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第一章 帽子問題
帽子問題又稱帽子顏色問題，是非常經典又有趣的邏輯題之一。
下面舉例一個典型的問題及答案。
有3頂紅帽子和2頂白帽子。將其中3頂給排成一列縱隊的3個人，每人戴上1頂，每個人都只能看到自己前面的人的帽子，看不到自己和後面的人的帽子。同時，3個人也不知道剩下的2頂帽子的顏色（但都知道他們3個人戴的帽子是從3頂紅帽子、2頂白帽子中取出的）。
這時，有人分別問這3個人是否知道自己所戴的帽子的顏色。先問了站在最後面的人，他說不知道。接著又讓中間的人說出自己戴的帽子的顏色，這個人雖然聽到了後面那個人的回答，但仍然說不出自己戴的是什麼顏色的帽子。聽了他們兩人的回答後，最前面的人一下子便答出了自己帽子的顏色。
請問最後回答的人是怎麼知道自己的帽子顏色呢？他的帽子又是什麼顏色的呢？
答案：首先假設從前到後的3個人分別為甲、乙、丙。丙看了甲、乙戴的帽子說不知道，說明甲、乙不可能都戴了白帽子，因為只有2頂白帽子，如果甲、乙都戴了白帽子，丙一定知道自己戴了紅帽子。同理，乙又說不知道，說明甲戴的不是白帽子，因為乙根據丙的回答和甲戴的帽子，無法判斷出自己戴的是那種帽子，如果甲戴的是白帽子，那麼他肯定知道自己戴的是紅帽子。如此一來，甲戴的肯定是紅帽子，因此，甲經過邏輯推理就知道自己戴的是紅帽子。
類似這種猜帽子顏色的問題還有很多，都是由此擴展出來的。此類問題可以很好地鍛鍊我們的邏輯思考能力，尤其是對資訊及時彙集與整理的能力，這在我們的思考過程中是非常重要的。此類問題的解題關鍵在於弄清楚別人是如何想這類問題的，並懂得如果別人回答不知道時能推導出哪些結論等等。
以上問題可以推廣成以下的形式。
「有許多顏色的帽子，每種顏色的都有好幾頂。假設有多個人從前到後站成一排，讓他們每個人戴一頂帽子。每個人都看得見在他前面的所有人所戴的帽子的顏色，卻看不見他自己和後面的任何人戴的帽子的顏色。現在從最後的那個人開始，問他是不是知道自己所戴的帽子的顏色，如果他回答不知道，就繼續問他前面的那個人。一直往前問，那麼就一定有一個人會知道自己所戴帽子的顏色。」
若想使該題目有解答，還要滿足以下這些特定的條件。
（1）帽子的總數一定要大於人數，否則帽子會不夠戴。當然，數字也要設置得合理，帽子比人數多得太多，或者隊伍裡只有一個人，那他是不可能可以說出自己所戴的帽子的顏色的。
（2）一共有多少種顏色的帽子，每種顏色有多少頂，共有多少人，這些基本資訊是隊伍中所有人都要事先知道的。
（3）剩下的沒人戴的帽子都要被藏起來，隊伍裡的人誰也不知道剩下了哪些顏色的帽子。
（4）他們的視力都很好，能看到前方所有人，也不存在被誰擋住的問題。而且所有人都不是色盲，可以清楚地分辨顏色。
（5）不能作弊，後面的人不能跟前面的人說悄悄話或打暗號。
（6）他們每個人都很聰明，邏輯推理能力都是好的。只要理論上根據邏輯可以推導出結論，他們就一定能夠推理出來。相反的，如果他們推理不出自己頭上帽子的顏色，需要誠實地回答「不知道」，絕不會亂說，或是試圖去猜。
舉一個例子：假設現在有n頂黑帽子，n－1頂白帽子，n個人（n＞0）。
排好隊伍並戴好帽子之後，問排在隊伍最後面的人頭上的帽子是什麼顏色時，在什麼情況下他會回答「知道」？很顯然，當他前面的所有人（n－1人）都戴著白帽子的時候，因為n－1頂白帽子都用完了，自己就只會是戴著黑帽子。只要前面至少有一個人戴著黑帽子，他就無法知道自己頭上帽子的顏色。
現在假設最後一個人回答「不知道」，那麼我們開始問倒數第二個人。根據最後一個人的回答，倒數第二個人同樣可以推理出如上的結論，即包括自己在內的前面所有人至少有一個人戴著黑帽子。如果他看到前面的人戴的都是白帽子，那麼很顯然，自己戴的必定是黑帽子；如果他看到前面仍然至少有一個人戴著黑帽子，那麼他的回答必定還是「不知道」。
