第一章 打破數學學習的迷思

大家都明瞭「給他魚，不如給他釣竿」的道理，不只是給他釣竿，更要先讓他明白為何要用釣竿，還要教他怎樣使用釣竿，否則給了他釣竿，可能變成了曬衣竿或打狗棒。

不正確的學習方法，簡單地說，就是過度使用記憶與熟練來學數學，而不是用理解與思考。會有這樣的結果，其實是長期錯誤的習慣與認知造成的。而廣泛存在於許多人心中的一些迷思，更阻礙了學生調整學習方法的動機！唯有先打破對於數學的迷思，讓學生了解錯誤學習方式所產生的危機，才能使學生願意改正學習習慣和方法。

常常有新認識的朋友知道我是數學老師後，第一句話就是：「啊！數學是我以前最怕的科目。」這表示很多人在學生時代都恐懼數學。有的父母當年就怕數學，因為抓不到方法而學不好，現在教育子女，同樣不知道該如何督促他們學數學，有的仍舊沿襲自己當初的想法去要求子女，於是對數學的害怕就這麼代代相傳。不僅在台灣，這情況舉世皆然。

這一章我希望家長與學生一起閱讀，除了可以打破傳統上對數學的誤解，也能了解為什麼要改變學習方法。

迷思1. 國中數學是這樣學的，高中數學也應該這樣學。

我們先來看看，國中數學與高中數學有什麼不同？

從小學到大學，學習的方式需要不斷地改變。小學的數學幾乎都是用直觀，看得見的真實問題，覺得對就好，不需要證明，過程也不會太長。

國中的數學引進較多的符號系統，開始出現一些生活中不易印證的內容，有少許的證明，也出現一些規則，需要用推理來解決問題。

到了高中，數學離生活越來越遠，邏輯的推論漸漸占有更重的分量，推論必須更精確，題目的變化更大，解題的過程變長，直觀的想法已經不足以應付了。

如果大學讀數學系，那就變得更抽象了，幾乎完全是邏輯的思維，直觀只是輔助思考的工具。

每一個階段的學習方式和要求不同，是因為要配合學生心智的成長，這些改變是循序漸進的，會越來越接近純數學的本質。小學生無法用高中生的數學思考模式，高中生的數學也無法用小學生的方法學習。

原本學生按部就班學習，依著教材逐漸改變學習方式，應該不會有太大問題，可是由於升學考試的壓力，不只是學生，還包括家長和老師，常常因此而扭曲了數學的學習，這現象在國中與高中都很常見。

回到我們的問題：「是否可以用國中時的方法來學習高中數學？」這個問題，要看國中時期是如何學數學的，倒不是國中數學成績好，就一定可以照著以前的方法學習數學；至於那些國中時期就學得很辛苦的學生，當然更要修正學習的方法，否則高中數學會更慘。

只有兩種學生大致可以不必擔心。

第一種學生是，國中時在數學方面沒有花很多時間、卻又能考好的同學。不要懷疑，真的有一些學生是如此，他們已經抓到了學數學的方法，總是能夠輕鬆學好數學，這些學生在進入高中後，也會再自行思索而找到適合高中的學習方法。正確學習數學的方向在國中與高中相差不多，可惜只有很少數的學生掌握到方向。

另一種學生就是，國中時即熱愛數學，我是指那種喜歡數學本身的學生，而不是只喜歡數學分數或數學老師的學生。這種學生已經領略了數學的樂趣，會廣泛涉獵課外的數學，而他們的數學成績也都很好。

那麼，那些國中三年都戰戰兢兢努力算數學、同時也能得到不錯成績的學生，又會面臨什麼處境呢？

這些同學多半沒有用對方法，但是由於國中數學範圍不大，考題變化不多，所以藉由不斷反覆練習，通常也可以得到不錯的成績。像這樣，運用記憶與熟練來代替理解的方法，在國中時期可能還有效，可是上了高中就不行了。這樣的學生通常數學分數還不錯，可是不喜歡數學，也不知道數學到底學了什麼。

這樣的學生其實很多，去年（2008年）國際教育成就調查委員會（IEA）公布調查結果，台灣八年級學生數學平均成績全球第一，但對數學的興趣和自信卻吊車尾。

拿國中數學與高中數學來超級比一比，高中當然比較難，分量也多了很多倍──其實更重要的是，高中數學比國中數學更抽象、更精細而嚴謹，因此相對的，在高中階段，邏輯推論會比演算更重要。這本來就是數學這門學科的特性，只是高中階段要求更高，如果讀到大學數學系，要求又會比高中階段更高。

