學史專家──史帝芬‧史諾柏林（Stephen Snobelen），從一大堆手稿中發現了一份重要文件，而且這份文件已經在普茲茅斯公爵（Duke of Portsmouth）的家中放了兩百年以上。不過在1936年之前，一般大眾都無緣目睹，直到它們出現在蘇富比拍賣會中。

　　

該批收藏被猶太學者及收藏家亞伯拉罕‧耶胡達（Abraham Yehuda）購入，他是一位伊拉克閃語教授。在他臨死前，他將這批收藏遺留給以色列國立猶太圖書館，從此以後，它們就在以色列希伯來大學的檔案櫃中蒙塵。

　　

當史諾柏林看到這些手稿時，剛好瞄到一張紙，在這張紙上牛頓已經算出了新約聖經《啟示錄》上所說的世界末日年份，即西元2060年。牛頓是依據精確的計算過程才得出此一結果，他讀完舊約聖經《但以理書》的第7章第25節以及啟示錄後，這位物理學家得到一個結論，即：3年半代表著一個關鍵的期間。數學家為了方便，以1年360天為基礎，所以3年半就代表1,260天，用年取代日後，這位卓越的聖經研究者很容易就歸納出世界會在特定起始日後的1,260年結束。

　　

所以，現在的問題變成是：起始日是哪一天？

　　

牛頓有幾個日子可以選擇，都與他極端厭惡的天主教教義有關。牛頓代表性傳記作者──理察‧魏斯特福（Richard Westfall）指出，牛頓挑出西元607年做為關鍵日期，是因為那一年福卡斯大帝（Emperor Phokas）贈予邦尼腓三世（Bonifatius III）為「所有基督教徒的教宗」（Pope Over All Christians）頭銜，此敕令等於是將羅馬提昇為「教會之首」（caput omnium ecclesarum）。果然值得做為世界末日的起算點！

　　

因為60711,26051,867，所以牛頓預測世界末日應該在1867年發生，不過，我們可以肯定世界並未在當年毀滅。

　　

牛頓已經為這個問題準備好退路。那位加拿大教授在以色列研究時，還碰到了西元800年這個年份。該年在歷史上也是關鍵性的一年，因為聖誕節那天，教皇里奧三世（Pope Leo III）在羅馬聖彼得教堂為查里曼大帝加冕，正式為神聖羅馬帝國揭開序幕。800年加上1,260年就等於西元2060年，大約再過半個世紀，這個世界就會結束。證明完畢！

　　

如果某些讀者讀到最後這幾行，開始覺得有點不安，不妨可以先放輕鬆喘口氣，因為牛頓還有另一個退路。依據這位卓越物理學家更深入的計算，世界末日還可能再延後，到2370年才會來臨。



價值百萬美元的猜想

一個物體是否可以在拉長、壓扁、或旋轉後，不必經由撕裂、黏合等行為，就可以變形為另外一個不同的物體？如果可以，是否所有沒把手的東西都與球體相等？

龐加萊（Henri Poincare, 1854-1912）是過去這兩個世紀以來最著名的法國數學家。與同一時代的德國數學家希爾伯特（David Hilbert）一樣，龐加萊不僅對數學的各個領域深入瞭解，在各項表現上也十分活躍。不過，數學的範圍在龐加萊與希爾伯特之後，變得十分浩瀚，每個人都只能理解其中的一小部分。

　　

龐加萊有項最廣為人知的問題，也就是今天所謂的「龐加萊猜想」（Poincar?conjecture），這個問題已經困擾並挑戰了好幾代數學家。在2002年春天，南漢普敦大學的鄧沃德（Michael Dunwoody）相信（雖然只維持了幾個星期）他已經成功地解出龐加萊猜想的證明。

　　

由於解開龐加萊猜想相當重要，因此克雷數學研究所（Clay Mathematics Institute）將這個問題列入到七個千禧年大獎的難題之一，第一個解出任何一項問題的人可以獲得一百萬美元獎金。事實上，獎金委員會認為至少要數十年後才有辦法頒發出第一個獎項，不過就在公布問題之後的兩年，似乎就出現了克雷基金會的第一位得獎者。幸好，鄧沃德的證明引起廣大的質疑，而且最後也證實質疑者的理由相當充分。

