A 部分　常微分方程式
第 1 章　一階常微分方程式
1.1　基本觀念、建模
1.2　y' = f （x, y） 的幾何意義、方向場、Euler法
1.3　可分離ODE、建模
1.4　正合常微分方程式、積分因子
1.5　線性常微分方程式、Bernoulli方程式、族群動態學
1.6　正交軌跡 （選讀）
1.7　初值問題解的存在性與唯一性
第 2 章　二階線性常微分方程式
2.1　二階齊次線性ODE
2.2　常係數齊次線性ODE
2.3　微分運算子 （選讀）
2.4　質點－彈簧系統自由振盪模型
2.5　Euler-Cauchy方程式
2.6　解的存在性與唯一性、Wronskian
2.7　非齊次常微分方程式
2.8　建模：受力振盪、共振
2.9　建模：電路
2.10　參數變異法求解
第 3 章　高階線性常微分方程式
3.1　齊次線性ODE
3.2　常係數齊次線性ODE
3.3　非齊次線性ODE
第 4 章　ODE方程組、相位平面、定性方法
4.0　參考：矩陣與向量的基礎
4.1　作為工程應用模型的ODE方程組
4.2　ODE方程組的基本理論、Wronskian
4.3　常係數方程組、相位平面法
4.4　臨界點判別準則、穩定性
4.5　用於非線性方程組的定性方法
4.6　非齊次線性ODE方程組
第 5 章　ODE之級數解、特殊函數
5.1　冪級數法
5.2　Legendre方程式、Legendre多項式 Pn（x）
5.3　延伸冪級數法：Frobenius法
5.4　Bessel方程式、Bessel函數 Jv（x）
5.5　Bessel函數Yv（x） 、通解
第 6 章　Laplace 轉換
6.1　Laplace轉換、線性性質、第一平移定理 （s 平移）
6.2　導數及積分之轉換、常微分方程式
6.3　單位步階函數 （Heaviside函數）、第二平移定理 （t 平移）
6.4　短脈衝、Dirac's Delta函數、部分分式
6.5　摺積、積分方程式
6.6　轉換式的微分與積分、變係數ODE
6.7　ODE方程組
6.8　Laplace轉換：一般公式
6.9　Laplace轉換表
B 部分　線性代數、向量微積分
第 7 章　線性代數：矩陣、向量、行列式、線性方程組
7.1　矩陣、向量：加法與純量乘法
7.2　矩陣乘法
7.3　線性方程組、高斯消去法
7.4　線性獨立、矩陣的秩、向量空間
7.5　線性方程組的解：存在性、唯一性
7.6　參考用：二階以及三階行列式
7.7　行列式、克拉瑪法則
7.8　逆矩陣、Gauss – Jordan 消去法
7.9　向量空間、內積空間、線性轉換 （選讀）
第 8 章　線性代數：矩陣特徵值問題
8.1　矩陣特徵值問題、求特徵值及特徵向量
8.2　特徵值問題的應用
8.3　對稱、斜對稱矩陣與正交矩陣
8.4　特徵基底、對角線化、二次形式
8.5　複數矩陣與形式 （選讀）
第 9 章　向量微分、梯度（Grad）、散度（Div）、旋度（Curl）
9.1　二維空間與三維空間的向量
9.2　向量內積 （點積）
9.3　向量積 （叉積）
9.4　向量與純量函數與場、向量微積分：導數
9.5　曲線、弧長、曲率、撓率
9.6　微積分複習：多變數函數 （選讀）
9.7　純量場的梯度、方向導數
9.8　向量場的散度
9.9　向量場的旋度
第 10 章　向量積分、積分定理
10.1　線積分
10.2　線積分之路徑無關性
10.3　微積分回顧：雙重積分 （選讀）
10.4　平面之Green定理
10.5　面積分的曲面
10.6　面積分
10.7　三重積分、高斯散度定理
10.8　散度定理之進一步應用
10.9　Stokes定理
C 部分　傅立葉分析、偏微分方程式 （PDE）
第 11 章　傅立葉分析
11.1　傅立葉級數
11.2　任意週期、偶函數與奇函數、半幅展開式
11.3　受力振盪
11.4　三角多項式的近似法
11.5　Sturm-Liouville問題、正交函數
11.6　正交級數、一般化傅立葉級數
11.7　傅立葉積分
11.8　傅立葉餘弦及正弦轉換
11.9　傅立葉轉換、離散及快速傅立葉轉換
11.10　轉換表
第 12 章　偏微分方程式 （PDE）
12.1　PDE的基本觀念
12.2　建模：振動弦、波動方程式
12.3　以分離變數法求解、使用傅立葉級數
12.4　波動方程式的 D’Alembert 解、特徵值
12.5　建模：空間中一物體上的熱傳、熱傳方程式
12.6　熱傳方程式：由傅立葉級數求解、穩態二維熱傳問題、Dirichlet 問題
12.7　熱傳方程式：極長棒之模型、用傅立葉積分與轉換求解
12.8　建模：薄膜、二維波動方程式
12.9　矩形薄膜、雙重傅立葉級數
12.10　極座標下的 Laplacian、圓形薄膜、Fourier-Bessel 級數
12.11　圓柱座標及球座標的 Laplace 方程式、勢能
12.12　以 Laplace 轉換求解PDE
專題研究
附錄 1　參考文獻
附錄 2　部分習題解答
附錄 3　輔助教材
A3.1　特殊函數之公式
A3.2　偏導數
A3.3　數列與級數
A3.4　在曲線座標中的梯度、散度、旋度及 ▽2
附錄 4　補充證明
附錄 5　函數表
附錄 6　應用數學的新興主題

A 部分　常微分方程式
第 1 章　一階常微分方程式
1.1　基本觀念、建模
1.2　y' = f （x, y） 的幾何意義、方向場、Euler法
1.3　可分離ODE、建模
1.4　正合常微分方程式、積分因子
1.5　線性常微分方程式、Bernoulli方程式、族群動態學
1.6　正交軌跡 （選讀）
1.7　初值問題解的存在性與唯一性
第 2 章　二階線性常微分方程式
2.1　二階齊次線性ODE
2.2　常係數齊次線性ODE
2.3　微分運算子 （選讀）
2.4　質點－彈簧系統自由振盪模型
2.5　Euler-Cauchy方程式
2.6　解的存在性與唯一性、Wronskian
2.7　非齊次常微分方程式
2.8　建模：...