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第六章　費布納西的花朵，碎形的莖枝

莖幹上小花或葉子的規則排列所產生的美麗結構，長久以來一直是人們讚美、想進一步探知的東西；即使所觀察到、認識到的可能排列數目不多，這些結構的特徵仍然激起了我們的好奇心。

——湯普生，《論生長與形態》，第十四章

偶爾觀察一下植物王國，你就會清楚看到生命的第二個祕密，比在其他任何地方都來得明顯——到處都可以找得到數學模式：在對稱排列的花瓣裡，在沿著莖幹上下疊置的葉子裡，在某些植物的圓形種子和某些植物的尖形種子裡，以及在其他一些隨風飄散的種子的小小降落傘狀物裡。

就連在樹木不規則的幾何外形裡，也隱藏著令人難以捉摸的模式，這模式是一種自我參照的幾何原理，而在這樣的幾何架構下，樹木的些許小部分會與整體形貌有著不可思議的相似之處——正因為非常相似，所以建構模型的人可以用樹枝代表縮小的樹木。植物世界已經向物理學借用了這樣的結構，甚至現在仍然以近乎原來的形式使用這些結構。

不過，植物的其他特徵則因演化而與原始物理學愈離愈遠。植物的數學原理（如果有的話），一直隱藏在演化的層層修補中。有某些花朵會模仿雌蠅，是為了騙雄蠅前來做親密的接觸，以便傳播花粉；這種植物與昆蟲交互作用的演化，時間已經長達數億年之久。

在瞭解那些塑造植物的力量的同時，一定也要區別出哪些是演化形成的，哪些是物理免費提供的，一定要解開數學的一般限制與有彈性的遺傳指令之間的糾結。

科學家在很早以前就知道植物具有數學性。湯普生清楚看到植物世界裡的奇特數術，為植物生長的生物學帶來重要的影響。

多虧有當代動力學的研究成果，我們現在才對這種生物學所涉及的知識，有了相當清楚的概念。湯普生觀察到，植物王國對某些數字及螺線幾何結構有奇特的偏好，而這些數字又與幾何結構極有關聯；他的這項觀察，遵循了一個建構完整的傳統，這個傳統據他的推測，可追溯至達文西（L. da Vinci, 1452-1519）的時代，甚至更可遠推至古埃及。

我們已經注意到，植物（如花瓣、萼片及其他各種外貌）裡出現的數目，常取自費布納西數列：1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89……，在這個數列中，每一個數都是其前兩個數的和。如有例外，多半會是下列兩種情形當中的一種：一、這些數成對出現，這種把戲可能是由植物染色體的某些獨特性變出來的，但仍然屬於費布納西模式；二、所謂的「異常數列」1, 3, 4, 7, 11, 18, 29，這個數列也是按照與費布納西數列相同的加法模式，只不過開始的數字不同。

針對植物的幾何與數目模式所做的研究稱為「葉序」（phyllotaxis），這類研究的歷史和文獻可列出一大串。在十八世紀中葉，就有兩位科學家研究過冷杉毬果裡的螺線，這兩位數學家分別是龐內（Charles Bonnet, 1720-1793）及卡蘭德利尼（G. L. Calandrini）。

後來約在一八三七年，晶體學先驅布拉菲兄弟（Auguste and Louis Bravais，前者研究「發散角」）對葉序理論做出了很大的貢獻，他們在生長中的植物身上發現了最顯著的單一規則性，也就是植物幾何學中普遍存在的一種特別角度，這部分我們在後面會談到。

一八七二年，沈迷於數學奇特事物的蘇格蘭數學家泰特（Peter G. Tait），利用晶格的幾何結構（亦即平行四邊形不斷重複的模式），證明出每當某個螺線系統一出現，我們一定也會看到其他相關的螺線。這就是為什麼我們會在相鄰的種子中看到兩組螺線，而這兩個螺線，都與相鄰的費布納西數有關，也都與模式的真正來源有非常大的差別。但上述這些人的研究僅只是敘述罷了——只是整理出排列的幾何結構，但沒有解釋這些數目與植物的生長究竟有何關聯。

