第1章 財務評價之原理

　　本章介紹證券定價之基本原理。我們先檢視有關於效用與風險的問題，再介紹所有證券價格的基本決定因素：定價核心（pricing kernel）或隨機貼現因子（stochastic discount factor）。我們將簡單說明於間斷時間與連續時間下的平賭定價原理（martingale pricing principles）。隨機貼現因子與平賭定價原理的觀念可應用於衍生性商品定價，例如：選擇權的定價（option pricing）。我們看看。

1.1 不確定性、效用理論與風險

　　風險因子（risk factor）可說是財務學內最重要的觀念之一；或者說，就是風險因素，才導致財務學的內容變得異常複雜。直覺而言，金融市場與金融機構的存在就是欲控制風險因素而產生；因此，於尚未介紹財務理論之前，我們必須瞭解：何謂風險？風險的數學特徵為何？

　　通常，風險是指產生負效用（negative utility）的「不確定因素（uncertain factor）」。例如：我們會擔心是否會產生地震、火災、車禍或惡劣天氣所造成的損害。上述二個考慮因素可以構成所謂的「風險」。

　　不確定性是指事件的結果並不明朗或未知。例如：我們不是很清楚明日的天氣為何？明日股市是否會反轉？於經濟學或統計學內，我們是使用機率理論來描述不確定性，即隨機變數（random variables）觀念的引進，就是欲模型化事件之不確定性。例如：xt為表示通勤時間的隨機變數，其中下標t可視為「每日重複檢視」。若我們寫成xt∼N(30, 4)，則不僅可以計算不同通勤時間的機率，甚至於可以計算95%的估計區間。當然，上述使用常態分配未必合理，因有可能會產生負通勤時間，故可以改用對數常態（lognormal）、卡方或其他等分配取代。換言之，面對不確定性，我們並不是手足無措。

　　「我從不過問股市，明日股價為何並不感興趣」。並不是所有的不確定性皆會影響我們！因此，不確定性能表示風險，是指上述不確定性會影響我們的日常。經濟學用「效用」這個觀念來表示我們的日常。例如：

U(Ct) = log(Ct) 　　(1-1)

其中U(.)表示效用函數而Ct 表示消費。U(.)的設定必須滿足：

(1) U(.)是一個嚴格遞增函數。

(2) U(.)滿足邊際效用遞減的性質。

顯然，(1-1)式的設定方式滿足上述二個性質，其中t–1表示現在；換言之，(1-1)式表示未來t期消費的效用函數。

　　雖說不確定性會影響我們的日常水準，我們可以用一個效用函數表示，不過上述影響有可能是間接的，即當前消費不僅會影響我們，同時未來消費亦可能會影響我們的生活。消費有可能是一個隨機變數！簡單的一個設定方式是假定Ct屬於白努利（Bernoulli）隨機變數，隱含著有1/2的可能性Ct值為10，而有1/2的可能性Ct值為5。

　　Ct假定為白努利隨機變數，表示所分析的情況有「好」與「壞」二種狀態，即前者的效用為log(10)而後者則為log(5)。由於上述二狀態的機率值皆為1/2，故t期消費的預期效用為：

E[U(Ct)] = 1/2log(10)+1/2log(5) = 1.956

我們可以進一步計算t期預期消費的效用值為：

U[E(Ct)] = log(1/2．10+1/2．5) = log(7.5) = 2.015

顯然，U[E(Ct)] > E[U(Ct)]，此乃因邊際效用遞減性質所造成的結果。上述結果不難用圖形如圖1-1表示，其中A、B、C與D點分別表示「不好」狀態、「好」狀態、E[U(Ct)]與U[E(Ct)]。

　　上述例子說明了當我們面臨消費的不確定性，我們如何避險（hedging）？或者說，保險公司的存在，只是滿足實現避險的要求，即若保險公司提出將t期的消費鎖在7.5的水準，則我們願意付出多少的保險金？答案是至多0.43。

上述例子的涵義為：

(1) 若真的將t 期的消費鎖在7.5的水準，表示t期的消費是確定的，隱含著不存在風險。

(2) t期的消費存在著風險，表示t期的消費並不確定。通常，我們可以利用t期消費的標準差來計算風險，即上述標準差可為：2.5，隱含著風險的指標為2.5。

(3) 當不確定提高了，自然避險的動機亦增加了。例如：各有1/2的可能性會使得Ct值變成15與5，則不僅E(Ct)值，同時對應的標準差為：5，亦提高了，隱含著消費者願意多付出保險金以維持較高的消費水準。

第1章 財務評價之原理

　　本章介紹證券定價之基本原理。我們先檢視有關於效用與風險的問題，再介紹所有證券價格的基本決定因素：定價核心（pricing kernel）或隨機貼現因子（stochastic discount factor）。我們將簡單說明於間斷時間與連續時間下的平賭定價原理（martingale pricing principles）。隨機貼現因子與平賭定價原理的觀念可應用於衍生性商品定價，例如：選擇權的定價（option pricing）。我們看看。

1.1 不確定性、效用理論與風險

　　風險因子（risk factor）可說是財務學內最重要的觀念之一；或者說，就是風險因素，才導致...

