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推薦序

分享有關黎曼猜想的動人故事

洪萬生（臺灣數學史教育學會榮譽理事長、臺灣師範大學數學系退休教授）

 

多年前，我閱讀本書2003年版的中譯簡體字版（書名《素數的音樂》），留下深刻的印象，儘管該版有些微的數學校對瑕疵。後來，還有幸觀賞本書作者馬庫斯．杜．索托伊（Marcus du Sautoy）為英國BBC製作主播的《數學的故事》（The Story of Maths），發現他始終盡其所能現身說法，進入「歷史現場」（譬如，從埃及的金字塔到中國的長城等等），述說數學的故事，從而熱情分享數學知識活動的價值與意義。

現在，在二十年之後，索托伊從臺灣讀者熟知的科普大師理查．道金斯（Richard Dawkins）手中，接下西蒙義公眾理解科學講座教授（Simonyi Professorship of the Public Understanding of Science）職位。這或許也可以解釋本書2023年版（「20週年紀念版」）的問世，的確充分見證了英國數學界如何利用民間資源，以促成前沿數學的公眾理解。事實上，莎拉．哈特（Sarah Hart）的經歷也不遑多讓。她的《從前從前有個質數》（中譯本貓頭鷹出版）也志在數學普及，那是她榮任格雷沙姆幾何學講座（Gresham Chair of Geometry, 任期2020-2022）的職責所在。那個科普講座創立於西元1597年都鐸王朝，是英國史上最古老的公民講座。

本書《質數的音樂》的「前沿數學」（frontier of mathematics）主題，是指涉及質數分布的「黎曼猜想」（Riemann Hypothesis，書中翻譯成「黎曼假設」）。此一猜想由黎曼（Riemann）於1859年提出，他猜測 ζ函數（ζ(s) = 1 + 1/2s + 1/3s + 1/4s + ...，s = a + bi是複數）的「非平凡零點」（non-trivial zero）之實部都等於1/2。令人驚訝的是，出自黎曼十頁論文的這個函數，與質數有著極為深刻的聯繫。當ζ函數的變數從實數擴展到複平面時，它的行為與質數的分布密切相關。

如果此一猜想被證明為真，那麼，正如本書所提及的，這必將為質數的分布以及許多其他領域（甚至包括量子力學），提供深刻的洞見。不過，儘管許多傑出的數學家們努力了150多年，但黎曼猜想至今仍然未被攻克。它被認為是數學中最重要、尚未解決的問題之一。

不過，此一猜想的「源頭」卻可以回溯（連結）到西元前四世紀的歐幾里得（Euclid）。他的《幾何原本》命題IX.20就是運用簡單、但深刻的進路，告訴我們：「任置若干質數，質數必不盡於此。」（Prime numbers are more than any assigned multitude of prime numbers）。這個版本當然相當於「質數個數有無窮多個」。儘管後者是索托伊的解說版本，但他所訴諸的論證，卻是取自歐幾里得的經典手法。「歐幾里得不清楚如何具體產生出質數，但能證明為什麼質數取之不竭，用之不盡。」事實上，歐幾里得僅僅指出：「給他任何一個包含有限個質數的數列，他就可以製造出不在這個數列中的質數所產生的正整數。」

後來的故事，幾乎是由哥廷根大學的師徒高斯（Gauss）及黎曼所主導。譬如，根據本書第4章所進一步說明的「從隨機的質數到井然有序的零點」，黎曼的偉大洞識，顯然為數學家的追尋知識模式乃至結構關聯，重建了信心。不過，傑出數學家對於此一猜想的解決倒是頗為樂觀。以哥廷根的希爾伯特（Hilbert）為例，他在西元1919年公開演講時，提及他相信有生之年，可以樂觀期待黎曼猜想獲得解決，同時，或許這場演講廳的年輕聽講者，也會看到費馬最後定理的解。現在，後者已經解決（西元1994年，英國數學家懷爾斯〔Andrew Wiles〕成功證明此一命題），至於黎曼猜想呢，看起來希爾伯特大師預測失準了。

儘管如此，索托伊在本書中，為追尋質數分布的數學家所羅列的「英雄榜」，氣勢磅礡，相當令人動容。其中，除了數學界的強棒接力賽之外，更是涉及質數的密碼用途，計算機的使用，乃至於有序的「ζ函數零點」及「量子混沌」之連結。至於索托伊將拉馬努金（Ramanujan）這位「數學奇人」的數學知識活動風貌，單獨成立一章（本書第6章）敘事，或許意在凸顯數學知識活動的多元面向吧。