　　

龐加萊猜想屬於拓樸學（topology）的領域。簡單地講，這個數學分支研究的是：一個物體是否可以在拉長、壓扁、或旋轉後，不必經由撕裂、黏合等行為，就可以變形為另外一個不同的物體。例如：皮球、雞蛋、花盆在拓樸學裡都可定義成相同的物體，因為其中任何一個均不必採用「非法」行動，就可以變形為其他任何一個；但另一方面，皮球與咖啡杯則是不相等的，因為杯子有把手，皮球如果不鑽洞就無法變形成杯子。因此，皮球、雞蛋、花盆被稱為「單連通」（simply connected），與杯子、貝果（bagel）或椒鹽脆餅正好相反。由於龐加萊不想以幾何角度來探討這個問題，而是改由代數著手解決，於是他成了「代數拓樸學」（algebraic topology）的始祖。

　　

1904年，龐加萊提出一個問題，即：是否所有沒把手的東西都與球體相等？在二維空間裡，這個問題可以參照雞蛋、咖啡杯及花盆的表面，然後回答：是的（例如，足球的外皮或貝果的硬皮都是飄在三維空間中的二維物體）。但對於四度空間中的三維表面，答案則還不清楚，儘管龐加萊傾向相信「是」這個答案，但他無法證明出來。

　　

有趣的是，在之後的幾十年內，數學家就已經證明出四度空間以上物體的龐加萊猜想。這是因為較高維度空間提供較充裕的空間，所以數學家要證明龐加萊猜想比較簡單。例如：劍橋大學的克里斯托佛‧齊曼（Christopher Zeeman）於1961年加入競賽，證明出五度空間物體的龐加萊猜想；同一年，來自柏克萊大學的斯蒂芬‧斯梅爾（Stephen Smale）宣布證明了七度以上空間物體的龐加萊猜想；一年後，同樣來自柏克萊大學的約翰‧斯托林斯（John Stallings）證明出龐加萊猜想用於六度空間物體時是正確的；最後，1982年，聖地牙哥大學的麥可‧費德曼（Michael Freedman）證明出四度空間物體的龐加萊猜想。現在，只剩下四度空間中的三維物體待證明，不過這反而更讓人沮喪，因為四度空間代表了我們所生活的時間，即「時空連續體」（space-time continuum）。

　　

鄧沃德認為自己已經找到證明。2002年4月7日，他在網站上張貼了一篇標題為「龐加萊猜想的證明」（Proof for the Poincar?Conjecture）初稿，一些有聲望的數學家們也稱他為長期以來認真嘗試解出龐加萊猜想的第一人。在較高維度的空間裡，雖然有額外的自由空間，但遇到球體時卻很難辨認出來，為了說明困難度，請先想像一下古代的海盜及冒險家，他們雖然經歷多次遠征及探索旅程，但仍不知道地球是圓的。鄧沃德的研究是以澳洲數學家魯賓斯坦（Hyam Rubinstein）先前的成果為基礎，魯賓斯坦的專長正是研究四度空間球體的表面（要記住：四度空間物體的表面是一個三度空間物體）。

　　

鄧沃德只用了不到五頁的紙張來發展他的論點，得到的結論是所有單連通、封閉、三維的表面都可以經過拉長、擠壓、但不撕裂的方式，轉變為球體表面，而這個陳述就等於證明了龐加萊猜想。

　　

唉！在網頁貼出他的發現後才幾個星期，鄧沃德就被迫在文章標題後加上問號，接著其他的數學同行也發現他的證明有漏洞。後來，標題變成「龐加萊猜想的證明？」（Proof for the Poincar?Conjecture?），雖然鄧沃德立刻設法彌補漏洞，卻沒有成功，他的朋友和同事也都失敗了。再過了幾個禮拜，這篇文章就從網頁上消失了，而龐加萊猜想還是像從前一般撲朔迷離（儘管如此，還是請讀者參見本書第13則）。