筆者的一系列書籍應該有下列的特色：

(1) 就筆者而言，專業的學習如財務（經濟）理論、衍生性商品（含定價）、統計計量或數值方法，其實並不是那麼容易理解與學習，沒有「程式語言」的輔助，專業的學習是困難的。例如：閱讀專業書籍或文獻，我們當然無法「照單全收」，隱含著需要我們以模擬或數學證明的方式「驗證」看看，後者雖經常使用，不過若能以模擬的方式取代，反而更可以讓我們進入狀況。以往我們較少使用電腦操作，現在資訊發展已今非昔比，以電腦（或AI）取代人腦的時代已來臨。

(2) 「程式語言」是需要不斷地培養與訓練，筆者的著作有搭配完整的程式語言，就是筆者希望利用此方式，能讓筆者更能利用程式語言來思考以及熟悉程式語言的操作。換句話說，不趁簡單的時候學習，現學現用，那要何時學？財金（經）專業的程式語言當然是由我們來寫！現在是我們寫給AI看，未來將顛倒。未來AI可望成為寫程式的輔助工具，即透過AI的輔助，我們寫程式的功力可望能更上一層樓。

(3) 嚴格地說，若有搭配「完整程式語言」的書籍或文獻，讀起來其實是頗「合理的」，因為不需要煩惱有太多「不知從何而來？」的例子或情況，筆者早就想改善。

(4) 市面（或網路）上已經存在許多寫好的程式可供使用，而且此趨勢似乎愈普及化，不懂或不使用它們實在有些可惜。

　　「原來並不是我們的程度不好，是因為我們沒有先被訓練具有寫程式語言的技能（能力）」，筆者寫了一系列含完整程式語言的財金專業書籍，其實就是想驗證上面那句話。長久以來，筆者總是覺得迷惑或困惑，財金（經）專業書籍（或文獻）那麼難懂，我們應該如何學習？現在答案有可能已經明朗化了。

　　現在我們來檢視本書。本書可簡稱為《固利》。嚴格地說，「固定收益證券與利率衍生性商品」是一門既複雜、計算繁瑣而且抽象的課題。雖說如此，傳統學習上述課題，卻只需要計算機、用筆算或使用Excel即可。換句話說，若只介紹或使用傳統方法，《固利》應該不需要用電腦程式語言；不過，若單獨只介紹傳統方法，於利率多變的環境內，恐怕已不符所需了（傳統方法大多假定利率變化不大、利率曲線平行移動或利率結構是一條水平線）。

　　值得注意的是，上述課題的主角：利率，不僅變化莫測且多樣化（利率結構），其中遠期利率扮演著重要角色，同時與利率有關的衍生性商品種類繁多，以傳統方法來學習上述課題恐怕是不夠的；另一方面，若仍使用計算機或Excel計算，恐怕曠日廢時，使得我們不得不重新檢視較適當的或新的方法，只是後者必須使用電腦程式語言。如前所述，市面（或網路）上已經存在有許多寫好的程式語言可供使用，不過若無基本的「專業知識以及程式語言背景」，使用上述程式語言是有風險的，即容易產生寫錯了或計算錯了而「仍不自知」（我們應該嘗試用其他類似的方式「驗證」看看）。

　　《固利》的內容大致圍繞於下列主軸：

(1) 目前有關於學習（利率）衍生性商品的基礎為何？

(2) 利率或對應的利率衍生性商品種類繁多而且複雜；其次，不同利率之間互有關連，隱含著不同利率之間可以相互轉換。那應如何轉換？

(3) 不存在無風險套利下的利率模型。

(4) 利率衍生性商品如何定價？

(5) 隱含波動率微笑或波動率偏態曲線。

　　除了利率主角之外，《固利》的另一個主角是Black模型。雖說Black模型與BSM模型相通，而後者常常被視為開闢了當代選擇權定價模式，但是Black模型卻被業界視為於貨幣、利率、股價指數，遠期與期貨、商品或能源期貨等之歐式選擇權定價的標準模型；換句話說，真正獨占鰲頭達數十年之久竟然是Black模型！《固利》提醒我們不應忽視Black模型的重要性。

