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蔡依橙｜AI素養教育工作坊核心講師
（依姓氏筆劃排序）

【國際好評】
◉「如果你想對過去三萬兩千年的數學發展過程來一趟輕鬆、全面的快速巡禮，這本書絕對是最好的選擇。它是『小歷史』，更是了不起的傑作，而最讓我激賞的，是它的主題同時兼顧了人文與數學專業知識。」——伊恩．史都華〔Ian Stewart, 《數學的用處是什麼？》（What's the Use?）作者〕

◉「作者以生動的文筆，成功引領...

5__史上最傑出的數學暢銷書

在希臘化時代，全世界最傑出的學者、最有趣的物件，當然還有當時的每一本書籍，都能在埃及亞歷山大城那雄偉的博物館裡找到。亞歷山大城位於地中海畔，那座博物館是亞歷山大大帝的繼任者托勒密一世（Ptolemy I）父子於西元前三世紀左右建造的，當時募集了許多十分優秀的人才，負責保存和進一步探索許多學科。

據說托勒密一世成為埃及法老後不久，就宣布想學數學。他對當時的數學教科書不滿意，原因包括許多概念分散在不同的紙草書上，紙草書上的數學主題似乎毫無關聯，也不是很有趣。難道沒有其他書籍能以輕鬆又有吸引力的方式讓他學數學嗎？

亞歷山大城的學者開始嘗試尋找解決方案，滿足他們的統治者。他們該怎麼整理當時散落在全國各地、不同書籍裡的所有數學知識？然後某人突然有了靈感：有個名叫歐幾里得（Euclid）的數學家因教學出色而聞名，於是他被找來亞歷山大城撰寫這本教科書。

▌《幾何原本》的誕生
我們對這個人本身所知不多，連他在哪一年出生、去世都不確定。他大約出生在西元前325~前320年間，西元前280~前265年間去世。比歐幾里得大約晚七世紀的數學哲學家普羅克洛（Proclus）認為，歐幾里得是柏拉圖的學生，但年代似乎不對。無論如何，歐幾里得投入大量心力，修訂和簡化當時所知的所有數學知識，彙整在一部作品中。

他在西元前二世紀初完成這部作品，分成十三卷，命名為《幾何原本》（Stoikheîa, 英文書名為Elements）。它至今仍是史上譯成最多種語言、流傳最廣的數學教科書，無數人抄寫、評論，翻譯、印刷和製作成各種格式，提供給世界各地的讀者。

《幾何原本》的數學內容不是歐幾里得的創作，而是他彙集當時所知的數學知識後整理而成。他可能剔除了他認為不重要或不適合此書整體架構的內容，顯然他希望《幾何原本》盡可能單純簡潔。（他的數學知識當然遠超出此書的內容，因為他還寫了其他數學著述，例如關於光學和視覺幾何的書籍。）

儘管如此，對於從沒學過數學的人而言，《幾何原本》仍然相當難懂。托勒密一世也這麼覺得，當時他才剛任命歐幾里得擔任博物館的第一位幾何學教師，顯然曾要求歐幾里得把幾何學寫得讓他更容易了解，但歐幾里得回答：「幾何學沒有王者之路。」

學習幾何學沒有捷徑，連國王也不例外。


▌歐幾里得和演繹推理系統
那麼我們在這個過程中可以學到什麼？

《幾何原本》的說明方式是演繹推理（deductivereasoning），也就是提出有根據的推論（由簡單前提得出的結論）。這部作品採用這樣的結構，一步步敘述一般原則和基本的自證事實，解釋複雜度逐漸提高的問題。這種從最簡單的敘述得出非常複雜的結論的方法，經過了將近兩千年的考驗，至今數學家仍在使用（但在第二十三章我們將會看到，數學家發現有個模糊之處）。

歐幾里得是建造智識結構的大師，但這套演繹推理系統不是他發明的。在他之前許久，泰利斯（Thales of Miletus, 西元前624~前547年）就已經把幾何學變成演繹的科學，同時推導出幾項出現在《幾何原本》中的明晰定理。舉例來說，以泰利斯命名的著名定理指出，一個三角形與半圓內接，而且最長邊是圓的直徑時，一定是直角三角形。