費馬的錯誤猜想

從幾個數字中就得出所有費馬數都是質數的結論未免太過大膽，而且實際上，費馬猜想也是錯誤的，對於我們這些凡夫俗子則有當頭棒喝的效果：原來著名數學家的猜想也會出錯。

當數學家在鑽研純數的某一學門時，有時也會在完全意外的另一學門中得到報償，例如：知名數學家費馬（Pierre de Fermat, 1601-1665）一些關於數論的研究成果，就是最佳範例。雖然過了一百五十年，數學家高斯才找到費馬數論其中之一的幾何運用，即：用直尺及圓規製造正多角形。費馬之所以出名並不是因為眾所周知的「最後定理」，該定理一直只是個猜想，並且要直到1994年才由懷爾斯（Andrew Wiles）證實。

　　

費馬成年後便在法國土魯斯擔任地方行政官，直到退休，很顯然的是，他的工作並不忙碌，因此這份閒散的職業才讓他有足夠時間追求自己的數學夢想。費馬與修道士梅森（Marin Mersenne）通信，分享對數學的熱愛，並且互相討論數論方面的問題。梅森的時間大多花在2n11型式的數字上，因此費馬猜測，如果n是2的多次方，則這個數一定是質數。從此之後，能表達為22n11的數字就叫做費馬數（Fermat numbers）。

　　

費馬並未對自己的猜想提供證明（事實上，他的大多證明都遺失了，其中有些證明也可能不夠嚴謹，但他光靠類比推論及天才般的直覺就能得到正確結果）。對於費馬數，他只知道第0個和之後的4個，即：3、5、17、257、65,537。再下一個費馬數是23211，在他那個時代實在太大了，無法計算出來，因此並未被檢驗出是否為質數，但前5個費馬數的確只能被1及數字本身除盡。不過，從幾個數字中就得出所有費馬數都是質數的結論未免太過大膽，而且實際上，費馬猜想也是錯誤的，但對於我們這些凡夫俗子則有當頭棒喝的效果：原來著名數學家的猜想也會出錯。

　　

經過一個世紀以後，瑞士巴塞爾的數學家尤拉找到反證。在1732年，他指出對應於n55的費馬數（等於4,294,967,297）是641和6,700,417的乘積，因此並非所有費馬數都是質數，好了，現在我們要問：哪些是，哪些不是？

　　

尋求解答的努力並未停歇，到了1970年，n56的費馬數也被證明是合成數。現在全世界有許多自願者提供他們閒置的電腦時間來測試費馬數是否為質數，在2003年10月時，費馬數222,478,78211（這個數字大到如果要寫下來，需要一個長度為數千光年的黑板）被宣告是合成數。

　　

很不幸，被測試過的數字間有很大的間隔，事實上，前250萬個費馬數中，迄今只有217個被檢驗過。而且與費馬的預期相反，除了前5個之外，其中沒有一個是質數。由於再也沒有找到是質數的費馬數，因此又引發了一個剛好跟費馬猜想相反的新猜想，即：所有的費馬數，除了前5個之外，都是合成數。新猜想就和舊猜想一樣，沒有被證明出來。沒有人知道費馬質數是否超過5個、是否有無限多個費馬合成數、或者除了前5個以外的費馬數都是合成數？

　　

現在來看看幾何應用。

　　

1796年，哥廷根大學的十九歲學生高斯，思索著只用直尺和圓規能畫出哪些正多角形。當然，歐幾里得已經畫出了正三角形、正方形與正五角形。但是過了兩千年之後，人類在這方面並沒有更多進展，不知道可不可以畫出正十七角形？後來年輕的高斯證明出可以畫出所謂的正十七角形，他大感滿意。但還不只如此，高斯證明出角數等於費馬質數或等於費馬質數乘積的正多角形，都可以靠直尺和圓規畫出來（說得更精確一點，這個理論對於角數兩倍或再兩倍的多角形也成立，因為角度一定可以用直尺和圓規等分為兩半）。

　　

接下來又證實了對應下一個費馬質數的257角形也可以畫出。還有一個叫做艾馬仕（Johann Gustav Hermes）的人，花了十年的時間寫出如何畫出正65,537角形的說明，現在珍藏在哥廷根大學圖書館的箱子裡。

　　