由於黎曼ζ函數在解析數論（analytic number theory）等學科中，扮演樞紐的角色，因此，本書憑藉解析數論來敘說黎曼猜想的故事，尤其是如何發現模式來規範質數的分布，的確是絕佳的切入點。此外，在本書中，索托伊戮力證明：「數論、幾何學、邏輯、機率論、量子物理學 …… 都在我們尋找黎曼假設的過程中彼此連結在一起」。因此，這場追尋之旅讓我們得以運用全新的視角理解數學。「我們驚嘆於數學非凡的相互連結。數學已經從『模式的科學』轉變成『關聯的科學』。」

總之，本書以其內容多元紮實，敘事流暢，乃至於論述全面，非常值得我們大力推薦。作者索托伊是一位絕佳的「數學說書人」，尤其他從容出入相關的數學中心（從哥廷根、巴黎到普林斯頓等等）的歷史脈絡，讓數學知識活動的豐富面貌，有了更加真實的依托。至於質數之音樂面向，以及黎曼猜想所促成的數學與物理的再度連結，由於篇幅所限，只好暫時從略了。
 

序言

「時值初夏。森林一片寧靜。寂然無聲。細尖的振動聲響漸漸堆疊，化作一整片持續不散的唧唧聲。喧囂愈來愈響亮，逼得人幾乎無法思考。數百萬隻蟬同時奮翅，凱旋般地飛進空中，宛如一朵雲騰空而起，然後轉向，湧向周圍的鄉村。牠們等待這一刻已經等了17年。一個質數。只能被自己和1整除。這個數，這個深深烙印在自然界中的質數，是牠們的生存關鍵。每隔13或17年出土一次，以智慧勝過天敵，讓自己的生存機會提高到最大。如果牠們每10年出土一次，就會成為生命週期1年、2年、5年或10年的天敵的獵物。要是牠們每12年出現一次，就會是生命週期為1、2、3、4、6或12年的任何一種掠食者的美味大餐。17年呢？只有1和17⋯⋯」

我不確定馬庫斯‧杜‧索托伊是不是這麼說的，但意思大致是如此。他站在北倫敦的一間排練室裡，我們的目光都落在他身上，演員，舞臺設計，戲場創作者都在場。我邀請他加入，跟我們一起創作《消失的數字》（A Disappearing Number），一部關於數學，也關於失去的作品，戲中包含了哈代和拉馬努金之間不平凡的謎樣浪漫故事。我們聽得目瞪口呆。

「我的老天，這些鬼蟬怎麼會懂什麼質數啦？」

「就是說嘛，怎麼可能?!太可笑了⋯⋯」

馬庫斯大笑起來，把頭歪向一邊⋯⋯「大概是天擇的結果吧，但確實是謎團。」

馬庫斯喜歡神祕的事物，還有故事，也愛看戲，所以他才答應來到我們的排練室。現在我在我們位於英格蘭西部偏僻山谷旁的小屋，邊寫邊回想起這段往事。我望著窗外，花園盡頭有一棵優雅的老梣樹，枝繁葉茂，我們給了她性別。她的枝椏形態令人迷惑，非常神祕。我和女兒一遍又一遍把她畫下來，每次都會畫出不同的輪廓，然後嘲笑這個想把她的神祕樣態描摹下來的不可能任務。但她有形貌，而且也能預測。我們靠她衡量自己。夏天我們坐在她的樹蔭下，此時正值冬天，從她的光禿枝幹間看得到後方的山谷深處。她的自信，她的存在，還有她拒絕吐露祕密的姿態，令人覺得很療癒。

馬庫斯多年前在排練室裡告訴我們：「在中國，數字有性別之分——對他們來說，數字有不同的性格。他們認為質數很陽剛，或許是因為質數不能再拆解，只能做他們自己⋯⋯」

「那是什麼時候的事？」

「噢，大概是公元前1000年左右。」

身為劇場創作者、說故事的人，我們不但要想辦法講出兩位數學奇才的生平，還想看看數學本身能不能找到戲劇形式。那些定理、證明和概念，有沒有可能成為⋯⋯一則故事，一段敘事？為了找出答案，我們即興表演出方程式。我們在空間裡甩動身體，彼此盤問，去想像我們在做的動作代表什麼數字。馬庫斯站在一旁，全神貫注，充滿好奇，而且不斷拋出建議和質問，所以我們能夠接觸到廣博、豐富的知識寶庫。就像這本書。《質數的音樂》。