至於考試題目，當然就更廣泛而難以捉摸，每年的學測與指考題目推陳出新，學校的考題也跟著變化多端。不僅數學科是這樣，其他科目也大致如此。

那麼那些認真學習數學，花了很多時間，而且考了高分的學生，他們的學習方法有問題嗎？這很難說對或錯，可是他們的學習方法可能適用於考高中的基測，卻不適用於考大學的學測與指考。

國中老師的教學目標是考好基測，考好基測的方法很多，較多的國中老師的教學方法偏重於「熟能生巧」，結果造成只有少部分學生會在熟練後再自己想清楚，而多半學生在熟練到足以應付考試後，就不會再深入思考了。國中數學多為基本運算而變化不大，靠機械式記憶和不斷演算，確實可以拿到高分。

我知道很多國中數學補習班會用幾種有效的法寶，一種是嚴格管教，看你敢不敢再做錯。曾經有一個學生很認真地告訴我：「我爸爸跟我講，學校老師不可以打學生，補習班老師可以。」天啊！這是哪門子的道理？

另一種是死纏爛打，學不會（應該是「記不得」或「做不對」）你就別想回家，繼續做到會為止，否則星期天還要再來做。

還有一種是循循善「誘」，做對了就記點，累積點數換獎品。很多家長都有這樣的經驗，大把鈔票讓孩子去補習，孩子不知感謝，補習班老師略施小惠，孩子就感激涕零。唉！做父母的通常也只能感嘆，只要孩子考好就阿彌陀佛了。

即使學校老師也可能是這樣。

阿超是個活潑的學生，喜歡數學也樂在數學，基測數學滿分。有一次，他私下告訴我他在國中遇見的兩位數學老師，那是一所師資優良的私立學校。國一的老師上課活潑而精采，有時天馬行空，偶爾不知所云，卻很有啟發性，常使他東想西想。

班上也有幾位同學像他一樣因而喜歡數學，這幾個同學後來在數學上也都有傑出的表現，但是全班的數學成績，卻非常不理想。有的學生抱怨上課抓不到重點，有些家長反映老師的作業、考試太少。

國二換了一個數學名師，上課幽默又有權威，解題時條理而清楚，又有很多手段和技巧，將全班治得服服貼貼，全班的數學成績也脫胎換骨般在全年級名列前矛。新老師一直敎到他們畢業，全班都很喜歡新老師，只是阿超覺得新老師把數學變得不再有趣。

這是國中數學老師的使命：讓全班學生考高分，將他們送進理想的高中。所以，很多學生經過反覆練習，變成基測高分卻不了解數學的學生，這些學生上高中後，如果不能改變學習數學的態度，當然就學不好了。

迷思2. 國中數學都學不好，高中數學沒救了。

沒有什麼情況會沒救了，只有認定自己沒救的人，才是真的沒救了，俗話說「哀莫大於心死」，只要不放棄，就永遠有機會。

國中數學很爛的同學，要清楚過去錯誤的原因，方法不對，就永遠學不好數學。先將本書徹底看一遍，想一想本書的說法是否有道理，再檢視一下自己以前的學習方法是否不妥。真正了解過去的錯誤方法，才可能真正的改正。下一步就是，認真執行本書所講的學習方式。開始會很辛苦，畢竟要立即改變既有的習慣很不容易，但是一陣子以後，你就會發現學數學也可以很有意思。

至於國中沒學好的數學，可以重新再學一次，只要把課本裡的數學真正讀懂就行了。也可以配合高中數學，遇到跟國中數學有關的部分，再由基本重新來過，多做一點基本運算即可，不用擔心比人家少學了三年的東西。國中三年的數學，大約相當於高中一冊的分量，你就這麼想：「別人三年讀六冊，我得三年讀七冊。」並不難做到吧。

我見過很多學生，國中時數學成績平平，高中時數學成績突飛猛進，一般人的說法是他「突然開竅了」，其實是他抓到了方法，學習自然就得心應手了。

迷思3. 數學學不好就是因為演算題目不夠。

這話有三分道理與七分迷思，演算題目是學習數學的必經階段，不過數學內容尚涵蓋推理與論證，演算題目絕不是最重要的。運用正確方法，多做不同的題目，會加強解題的能力，但若方法錯誤，做再多題目也是枉然。