高斯懷疑這個理論的反面也可能成立，即：能用直尺和圓規畫出來的正多角形的角數一定是費馬數的乘積。這個猜想的確是正確的，但卻不是由高斯證明出來的。該項榮耀落在法國數學家萬澤爾（Pierre Laurent Wantzel）頭上，他在1837年提出證明。

　　

高斯一生中有無數重要的數學發現，但他仍認為十七角形的製作是最重要的。基於對此年輕時發現的高度評價，他表達了想在墓碑上刻畫這個圖形的願望。石匠雖然知道整個故事，卻拒絕了這個要求，因為正十七角形太接近圓形。最後，高斯的出生城市伯倫瑞克（Brunswick）立起一個紀念碑，上面的石柱便以十七角星裝飾。

世界末日快要到了嗎？

大約再過另外半個世紀，這個世界就會結束。

我們都知道牛頓是17、18世紀最傑出的科學家與數學家，他被稱為物理之父，以及萬有引力定律的創造者。但他真的如同我們所想像的，是個理性的思想家嗎？差得遠了！事實顯示，牛頓也是個致力於聖經研讀的基本教義派，他曾寫過一百萬字以上有關聖經的文章。

　　

牛頓的目的是要闡釋萬事萬物都有上帝的神祕旨意。依據這位偉大科學家的說法，這些訊息都藏在神聖的經文之中，而牛頓尤其想找出世界末日會在何時降臨的祕密。他堅信基督將會重回人世，並且在地球上建立一個千年...

前言

每當有社會名流在雞尾酒會中，以複誦幾句不知名詩詞來炫耀其才氣時，旁人都會認為他飽讀詩書、充滿智慧。然而，引述數學公式就沒有這種效果，頂多只能招來一些憐憫的眼光，以及「酒會第一號討厭鬼」的封號。面對一致點頭表示同意雞尾酒會群眾，大多數的旁觀者都會承認自己的數學不好、從來就沒好過、將來也不會變好。

　　

這真是讓人感到訝異！想像你的律師告訴你他不太會拼字、你的牙醫驕傲地宣布他不會講外語、財務管理顧問很高興地承認他老是分不清伏爾泰和莫里哀。你大有理由認為這個人無知，但數學卻不是這樣，所有的人都能接受對於這門學科的無知與缺陷。

　　

我已將導正此種情況視為自己的任務，本書包括了過去三年來，我為瑞士報紙《新蘇黎世報》以及其《新蘇黎世日報星期增刊版》所寫過的數學短文。我希望讓讀者不僅瞭解這門學問的重要性，也能欣賞它的美麗與優雅。我也沒有忽視有時有點怪里怪氣的數學家們的趣聞與生平事蹟，在可能的範圍之內，我儘量讓讀者大略瞭解相關的理論與證明，數學的複雜性不應該被隱藏或誇大。

　　

不論數學，或是我的數學新聞工作者生涯都不是按直線模式演化。我在蘇黎世的聯邦科技大學（Swiss Federal Institute of Technology）攻讀數學與物理，之後換了幾個工作，最後成為《新蘇黎世報》派駐耶路撒冷的記者。我的工作是報告中東最新情勢，但我最初對數學的熱愛卻從未稍減，當一個有關對稱性的會議在海法（Haifa）舉辦時，為了報導這場聚會，我說服我的編輯派我前往以色列北邊的海法，結果這篇文章成為我為這家報社寫過的最佳報導（它幾乎和搭乘豪華郵輪沿著多瑙河駛至布達佩斯一樣棒，但這是另一個故事）。自此之後，我就開始撰寫以數學為主題的文章。

　　

2002年3月，我有一個機會可以較常態地利用我對數學的興趣。《新蘇黎世日報星期增刊版》開了一個每月專欄，名叫「喬治‧史皮婁的小小乘法表」。我很快就發現讀者的反應比預期要好，記得早期，有次我把一位數學家的生日寫錯了，結果招來將近二十四封讀者投書，從語帶嘲諷到暴跳憤怒都有。一年之後，我有幸獲得一份殊榮，瑞士科學院（Swiss Academy of Sciences）將2003年度媒體獎頒給我的專欄。2005年12月，在倫敦的皇家學會（Royal Society）提名我參加科學傳播界的歐盟笛卡兒獎（European Commission Descartes Prize）決選。