我在學校裡和數學的關係，讓我的心得跟哲學家狄德羅的結論一樣。18世紀時，狄德羅曾在聖彼得堡遇見大數學家歐拉。據傳狄德羅曾說數學「在人與自然之間拉起一層面紗」。我年少時覺得，數學不但很難懂，還似乎把我和自己熟悉的實體世界隔開了。但三十年後，我站在一個房間裡，試著和一個我大半輩子完全不會去碰的主題建立關係。為了準備這齣戲，我買了《質數的音樂》，懷著忐忑不安的心情翻開書，目光落在一個數學公式上，我立刻陷入驚慌，就像小時候在數學課看到公式的那種驚慌感。

但我一開始往下讀，就像被帶入一片故事森林，林間的灌木叢和腐葉土彷彿都是歷史上和史前時期的人物和事件。到處是謎團，還有新發現。例如在赤道非洲中部挖掘到、至少有6,500年歷史的伊尚戈骨，上面的刻痕數竟是10到20之間所有的質數：先是11條刻痕，再來是13條，接著是17和19。為什麼？令人費解。刻下那些刻痕的數學家，究竟知道了什麼？

在排練室裡，飾演哈代的演員念出這些話，哈代的這些話出自他在1940年、步入晚年時所寫的《一個數學家的辯白》。演員穿著打板球的白色球衣。板球和球賽的得分、統計紀錄與戰術，是哈代非常著迷的東西。我們都想扮演他。充滿冷幽默，才氣過人，壓抑的欲望；魅力十足的一號人物。就像馬庫斯在描述這段尋找這些偉大質數「模式」的歷程時，為我們勾勒出的那些人物一樣。比方說熱情洋溢、幽默風趣的義大利數學家邦比耶里，他在愚人節那天針對解開這個謎團所開的玩笑，正是這本書的開場白。古怪的高斯、好爭論的哥德爾、埃拉托斯特尼和他的篩子、不按牌理出牌的費曼、歐拉、李托伍德、拉馬努金、凱薩琳大帝、16歲的莎拉．夫蘭納里、為了獲得認真對待而不得不女扮男裝的熱爾曼⋯⋯馬庫斯以簡練靈活的方式介紹了每個人物，描繪出他們的特質。他讓他們躍然紙上，就像我女兒用炭筆勾勒出我家花園盡頭那棵老梣樹難以捉摸的枝幹形態一樣熟練。

《質數的音樂》當中帶有一種殷勤好客的氣息。我們受邀進入一片陌生的複雜數學領域，但很快就感到賓至如歸。每一個數學概念即使以完整的形式呈現，你也不必理解它的深層意義。你會自然而然地接受這些概念存在，有形形色色的人物陪伴在你身邊，有男有女，有生者也有逝者，他們和我們所有人一樣，都在追尋世界裡的意義模式。像希爾伯特這樣的尋覓者，在20世紀之初提出了一組數學問題，「作為在這個新世紀裡要解決的挑戰」。許多問題在隨後幾年解決了，但其中一個問題是黎曼假設，一個關於質數出現頻率和模式的假設。問題要問的是⋯⋯能不能證明？

在尋找質數出現模式的證明時，其他的問題浮現了。為什麼它們會落在一條「音樂線」上？這條線可以幫我們看出模式嗎？或者（這只是我的幻想）它是某種聽得見而非看得到的東西？這個問題依然懸而未決，而這就是那個故事。那個道出了一群最偉大的數學家獻身解決一個始終不肯吐露祕密的問題的故事。

哈代在《一個數學家的辯白》的開頭寫道：「對於職業數學家來說，發覺自己動筆談論數學，是一種令人傷感的經驗。數學家的職責是做出進展，證明出新的定理，做出數學貢獻，而不是談論他自己或其他數學家做過了什麼。」

但這本精采的書讓我們看到，事情未必如此。它不單單是在記述不斷追尋某個定理的證明的努力，儘管這種追尋會像火車一樣推著我們前進。不只如此，它也是個值得造訪的地方，涵蓋內容豐富多彩，描繪生動清晰，讓你能夠看到數學現實與真實世界密不可分的關係。它就在我們周圍，無所不在。它讓我撕下想像中隔在自然與數學之間的「面紗」，協助我開始理解哈代闡述的觀點，包括「數學家如同畫家或詩人，是模式的創造者⋯⋯」，而了解數學真理的唯一最終標準是它的美：「醜陋的數學在世界上沒有容身之地。」質數之謎及質數的出現模式，至今仍難以破解，這反倒是很療癒的一件事。就像花園盡頭的那棵梣樹一樣，我們永遠沒辦法完全理解它，它像質數一樣站在那裡，展現出難以理解的美；而馬庫斯．杜．索托伊憑著一股不可抗拒、極具感染力的熱情揭露這一點，喚起的不是憂鬱，而是喜悅、驚嘆和純然的快樂。
賽門．麥克伯尼（Simon McBurney）
2023年1月於英國格洛斯特郡史拉村（Slad）