費布納西數術之謎

為了解釋植物的費布納西數術，人們已經花了三百多年努力尋找答案。終於，這個目標好像已經達成了：一九九二年，庫德（Yves Couder）與鐸狄（Stephane Douady）這兩位法國數學家，將費布納西數術追溯到植物發展所碰到的自然動力學限制條件，總算對這個幾世紀以來的研究做了總結。

庫德與鐸狄的研究成果（也就是本章所要討論的主題），證明了植物裡明顯的數學模式，的確來自物理世界通用的定律，這些模式不只是演化所強化的遺傳偶發事故。然而就像其他所有的事物一樣，物理定律必須與植物的基因密切合作，因為如果沒有基因，當初就不會生長出任何植物了。

費布納西的兔子謎題隱含了更進一步的訊息。重要的不只是數字；這些數字產生的方式也關係重大。分支結構（可以說是兔子的家族樹）擁有令人驚嘆的數學理論，而費布納西數是看得見的一點端倪。用上述同樣的結構不僅能說明植物的數術，還可以闡釋植物的整個形態——也包括植物分枝的方式。如今我們可以（在電腦模擬中）運用數學規則，來「種」出逼真的草、花、灌木叢和樹木，而那些規則很有可能就是說明植物如何自我生長的精髓所在。

我們先來談數術（numerology）。要瞭解費布納西數出現在植物中的狀況，最好的方法其實不是把重心放在這些數的四則運算上。就某種意義而言，這些數的相加模式是一種巧合，是費布納西數術的數學結果，但不是其重要依據。探討這問題最好的方法，就是來看看植物幾何學。

要看植物中的模式，最好的起點之一就是從湯普生的這個例子開始看起：向日葵的排列方式。在此我們會看到相當驚人的數學模式。

向日葵的花呈現出兩組螺線，一組是順時鐘旋轉，另一組則是逆時鐘，兩者好像可以互相套合。在這個例子中，有34條像車輪輻條但呈彎曲狀的順時鐘螺線，並有55條逆時鐘方向的螺線，這兩個數目並不相同，但都是費布納西數——而且在數列中的位置是相鄰的。確實的數目要視向日葵的種類而定，不過我們通常看到的是「34及55」一組，或「55及89」一組，甚至有的是「89及144」一組。

雛菊也有類似的模式，但是比較小。鳳梨有8排向左傾斜的鱗片（也就是那些呈菱形的小片），另有13排向右傾斜。挪威雲杉（Norway spruce）的毬果有5排鱗片向一個方向，另有3排向另一個方向；而一般常見的落葉松（另一種針葉樹）的數目為8及5；美國落葉松是5及3。

如果遺傳學可以讓花朵自己挑選喜歡的花瓣數目，或者松樹毬果可以挑選想要的鱗片數目，那為什麼費布納西數會占上風？看起來這些數目很有可能是來自某種更深層的數學機制（譬如植物發育所受到的動力學限制條件），而現存的證據支持了這個觀點。

植物的存在是以種子和一枝嫩芽來做為開始，種子發芽後，很多細根會長出來，並且向地底下生長，而嫩芽則是迎向陽光，向上生長。成熟植物的所有奇特數術，原本都已經存在了，雖然在那早期的嫩芽裡是肉眼看不到的；它是在植物剛冒出新芽、新細胞即將出現時，由許多動力學條件創造出來的。當新細胞想盡辦法各就各位時，就已經排列好要形成費布納西螺線了。

如果用顯微鏡觀察新芽的頂端，你可以看到所有主要徵貌發展過程的一點一滴——包括葉子、花瓣、萼片、小花（floret）等等。在頂端的中心，有一個圓形區域的組織稱為「頂尖」（apex）；而在頂尖的周圍，則有微小隆起物一個接一個的形成，這些隆起則稱為「原基」（primordium）。

每一個原基自頂尖移開（更精確的說應該是：頂尖從隆起處向外生長，而把隆起留在原地），最後，這些隆起會長成葉子、萼片之類的東西。還有，那些外貌的一般排列，是在原基開始形成時就安置好了的，所以問題的癥結，是在解釋為什麼你在原基中看到螺線的形狀及費布納西數，因為植物各式各樣的費布納西特徵，全都是這種基本幾何結構的簡單結果。