　　《固利》全書共10章，分別略述如下：第1 章簡單檢視學習當代（利率）衍生性商品（含定價）的專業知識背景，該章可為其他章節「鋪路」。為了要與HJM模型比較與銜接；或者說，最簡單易懂的選擇權定價模型，莫過於二項式選擇權定價模型，是故第2章介紹簡單的二項式選擇權定價模型以及對數常態分配的性質。第3章可視為傳統固定收益證券的介紹，其中包括殖利率的計算、bootstrapping或反轉換法技巧、利率風險、免疫與持續期間等觀念。第4章介紹遠期（利率）、FRA與利率期貨等契約，並且說明如何利用市場資訊推算出對應的隱含遠期利率。第5章介紹OTC內重要的衍生性商品：利率交換以及OISs等觀念。

　　第6∼10章的內容應該屬於《固利》的一大特色，即第6章不僅解釋瞬間遠期利率的意義，同時亦說明模型化利率結構的標準模型：NSS模型；另一方面，該章亦介紹於利率結構分析內常被使用的主成分分析法技巧。第7章說明如何利用Black模型計算歐式期貨選擇權、利率選擇權（包括債券選擇權、LIBOR選擇權、caps與floors等）以及交換選擇權價格，隱含著Black模型具有獨特且重要的角色。第8章則介紹無法套利的短期利率模型，其中包括HL、BDT以及HW模型；比較特別的是，該章亦說明如何使用HW的三項式選擇權定價模型，同時繪製出利率與債券價格的三項式樹狀圖。第9章除了使用簡單的二項式利率模型說明HJM模型的特色（即利率結構的二項式樹狀圖）之外；另外，該章亦說明如何利用修正的Black模型計算HJM之LIBOR模型內的caplet價格。最後，第10章介紹被業界廣為使用的SABR模型，該模型可用模型化隱含波動率之具有波動率微笑或波動率偏態現象。

　　老實說，《固利》所涉及到的專業門檻並不高而且筆者皆已寫好對應的程式碼可以操作，因此只要對衍生性商品有興趣的讀者，筆者當然歡迎。筆者當然儘可能降低書內的數學成分（書內只有少部分的數學證明）；也許，讀者能掌握《選模》、《財數》與《統計》的內容，應該就能克服。當然，比較麻煩的還是Python的操作，其實讀者只要先學會如何run隨書所附的程式檔案也亦無不可。類似於筆者其他著作，《固利》的內容是完全可以複製的。由於Python被使用的速度相當快以及被業界接受度愈來愈高，未來Excel的角色有可能會被Python取代，而後者有可能成為當代專業人士（含學生）必須擁有的基本技能？也許，讀者應多多練習Python的使用。

　　我們閱讀專業書籍，除了吸收書內的專業知識之外，當然也希望能複製書內的內容，進而能學習書內所提及到的內容或方法。筆者希望能拋磚引玉，吸引更多類似想法的作者加入，如此大家豈不是皆能資源共享，進步飛快嗎？感謝家人的支持，筆者才疏識淺，倉促成書，錯誤難免，望各界先進指正。最後，祝　操作順利。

林進益

寫於基隆田寮河旁

筆者的一系列書籍應該有下列的特色：

(1) 就筆者而言，專業的學習如財務（經濟）理論、衍生性商品（含定價）、統計計量或數值方法，其實並不是那麼容易理解與學習，沒有「程式語言」的輔助，專業的學習是困難的。例如：閱讀專業書籍或文獻，我們當然無法「照單全收」，隱含著需要我們以模擬或數學證明的方式「驗證」看看，後者雖經常使用，不過若能以模擬的方式取代，反而更可以讓我們進入狀況。以往我們較少使用電腦操作，現在資訊發展已今非昔比，以電腦（或AI）取代人腦的時代已來臨。

(2) 「程式語言」是需要不斷地培養與訓練，筆者的...