　　

我要感謝人在蘇黎世的編輯─米爾陸斯特（Kathrin Meier-Rust）、赫斯坦（Andreas Hirstein）、史貝雪（Christian Speicher）與貝雄（Stefan Betschon），感謝他們的耐心與知識豐富的編輯成果。感謝在倫敦的姐姐伊芙（Eva Burke）勤奮地幫我翻譯這些文章，還有華盛頓特區約瑟夫亨利出版社（Joseph Henry Press）的羅賓斯（Jeffrey Robbins），將我的手稿變為一本有趣的書，即使內容是關於一般常人認為比骨頭還硬的科目。

喬治‧史皮婁

耶路撒冷，2006年春

前言

每當有社會名流在雞尾酒會中，以複誦幾句不知名詩詞來炫耀其才氣時，旁人都會認為他飽讀詩書、充滿智慧。然而，引述數學公式就沒有這種效果，頂多只能招來一些憐憫的眼光，以及「酒會第一號討厭鬼」的封號。面對一致點頭表示同意雞尾酒會群眾，大多數的旁觀者都會承認自己的數學不好、從來就沒好過、將來也不會變好。

　　

這真是讓人感到訝異！想像你的律師告訴你他不太會拼字、你的牙醫驕傲地宣布他不會講外語、財務管理顧問很高興地承認他老是分不清伏爾泰和莫里哀。你大有理由認為這個人無知，但數學卻不是這樣，所有的人都能...

前 言

第一章 歷史花絮
01 閏年的故事
02 世界末日快要到了嗎？
03 老師們的人間天堂
04 天才最多也最麻煩的家族

第二章 尚未解開的數學猜想
05 價值百萬美元的猜想
06 陷入正名風波的猜想
07 親友眾多的猜想
08 數學家的名利難題

第三章 已解開的數學問題
09 鋪磚工人也想知道的問題
10 難解的單純等式問題
11 無窮數列有時盡
12 電腦算出來的數學證明？
13 龐加萊猜想被解開了嗎？

第四章 性情中人
14 天才數學家的悲劇禮讚
15 不支薪的教授
16 火星來的天才
17 幾何學大復活
18 智慧，並不比天氣複雜？
19 幻想工程部的副總裁
20 被降級的退休數學教授
21 永久客座教授的數學大師

第五章 具體與抽象
22 魔術師的「結」
23 怎樣綁鞋帶最省力？
24 失之毫釐，差之千里
25 不願面對的真相
26 俄羅斯方塊的數學祕密
27 群、魔群與小魔群
28 費馬的錯誤猜想
29 突變理論大濫用
30 一點都不簡單的簡單方程式
31 不對稱的奇蹟之美
32 真正的隨機亂數
33 確認質數工程浩大

第六章 跨學科集錦
34 法官判案是否公正？
35 選舉席位分配真能公平嗎？
36 一塊錢值多少？
37 這篇文章是誰寫的？
38 自然界有哪些數學祕密？
39 改正英文錯字
40 計算不出長度的圍牆
41 為什麼雪花總是六角形？
42 沙堡什麼時候會崩塌？
43 為什麼總是打不到蒼蠅？
44 交易菜鳥活絡市場效率
45 網路伺服器的搖尾舞
46 誰擾亂股市？
47 資料加密成敗都因量子電腦
48 股市致勝再簡單不過？
49 侮辱使人不理性？
50 聖經密碼

前 言

第一章 歷史花絮
01 閏年的故事
02 世界末日快要到了嗎？
03 老師們的人間天堂
04 天才最多也最麻煩的家族

第二章 尚未解開的數學猜想
05 價值百萬美元的猜想
06 陷入正名風波的猜想
07 親友眾多的猜想
08 數學家的名利難題

第三章 已解開的數學問題
09 鋪磚工人也想知道的問題
10 難解的單純等式問題
11 無窮數列有時盡
12 電腦算出來的數學證明？
13 龐加萊猜想被解開了嗎？

第四章 性情中人
14 天才數學家的悲劇禮讚
15 不支薪的教授
16 火星來的天才
17 幾何學大復活
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