這個定理放在歐幾里得《幾何原本》第三卷的第三十一個命題。「命題」是什麼？前面曾提過，《幾何原本》分為十三卷，整部作品的結構是每一卷的內容是下一卷的基礎，也就是每一卷都以上一卷的內容為基礎再進一步論證。每一卷同樣以演繹進行說明，一開始是定義（definition），接著是設準（postulate）、共有概念（common notion），最後是命題（proposition）。歐幾里得的《幾何原本》總共包含一三一個定義、五個設準、五個共有概念，以及四六五個命題。

我們來進一步看看這些內容。

第一卷有二十三個定義，第一個定義是「點不可分割」。定義的功能，是確立我們視為理所當然的基本敘述。

接下來是設準，在第一卷中只有五個。設準是我們不可質疑的基本敘述。這一卷的第一個設準指出，我們「可從任一點到另一點畫出一條直線」。這句話無可爭論，但必須先提出，以便後續使用。

接著是共有概念，第一卷中同樣有五個。共有概念有時又稱為公理（axiom），與量有關，同時建立元素（點、線、圓、角）之間的關係。第一卷的第一個共有概念是「與同一事物相等的事物彼此相等」。

最後是命題，有時又稱為定理。第一卷共有四十八個命題，其中第一個命題指出，我們可以「在給定的有限直線上作出等邊三角形」。命題是可以證明或建構的事物。在數學中，證明某個事物是演示它確實成立，無可懷疑。

在歐氏幾何中，想建構某個圖形，只能使用直尺和圓規，這也是當時僅有的幾何學工具，稱為歐幾里得工具（Euclidean tool）。沒有測量，沒有計量單位，只依賴圓規的開合、直線，以及各種量之間的比較，例如長度、面積、體積或角度等。

▌古希臘三大難題
前面曾提過的泰利斯，是西元前六世紀古希臘七賢之一。七賢是一群傳奇智者，泰利斯是其中唯一的數學家。他（至少是這幾位賢人當中的一位）有句名言是「認識你自己」。這幾個字刻在德爾菲（Delphi）阿波羅神殿的入口，而希臘神話認為德爾菲是世界的中心。數學的歷史有時相當接近神話，在古希臘，這座神殿是數學和神話最接近的地方。這座神殿曾經提出一個問題，讓數學家困擾了兩千年之久。

西元前五世紀，希臘發生瘟疫，造成許多人死亡。提洛斯島（Delos）的居民認為瘟疫是太陽神阿波羅（和許多其他身分）降下的懲罰。他們到阿波羅神殿詢問有「德爾菲神諭」之稱的女祭司皮提亞（Pythia）該怎麼辦。皮提亞回答，為了平息阿波羅的怒氣，必須把阿波羅的祭壇加大成兩倍。這座祭壇是十英尺高的立方體，裝飾得十分華麗。把立方體加大到兩倍？這有什麼困難？提洛斯島民馬上就答應了。

不過他們感到十分困惑。把邊長加大到兩倍，最後立方體的體積會變成原本的八倍。改變一邊或兩邊的長度，形狀又會改變。他們甚至向柏拉圖求助，連柏拉圖也被難倒。

這個問題稱為提洛斯難題（Delian problem, 注1），重點是如何找出2的立方根。數學家最後（直到十九世紀）證明，只使用西元五世紀的幾何學歐幾里得工具（直尺和圓規），不可能完成這個要求。聰明的柏拉圖斷定，惡毒的太陽神要希臘人忙於苦思，不要生活在邪惡和戰爭中。

提洛斯難題是如今稱為古希臘三大難題的其中之一，另外兩個問題是：三等分任意角（把任意角分成三等分），以及化圓為方（畫出面積與圓相同的正方形），同樣只能使用歐幾里得工具。

90度角等某些角很容易就能三等分成三個30度角，但數學家兩千年後終於證明任意角無法三等分。

化圓為方問題也是如此。希臘人知道如何計算圓的面積，計算時需要特別的數字π。一般認為阿基米德曾算出π的值介於3又1/7和3又10/71之間。這個數字已經相當正確：如今我們知道π是3.14159（小數點以下五位），阿基米德（Archimedes, 西元前287~前212年）的結果則是介於3.14085和3.14286之間（同樣是小數點以下五位）。π是圓的周長和直徑的比（圓周長除以直徑），圓的面積則是π乘以半徑的平方。