第1章 財務評價之原理
1.1 不確定性、效用理論與風險
1.2 平賭
1.2.1 均衡證券定價與風險
1.2.2 風險中立定價
1.2.3 資產定價的基本定理
1.2.4 完全與不完全市場
1.3 布朗運動、Itô積分與Itô lemma
1.3.1 布朗運動
1.3.2 Itô積分與平賭
1.3.3 Itô lemma
1.4 連續時間模型
1.5 平賭與測度
1.5.1 再談風險的市場價格
1.5.2 不同計價單位的選擇
第2章 二項式選擇權定價模型
2.1 二項式選擇權定價模型
2.1.1 一個簡單的例子
2.1.2 基本假定
2.1.3 單期BOPM
2.2 二期之BOPM
2.3 常態分配與對數常態分配
2.3.1 對數常態分配
2.3.2 二項式模型的分配
2.4 多期的二項式模型
2.4.1 二項式模型導出對數常態分配
2.4.2 再談等值平賭測度
第3章 固定現金流量
3.1 完全可複製
3.1.1 競爭市場
3.1.2 單一價格法則
3.1.3 隱含的零息債券價格
3.1.3.1 Bootstrapping
3.1.3.2 反轉換法
3.2 利率的種類
3.2.1 參考利率
3.2.2 無風險利率
3.3 貼現價格與市場慣例
3.3.1 利率
3.3.2 美國債券市場慣例
3.3.3 導出零息債券價格曲線
3.4 利率風險
3.4.1 債券定價之五大定理
3.4.2 持續期間
3.4.3 債券價格的凸性
3.5 不完全複製：免疫與持續期間
第4章 簡單隨機現金流量與利率期貨
4.1 遠期契約與遠期利率
4.1.1 遠期契約
4.1.2 隱含的遠期利率
4.1.3 FRA
4.1.3.1 傳統的FRA
4.1.3.2 新的FRA
4.1.3.3 市場動態與定價
4.2 國庫券期貨
4.3 歐洲美元
4.3.1 計日與報價慣例
4.3.2 歐洲美元期貨
4.4 SOFR期貨
第5章 利率交換
5.1 IRS的定價
5.1.1 遠期法
5.1.2 一個例子
5.2 OISs
5.2.1 OIS交換
5.2.2 為何需要IRS？
5.2.3 IRS之評價
5.3 推導LIBOR／交換與OISs／交換零息率
5.3.1 推導LIBOR／交換零息率
5.3.2 OISs／交換零息率
第6章 收益率曲線與利率結構
6.1 債券收益率與瞬間遠期利率
6.1.1 債券收益率
6.1.2 瞬間遠期利率
6.2 NSS模型
6.3 古典利率結構理論
6.4 主成分分析法
第7章 Black模型
7.1 期貨選擇權
7.1.1 期貨選擇權的特徵
7.1.2 使用Black模型
7.2 利率選擇權（一）
7.2.1 債券選擇權
7.2.2 二個例子
7.2.2.1 歐式遠期債券選擇權價格之計算
7.2.2.2 歐式LIBOR選擇權價格之計算
7.3 利率選擇權（二）
7.3.1 caplet與floorlet的到期收益曲線
7.3.2 利用Black模型定價
7.4 歐式交換選擇權
第8章 短期利率模型
8.1 AD證券與風險中立機率
8.1.1 AD證券
8.1.2 風險中立機率
8.1.3 利率樹狀圖的應用
8.2 短期利率模型
8.2.1 利率結構模型
8.2.2 HL模型
8.3 BDT模型
8.4 HW模型
第9章 HJM模型
9.1 基本利率衍生性商品
9.2 單期二項式之HJM模型
9.2.1 基本假定
9.2.2 單期模型
9.3 HJM模型的二期模型
9.3.1 二期的情況
9.3.2 應用
9.4 多期的HJM模型
9.5 HJM之LIBOR模型
9.5.1 簡單的遠期利率
9.5.2 caplets之定價
9.5.3 平均遠期利率波動率之估計
第10章 SABR模型
10.1 波動率微笑或波動率偏態現象
10.2 SABR模型架構與模擬
10.2.1 SABR模型之模擬
10.2.2 SABR模型的架構
10.3 Black模型的隱含波動率
10.4 參數的估計與應用
10.4.1 參數的估計
10.4.2 應用：使用BSM模型
10.4.3 Hagan et al.之插值法
參考文獻
中文索引
英文索引

第1章 財務評價之原理
1.1 不確定性、效用理論與風險
1.2 平賭
1.2.1 均衡證券定價與風險
1.2.2 風險中立定價
1.2.3 資產定價的基本定理
1.2.4 完全與不完全市場
1.3 布朗運動、Itô積分與Itô lemma
1.3.1 布朗運動
1.3.2 Itô積分與平賭
1.3.3 Itô lemma
1.4 連續時間模型
1.5 平賭與測度
1.5.1 再談風險的市場價格
1.5.2 不同計價單位的選擇
第2章 二項式選擇權定價模型
2.1 二項式選擇權定價模型
2.1.1 一個簡單的例子
2.1.2 基本假定
2.1.3 單期BOPM
2.2 二期之BOPM
2.3 常態分配與對數常態分配
2.3.1 對數常態分配
2.3.2 二項式模型的...