這個推理過程可以一直持續下去。當某一個人（除了最前面的一個）看到前面所有人都戴著白帽子時，他的回答就應該是「知道」；如果到了第二個人依然回答「不知道」，那麼就說明第二個人看到的還是一頂黑帽子，此時最前面的人就可以知道自己戴的帽子的顏色了。
除了隊伍最前面的那一位之外，其餘每個人的推理都是建立在他後面那些人的推理之上的。當一個人斷定某種顏色的帽子一定有在隊伍中出現，而他身後的所有人都回答「不知道」，即這些人都看見了這種顏色的帽子，但他卻看不到這種顏色的帽子時，那麼一定是這個人戴著這種顏色的帽子。這就是帽子顏色問題的關鍵。
縱向擴展訓練營
001．帽子的顏色
有3頂紅帽子和2頂白帽子放在一起，將其中的3頂帽子分別戴在A、B、C3個人頭上，每個人都只能看見其他2個人頭上的帽子，但看不見自己頭上戴的帽子，而且也不知道剩餘的2頂帽子的顏色。問A：「你戴的是什麼顏色的帽子？」A回答：「不知道。」接著，又以同樣的問題問B，B想了想之後，也回答：「不知道。」最後問C，C回答：「我知道我戴的帽子是什麼顏色了。」當然，C是在聽了A、B兩人的回答之後才做出回答的。請回答C戴的是什麼顏色的帽子。
002．選擇接班人
有個商人想找一個接班人替他經商，他要求這個接班人必須十分聰明。最後選出了A、B兩個候選人，商人為了試一試他們兩個人中哪一個更聰明，就把他們帶進一間伸手不見五指的黑暗房間裡。商人邊開燈邊說：「這張桌子上有5頂帽子，2頂是紅色的，3頂是黑色的。現在，我把燈關掉，並把帽子擺的位置弄亂，然後我們3個人每人拿1頂帽子戴在頭上。當我打開電燈時，請你們盡快說出自己頭上戴的帽子是什麼顏色。誰先說出來，我就選誰當接班人。」
說完之後，商人就把燈關掉了，然後3個人都摸索著拿了一頂帽子戴在頭上；同時，商人把剩下的2頂帽子藏了起來。等這一切做完之後，商人重新打開電燈。
這時，那兩個人看到商人頭上戴的是一頂紅色的帽子。
過了一會兒，A喊道：「我戴的是黑帽子。」那麼，A是如何推理的呢？
003．猜帽子
有3頂白帽子和2頂紅帽子，有位智者讓3個聰明人分別戴上一頂，每人可以都看到其他兩個人的帽子，但是看不到自己的。當智者讓大家說出自己戴的是什麼顏色的帽子，過了一會兒沒人說，又過了一會兒還是沒人說，這時，大家都知道自己戴的是什麼顏色的帽子了。請問這是為什麼？
004．看帽子猜顏色
有6頂帽子，其中3頂是黃色的，2頂是藍色的，1頂是紅色的。甲、乙、丙、丁4個人站成一隊。甲排在第一位，乙排在第二位，丙排在第三位，丁排在第四位。然後給4個人分別戴上帽子，每個人只能看到他前面人的帽子的顏色，而看不到自己和後面人的帽子的顏色。
此時，排在最後一位的丁先說話，他說不知道自己帽子的顏色；然後丙說話，也說不知道自己帽子的顏色；乙也說不知道自己帽子的顏色。最後甲想了想，說他知道自己帽子的顏色。
請問甲戴的帽子是什麼顏色？
005．誰被釋放了
一間牢房裡，有3個犯人關在其中。因為玻璃很厚，所以3個人只能看見彼此，而不能聽到對方說話的聲音。有一天，國王命人在他們每個人頭上都戴了一頂帽子，只讓他們知道帽子的顏色不是白的就是黑的，而不讓他們知道自己所戴的帽子是什麼顏色。在這種情況下，國王宣布了兩條規定：
（1）誰能看到其他兩個犯人戴的都是白帽子，就可以釋放他。
（2）誰知道自己戴的是黑帽子，就釋放他。
其實，他們戴的都是黑帽子，但因為被綁，看不見自己戴的帽子罷了。於是他們3個人互相盯著不說話。可是不久，較機靈的A用推理的方法，認定自己戴的是黑帽子。
請問他是怎麼推斷的？
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