有人試圖解決化圓為方問題，而且相當接近成功。希奧斯的希波克拉底（Hippocrates of Chios, 西元前470~前410年）曾經嘗試把某些圓的面積畫成正方形，而且獲得相當程度的進展。他撰寫的《原本》（Elements）是歐幾里得同名著作的範本。他證明我們可用測量直線圖形的方式來測量新月形（兩個圓圍出的月牙形）。但到了十九世紀，數學家證明，只用直尺和圓規同樣無法解決化圓為方問題。

這兩千年之間的大多數時間，數學家都放不下這三個著名的難題。他們孜孜不倦地研究這些問題如何解決，甚至是否可能解決。從這點可以看出，數學家不會輕易放棄，但也不介意把未解決的問題留給下一代解決。在某個地方會有某個人找到答案，或是證明不可能找到答案。這就是數學從最早期一脈相傳的特色：超越時間和空間，努力不懈地追尋解答，首先研究這個問題的人不會刻意祕而不宣。畢竟誰抵擋得了數學奧祕的誘惑？

古希臘人以他們的數學成就，為世人留下龐大的遺產。他們創造出這麼多建構數學知識、運用證明和研究問題的方法，獨步世界所有文化。毫無疑問的，歐幾里得的《幾何原本》整合所有數學概念，超越其他文化的任何一本書。他留給我們接近十全十美的結構、延續兩千年之久的抽象思考智識大廈，以及至今仍然嘉惠所有數學學習者的重要教科書。

注1：提洛斯難題又稱為「倍立方問題」。

5__史上最傑出的數學暢銷書

在希臘化時代，全世界最傑出的學者、最有趣的物件，當然還有當時的每一本書籍，都能在埃及亞歷山大城那雄偉的博物館裡找到。亞歷山大城位於地中海畔，那座博物館是亞歷山大大帝的繼任者托勒密一世（Ptolemy I）父子於西元前三世紀左右建造的，當時募集了許多十分優秀的人才，負責保存和進一步探索許多學科。

據說托勒密一世成為埃及法老後不久，就宣布想學數學。他對當時的數學教科書不滿意，原因包括許多概念分散在不同的紙草書上，紙草書上的數學主題似乎毫無關聯，也不是很有趣。難道沒有其他書籍能以...

01__數學的印記
．史上最古老的數學物件：伊尚戈骨
．純數學與應用數學
．探索數學語言

02__出土的古代智慧
．解密古文明：普林頓三二二號泥板
．美索不達米亞的六十進位法
．泥板上的乘除法、倒數表和平方根

03__書吏的故事
．打開古埃及數學之門的金鑰：林德紙草書
．最早留名數學史的運算者
．分數與「荷魯斯之眼」
．埃及數學的起源：尼羅河氾濫與拉繩人

04__畢達哥拉斯學派的祕密
．學派中的女性數學家
．數是宇宙奧祕和人類之間的連結
．理型與柏拉圖立體
．畢氏學派對哲學、數學的影響

05__史上最傑出的數學暢銷書
．《幾何原本》的誕生
．歐幾里得與演繹推理系統
．古希臘三大難題

06__證明在哪裡？
．《九章算術》的解題法
．籌算板與計數系統
．古中國的方程式和勾股定理

07__數論的黎明
．丟番圖謎題
．丟番圖推論的方程式推論
．《論多邊形數》的幾何證明
．丟番圖的重要注釋者：希帕提亞
．數學家設計的聖索菲圓頂

08__「無」的起源
．零vs無、空
．發明零的印度數學家
．關於零的起源的新發現

09__來自巴格達的回音
．花拉子密和萌芽的代數種子
．阿拉伯哲學之父肯迪和密碼學理論
．卡拉吉率先採用代數歸納證明

10__不同概念交織而成的數學織毯
．中世紀的大學，以及數學的新發展
．阿德拉德帶動歐洲知識復興
．費波那契的美麗數列
．商人階級與實用數學

11__兩種數學之間
．阿奎納與「針尖上的天使」
．吉爾松尼德改良歸納證明法
．奧雷姆的圖形證明
．默頓計算者中的佼佼者：斯灣斯黑德

12__數學家眼中出美景
．布魯內萊斯基：結合線性透視法與建築設計
．阿爾伯提：最強加密法的設計者
．烏切洛融合藝術與幾何結構
．著迷於阿基米德立體的法蘭切斯卡
．帕西奧利、達文西，以及神聖比例