簡單來說，多做題目是要能不斷累積解題經驗，變成有用的知識。可是有的學生雖然很努力，卻只在吸收一堆零碎又不完整的片段，又不能加以融會整合，最後還是頭腦空空。中國有句老話：「行萬里路勝讀萬卷書。」西方也有句：「哈巴狗環遊世界一周，還是隻哈巴狗。」問題不在做題經驗多，而是經驗是否能夠累積成有用的知識。讀完本書第三章，你就能了解這中間的差別。

數學不是熟能生巧的技能，數學重要的是推理與論證。不懂而拚命算，是浪費時間，懂了而一直做重複的演算，是原地踏步；只有懂了以後再不斷算不一樣的題目，才會進步。

很多家長看到孩子成績不理想，首先想到的就是練習不夠，於是，買一堆參考書、測驗卷，逼孩子再多花一點時間，再多算一點數學。反正多做不會錯，最好一遍又一遍地反覆做，這也開始了學生學習數學的噩夢。

其實，大多數排斥或放棄數學的學生都經過了很多努力，只是因為方法不對，拚命算了之後仍舊考不好，一再受到挫折，直到有一天，他覺得自己永遠都學不好數學了，或者覺得將時間用在其他科目上比較有效率，因此選擇跟數學說再見。

部分老師也會陷入這種迷思，沒有提升學生對問題的理解層次，也沒有建立學生自己解決問題的能力，只是賣力地講解與不斷地考試，然後埋怨學生為什麼總是記不住，最後徒留無奈的老師與無助的學生。

「多算就自然會了」是很多學生、家長，甚至部分老師共同的迷思。

在一個基礎法文班上，老師從頭到尾都只用法語上課，有學生下課後向老師抱怨聽不懂，老師親切地告訴學生：「不管你聽不聽得懂，只要常常聽，你自然就會懂了。」學生回答：「但是我家狗每天亂吠，我聽了10年還是聽不懂牠在叫什麼？」

這比喻也許過分了點，但道理是相同的，因為只有懂了以後的練習，才是有效的學習。多半學生的問題是沒有充分理解，而不是演算不夠，如果不能加深理解，再怎麼反覆運算也是沒有用的。本書第三章也會仔細說明如何深入理解。

數學的重點是邏輯的推演，而不是機械式的運算，在真正理解數學後，只需要適量的運算即可。相反的，如果在沒有充分理解以前，只是不斷的運算，對數學學習非但沒有幫助，反而可能阻礙了提升數學理解層次的機會，因為反覆練習常使學生記熟做法而自以為已經學會了。

這是很危險的，因為只要一遇到稍加變化的題目，學生就會束手無策，尤其經過一段時間後，更容易因記憶生疏而忘記做法。長久這樣，學生會變得自以為都學會了，但很快就都忘了，而在考試的時候，每題都自以為會寫，但都沒有把握，只能希望答案是對的（甚至自己也不知道是否算對了），或者自認考得不錯（因為都有算出一個答案），發下考卷才發現分數不是自己預期的。

這樣的學習還有一個缺點：學過的東西會在一段時間之後忘得一乾二淨。

有人相信「一分耕耘，一分收穫」，但在學習數學方面，這句話卻未必正確。每個班級總能看到有些學生非常努力學數學，卻總是學不好，同時也會發現一些學生輕輕鬆鬆學好數學。

「只問耕耘，不問收穫」，常常造就一些悲劇英雄；「要怎麼收穫，先怎麼栽」，才能事半功倍，獲得大豐收。學習數學時，一定要先弄清楚正確的學習方法，接下來的努力才會有收穫。

第一章 打破數學學習的迷思

大家都明瞭「給他魚，不如給他釣竿」的道理，不只是給他釣竿，更要先讓他明白為何要用釣竿，還要教他怎樣使用釣竿，否則給了他釣竿，可能變成了曬衣竿或打狗棒。

不正確的學習方法，簡單地說，就是過度使用記憶與熟練來學數學，而不是用理解與思考。會有這樣的結果，其實是長期錯誤的習慣與認知造成的。而廣泛存在於許多人心中的一些迷思，更阻礙了學生調整學習方法的動機！唯有先打破對於數學的迷思，讓學生了解錯誤學習方式所產生的危機，才能使學生願意改正學習習慣和方法。

常常有新認識的朋友知道我是數學...

