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1.1 數學簡史
1.1.1 數學的起源
數學起源於人類遠古時期生產、分配、交易等活動中的計數、觀測、丈量等需求，並隨著人類社會發展和科技進步而成為天文學、航海、力學等其他領域的有力工具。數學作為人類文明的重要組成部分之一，和其他人類文明一樣，最早出現在世界五大文明發源地──古巴比倫、古埃及、古印度、古中國、古希臘。
（1）古巴比倫。古巴比倫文明的發源地是亞洲西部的兩河流域，「兩河」指的是幼發拉底河和底格里斯河。古巴比倫是人類文明最早的發源地之一，巴比倫意為「神之門」。古巴比倫又稱美索不達米亞，美索不達米亞是古希臘語，意為「兩條河之間的地方」。
（2）古埃及。古埃及文明的發源地是非洲東北部的尼羅河流域，是世界上最早的文明之一。古埃及人創造了輝煌的文明──被稱為世界奇蹟的金字塔、神祕的木乃伊、最早的365日天文曆法。
（3）古印度。古印度文明的發源地是亞洲南部的印度河流域，是人類最古老的文明之一，後被雅利安人入侵並建立了恆河流域文明。古印度文明分為兩部分：印度河流域文明、恆河流域文明。「古印度文明消亡」指的是印度河流域文明的消亡，恆河流域文明則並未消亡。
（4）古中國。中華文明的早期發展，與亞洲東部的黃河流域有密切關係。作為東方重要的原生文明之一，黃河流域孕育了農業、聚落、文字、禮制與早期國家形態，並逐漸影響周邊地區的文化演進。此後，生活在這片土地上的不同族群，在長期交流、遷徙、融合與互動中，共同推動了地域開發、制度建設與文化傳承，形成內涵豐富、延續久遠的中華文化傳統。
（5）古希臘。古希臘並非一個國家，而是一個地域的稱謂，位於歐洲的東南部、地中海的東北部，是古代巴爾幹半島南部、愛琴海諸島和小亞細亞沿岸的總稱。古希臘文明是西方文明最重要的源頭之一，西方有記載的文學、科技、藝術都是從古希臘開始的。受古巴比倫、古埃及文明影響，古希臘文明發源於南歐的愛琴海諸島。西元前6世紀至西元前5世紀，特別是希波戰爭以後，古希臘地區的經濟生活繁榮、科技發達，在此基礎上產生了在世界文明史中占重要地位的古希臘文化。古希臘人在哲學、詩歌、建築、科學、文學、戲劇、神話等諸多方面都有很深造詣，古希臘文明創造者的智慧，使這一消逝兩千餘年的古代文明至今仍令世人驚嘆！
數學文化的開始，都是形成數的概念、確立記數法，然後是數的運算。在此基礎上，再根據現實生產和生活的需要，發展代數、幾何等數學內容。世界五大文明發源地的主要數學成就列舉如下。
（1）古巴比倫的數學。19世紀後期，考古學家開始對美索不達米亞遺址進行考古挖掘。在發掘過程中，考古學家發現了數以萬計、不同時期的泥板。這些泥板是用膠泥製成的，每塊大小約與手掌相近，上面刻有符號。這些符號是由尖棍刻寫而成，呈楔形，人們稱之為楔形文字，並稱這些泥板為泥板書。其中一部分內容與數學有關，人們據此了解古巴比倫數學。
（2）古埃及的數學。古埃及人建造了神奇的金字塔、獅身人面像、宏大的神廟、複雜的灌溉系統，這些古建築和設施建成後的尺寸誤差很小，表明古埃及人創立了發達的數學理論。大約從西元前3000年起，古埃及人發明了象形文字。流傳至今的古埃及文獻，是記錄在一種用尼羅河三角洲盛產的水生植物紙莎草製成的「紙草」上，通常稱其為紙草書。保存至今與數學有關的紙草書，寫於西元前2000年前後，這些紙草書以問題集的形式記錄了一些數學問題。
（3）古印度的數學。古印度在文學、哲學和自然科學等方面，對人類文明有獨創性貢獻。在數學方面，最傑出的貢獻是發明了世界通用的記數法──十進位值記數法，創造了包括0在內的10個數字符號。所謂的「阿拉伯數字」實際上起源於印度，只是透過阿拉伯人傳播到西方而已。
（4）中國古代的數學。中國古代文明有著悠久的歷史與豐富的文化傳統，造紙、印刷、火藥、指南針等科技成果，曾對世界文明的發展產生重要影響。作為古代知識體系的重要組成部分，中國古代數學在自身獨特的歷史發展脈絡中，形成了與希臘數學傳統有所不同的風格。與其他古代文明的數學相比，中國古代數學重視計算、實用與問題解決，源遠流長、成就卓著，是世界數學發展的重要傳統之一。中國古代數學家的主要數學成就列於表1-5中。
（5）古希臘的數學。從西元前6世紀起，由於經濟發展和社會進步，古希臘出現了第一個文化高峰，古希臘數學就是其中的重要成就之一。數學史上，把西元前6世紀至西元前3世紀的古希臘數學，稱為古典時期的希臘數學或前期希臘數學；把西元前3世紀至西元6世紀，稱為後期希臘數學。在古典時期，古希臘數學學派眾多，且成就顯著。
1.1.2 數學的發展動力
數學主要以問題的方式呈現，問題是數學的心臟，也是數學發展的原始驅動力。數學問題主要來自以下三方面。
（1）生產實踐和社會實踐的需求。人類在生產實踐和社會實踐中會遇到各式各樣的實際問題，如土地測量、水利工程建設、商品交易等，從這些現實問題中，可以提取出數量關係、空間形式等問題，這就是有待解決的數學問題。
（2）自然科學的需求。數學與自然科學之間存在彼此影響、相互促進的關係。一方面，數學為自然科學提供定量描述和邏輯推演的工具；另一方面，自然科學不斷向數學提出富有挑戰性的問題，數學在解決自然科學所提出問題的同時，也促進了自身的發展。
（3）數學內部的需求。當一門數學分支學科創立並形成理論體系之後，可能會產生數學體系內部的矛盾和問題，這就需要完善數學理論，解決數學體系內部的理論問題，以實現理論體系的一致性和完備性。
這些領域的需求，成為數學發展的強勁動力。
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