第一步是要體認，雖然螺線能夠明顯到讓人一眼看出（植物學家稱之為「斜列線」，parastichy），但那並不是植物頂端實際生長模式的直接表徵；就某種程度而言，這些螺線只是錯覺。

最重要的螺線，是依照原基出現的次序來考量而形成的。由於較早產生的原基移開得較遠，所以你可以從它與頂尖之間的距離，來推斷出現的先後次序。結果發現，原基與原基隔得相當開，並排成一條捲繞得非常緊的螺線——稱為「生成螺線」（generative spiral）。人的眼睛之所以能分辨出斜列線（費布納西螺線），是因為斜列線是由相鄰的原基所形成，但生成螺線才是建立數學模式的真正功臣。

從生成螺線到黃金角

布拉菲兄弟的偉大貢獻，在於發現原基沿生成螺線呈間隔排列的基礎數學規則。他們量測相鄰兩原基之間的角度，首先發現量得的各個角度非常相近；而這些角的共同值就稱為「發散角」（divergence angle）。

他們的第二個發現，徹底說明了發散角的性質：發散角往往非常接近137.5度。為了充分瞭解這個數字的數學重要性，我們取費布納西數列的相鄰數目來檢驗一下，譬如34與55：我們先化成對應的分數34/55，然後乘以360度，得到的結果約為222.5度。現在，我們可以量這個角的內角或外角；因為222.5度大於180度，所以要用360度來減掉，就得到「137.5度」這個神祕數。

我們可以證明，當數字愈來愈大時，費布納西數列中相鄰兩數的比率會愈來愈接近0.6182。像剛才所舉的34/55 = 0.6182，就已經很接近這個值了。精確的極限值為(√5﹣1)/2，也就是所謂的「黃金數」（golden number），通常用希臘字母φ（讀作phi）表示。因此我們稱137.5度為「黃金角」（golden angle）；更準確的值則為137.50776度。

布拉菲兄弟發現黃金角是自然界偏好的數值，但是他們並沒有找出為什麼。毫無疑問的，黃金角是自然界所使用的奇特數字，因此這其中一定有很好的理由。

一九○七年，數學家易特生（G. Van Iterson）首度解釋了為什麼黃金角合乎物理原理——是自然的、而非偶然的結果。他在一條137.5度的緊密繞行的螺線上，先標示出相鄰各點，然後研究這些點的排列方式。他證明了我們會因為相鄰兩點的排列方式，而得到兩組交錯的螺線：一組是順時鐘旋轉，另一組是逆時鐘。又因為費布納西數與黃金數密切相關，所以兩組螺線的數目是相鄰的費布納西數。究竟是哪些費布納西數，則要看螺線的旋轉有多緊密。

易特生的理論也是純敘述性的：只顯示出排列幾何的主要模式，並沒有解釋這些模式的物理或生物成因。接著在一九七九年，數學家伏格（H. Vogel）進一步研究了模式的成因。

伏格用相同的圓點來代表向日葵的原基，然後要找出是什麼間隔規則（假設發散角不變），會使這些圓點盡可能緊密地排在一起。他的電腦實驗顯示，當發散角小於137.5度，花的裡面就會出現空隙，而你也只會看到一組螺線；同樣的，如果發散角超過137.5度，花裡面也會出現空隙，但是這次你看到的是另一組螺線。因此，如果要使排列沒有空隙，黃金角就必須是137.5度這個唯一的角度，而這時，兩組螺線就會同時出現。

簡言之，要使花頭最密實、最堅固，最有效的堆排方式是讓發散角等於黃金角──這就是黃金角會這麼特別的原因，而這一切全來自有效率堆排的幾何原理。

生物學家往往刻意去慎重解釋系統的完美性質或想要的性質，卻避開解釋那個完美性質從何而來。舉例來說，「鳥有翅膀是為了要飛翔」，這說法並不是在解釋翅膀，因為它沒有告訴我們翅膀是如何演化出來的，甚至沒告知翅膀是否可以演化。這個說法只是表示：如果翅膀可以演化，「翅膀」就會是個好點子。