前言第一章打破數學學習的迷思迷思1.國中數學是這樣學的，高中數學也應該這樣學。迷思2.國中數學都學不好，高中數學沒救了。迷思3.數學學不好就是因為演算題目不夠。迷思4.多背點公式就能解出題目了。迷思5.多學點特殊技巧就可以解出難題。迷思6.懂不懂沒關係，反正我會做題目就好。迷思7.我懂這是什麼，只是我說不出來。迷思8.數學考不好，趕快去補習就可以了。迷思9.數學考不好，趕快請家教就可以了。迷思10.數學學不好，因為我的頭腦不好。迷思11.多看幾遍自然就懂了。第二章數學的特性與學習1.學習數學的歷程──一張藍圖2.數學是理解的科目3.數學題目可以分成三種層級4.數學是絕對精確的5.數學需要不斷的思考6.數學題目非常多又非常相似7.數學的內容是環環相扣，累積起來的8.數學是有趣的9.只要方法正確，毎個人都能學好高中數學第三章正確學習數學的方法1.新學一個定義1-1數學化的定義1-2深入了解一個定義1-3數學化定義也可能有很多種1-4直觀的定義與數學化的定義交互使用1-5定義有主要部分與附帶條件1-6類似定義的數學式2.新學一個公式或定理2-1哪些公式要背？2-2深入了解一個定理2-3實例說明3.如何去記一個公式或定理3-1多半公式不需要死背3-2算熟了就自然記下來3-3用特例去推廣公式3-4用性質或特例去記公式3-5可以互推的公式只記一個3-6類似公式一起背3-7用一個公式去推其他公式3-8只記公式的關鍵3-9用圖形記公式4.注意等價的關係5.基本的解題策略5-1什麼是解題策略？5-2條件與求解（或求證）數學化5-3找尋條件與求解的關係5-4化簡的方向5-5假設未知數，再列方程式解之5-6條件式可以用來消去變數5-7題目屬於哪個範疇？有什麼公式可用？5-8可否代換成簡單的型態？5-9運用解題策略6.熟練基本練習運算──百分之百的理解7.理解標準題──提升理解的層次7-1這個題目怎麼做？7-2為什麼這樣做是對的？7-3為什麼會想到要這樣做？7-4這一類的問題該怎麼做？7-5多幾個例子7-6學會深入思考問題8.學完一個段落──構築解題策略8-1小範圍的解題策略8-2解題策略實例1：餘弦定理8-3中範圍的解題策略8-4解題策略實例2：餘式定理8-5解題策略實例3：進一步的三角問題8-6大範圍的解題策略8-7解題策略實例4：指數問題8-8解題策略實例5：比大小問題8-9解題策略實例6：算幾不等式8-10要建立自己的解題策略9.學習解思考題9-1解題思考的過程9-2解思考題的實例9-3解完思考題之後9-4有很多不同的解法10.考試作答技巧10-1看題目時慢一點、仔細一點10-2做完一題後，立刻重新看一遍題目10-3用代入特殊數值得答案10-4能不能猜答案？10-5隨時記得驗算10-6作答卷寫清楚10-7其他該注意事項11.如何避免粗心錯？11-1純粹的粗心錯11-2不精確的粗心錯11-3不專心的粗心錯第四章解決數學學習的問題1.我的孩子在學校上數學課都聽不懂，怎麼辦？2.我的孩子上課都聽懂了，可是考試都不理想，怎麼辦？3.我的孩子小考都還不錯，可是段考就不太理想，怎麼辦？4.我的孩子總是容易粗心錯，怎麼辦？5.我的孩子記性不好，公式總是背不起來，怎麼辦？6.我的孩子各科都很好，只有數學差，怎麼辦？7.我的孩子每次打開數學課本就發呆，怎麼辦？8.資優生也可能會有問題附錄簡易邏輯──數學的規則

前言第一章打破數學學習的迷思迷思1.國中數學是這樣學的，高中數學也應該這樣學。迷思2.國中數學都學不好，高中數學沒救了。迷思3.數學學不好就是因為演算題目不夠。迷思4.多背點公式就能解出題目了。迷思5.多學點特殊技巧就可以解出難題。迷思6.懂不懂沒關係，反正我會做題目就好。迷思7.我懂這是什麼，只是我說不出來。迷思8.數學考不好，趕快去補習就可以了。迷思9.數學考不好，趕快請家教就可以了。迷思10.數學學不好，因為我的頭腦不好。迷思11.多看幾遍自然就懂了。第二章數學的特性與學習1.學習數學的歷程──一張藍圖2.數學是理解...