演化並不會因為某個徵貌是不錯的點子，就選擇這個徵貌來做為進行的對象；一定有某種合理的演化進行方式。有效堆排就是一種適切的解釋，這方式顯然有助於產生強壯而堅實的植物。不過，雖然希望能做到有效堆排，但這種心願並不保證一定會存在一種使有效堆排發生的機制。

很幸運的，鐸狄和庫德所發現的正好是這種機制。他們所得到的黃金角，正是動力學的一項明顯結果，而不是直接把黃金角假設成有效堆排的根據。

他們的第一步，是假設有某種連續出現的元素（代表原基），在相等的時間間隔下，在一小圓圈（代表頂尖）的邊緣某處形成；並假設這些元素接著就直接向外移動。此外他們還假設每一元素會互相排拒，就像相同的電荷或極性相同的磁極。這種排斥力能使這些元素一直向外移，而每一新元素出現時，會盡可能遠離它的前者。換句話說，每個新的原基會在最大的間隔處迸出來。

這種系統相信可以滿足伏格的有效堆排的準則（因為如果你持續將最大間隔處填滿，那麼剩下的將只有小空隙），因此，我們所預期的黃金角就會自動出現——事實上也是如此，就像鐸狄和庫德利用物理的類比所證明的：將盛裝矽酮油的圓盤放進垂直磁場中。

他們使微小的磁性流體，在一定的時間間隔下滴落在圓盤中心。油滴被磁場極化，然後就會相斥；當他們使圓盤邊緣的磁場大於圓盤中間的磁場之後，油滴在徑向就會受到一股推力。顯現出來的模式與兩油滴之間的間隔大小有關，但是很普遍的一種模式是：連續的油滴會落在一螺線上，且發散角很接近137.5度（即黃金角），就如向日葵的交錯螺線模式。他們也進行了許多電腦計算，得到很類似的結果。

為了證實這個結果，昆茲（M. Kunz）在一九九○年代中期對鐸狄與庫德的動力學圖像做了一個完整的數學證明。這兩位法國數學家根據很顯著的幾何分歧圖（一種波動曲線的分歧模式），發現發散角與油滴滴下的間隔有關。曲線中相鄰扭動之間的每一段都相當於特定的一組螺線數目。主要的分歧出現在發散角很近於137.5度的地方，沿著分歧，你可以發現螺線的排列是利用相鄰兩費布納西數所有可能的配對。分歧之間的間隔，代表分歧的動力學有很大的改變。

不過，也有發散角不接近137.5度的分歧。這並不是鐸狄—庫德學說的缺陷，而是長處。值得注意的是，主要的例外分歧相當於異常數列3, 4, 7, 11, 18……，也就是存在於植物王國本身的費布納西數術的主要例外。所以在適當的油滴時間下，相同的模型會對費布納西規則產生主要的例外，也會產生於費布納西規則本身——當我們很清楚某些例外根本不是例外時，這就證明了為什麼這些例外會發生。

模式是必然的結果

當然，沒有人認為植物學像這個模型一樣，具有完美的數學性。特別是，很多植物的原基出現的速率有可能加速或減慢，而形態及結構上的改變（比方說某個已知的原基是長成葉子還是花瓣），往往會伴隨這類變異而來。植物基因所扮演的角色，有可能影響原基迸發出來的時間嗎？基因當然不需要告訴原基如何把自己間隔開來——這是由動力學來操縱的。

植物的生長是一種結合了物理學與遺傳學的合作結果，所以兩者都需要，你才能瞭解植物的生長情形。把這謎團拼圖的最後一塊擺上去之後，植物的驚人數學模式就揭曉了，你會發現這個模式是植物生長動力學的必然結果，因此受到嚴格數學定律的規範。

如果在一個存活著截然不同生命（其遺傳原理不是根據DNA）的遙遠世界裡，也出現了像植物這樣的生命體，也以常見的同樣方式生長，那麼那些生命體也會呈現出費布納西數術。費布納西數不是意外發生的事件；這些數是普適的幾何原理的結果，是植物結構的晶體學。事實上，植物沒有辦法避開費布納西數，就像食鹽晶體不能不是立方體。

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