13__三次方程式事件
．從口吃到一夜成名：塔爾塔利亞
．卡丹諾的企圖心，以及虛數的誕生
．費拉里迎戰三次方程式的對決
．大師的晚年

14__破解代數密碼
．韋達：用簡單符號來解方程式
．發明等號的人：雷科德
．維吉尼亞的高難度密碼
．數學家變身密碼將軍

15__世界的和諧
．克卜勒的登月夢
．三大行星運動定律
．數學家眼中的萬物之美
．納皮爾與對數的發明
．《魯道夫星曆表》

16__數學機器
．納皮爾的骨頭
．布里格斯的對數
．史卡德、帕斯卡的機械式計算機
．范舒騰的圓錐曲線機

17__網路問世前，一切問梅森
．孕育數學新概念的梅森學院
．笛卡兒葉形線
．德札格定理與射影幾何

18__永不停止的賭局
．賭局中斷的分配問題
．帕斯卡三角形
．機率論的誕生
．三百年後才獲得證明的費馬最後定理
．機率與風險精算

19__封閉的國門和開放的心胸
．和算：日本鎖國時期的數學
．關孝和與伯努利數
．建部賢弘與三角函數
．日本的數學藝術—算額
．蘭學開啟另一扇窗

20__獅子，女巫，微積分
．最速下滑曲線
．萬有引力理論
．牛頓的微積分
．萊布尼茲的微積分
．誰才是微積分的發明者？
．阿涅西的「女巫」

21__數學家的重要旅程
．柯尼斯堡橋樑問題
．歐拉路徑
．歐拉的新數學符號
．至今未解的哥德巴赫猜想

22__現代幾何學，以及它留下的軌跡
．微分幾何之父：蒙日
．蒙日的曲面研究
．拿破崙的幾何定理

23__無中生有的新世界
．軍隊裡的數學家：鮑耶
．歐幾里得的第五個設準
．鮑耶發現雙曲幾何
．羅巴切夫斯基的非歐幾何研究
．凱萊的橢圓幾何

24__浪漫的數學家
．阿貝爾的高次方程式研究
．伽羅瓦開拓的新領域
．阿貝爾群：加法的整數群
．伽羅瓦群：求高次方程式解的應用

25__邏輯仙境
．卡洛爾對新數學的嘲弄
．二元邏輯與布林代數
．從巴貝奇、勒夫雷斯到夏農的電算之路
．文氏圖

26__混沌的悄然誕生
．龐加萊的三體問題研究
．羅倫茲蝴蝶效應與混沌理論
．從黎曼流形，到龐加萊的圓盤模型
．裴瑞爾曼證明了龐加萊猜想

27__無窮究竟是多大
．無窮的探索
．康托爾：現代集合論的起源
．集合的無窮，以及阿列夫零
．戴德金分割

28__多維度的展開
．歐拉的凸多面體特性
．施萊夫利建立的高維度幾何
．辛頓探索第四維度
．艾莉西亞的四維模型

29__全世界數學家團結起來
．克萊因串連全球數學家
．希爾伯特的未解問題清單
．德恩不變量
．第八個未解題：黎曼假設
．希爾伯特旅館悖論

30__追求完美
．羅素的悖論與類型論
．策梅洛與良序集合
．邏輯主義誕生
．哥德爾的不完備定理

31__拉姆齊和他的朋友
．派對問題與拉姆齊定理
．擅解數學難題的艾狄胥
．范德瓦爾登定理
．海爾斯−傑維特定理
．艾狄胥數串連的世界

32__抽象代數之母
．突破玻璃天花板的諾特
．諾特定理vs相對論
．環論，理想，偶數性
．從貝蒂數到代數拓樸學
．諾特對後世的影響

33__名叫尼古拉的研究員
．布爾巴基的誕生
．布爾巴基的新數學教科書
．布爾巴基的幽默與傳承
．格羅騰迪克的範疇論

34__我們參與的賽局
．囚犯困境
．馮紐曼、摩根斯恩特、賽局理論
．最小最大值定理
．拉波波特的「一報還一報」
．納許均衡

35__花椰菜和海岸線
．曼德博集合
．由碎形研究展開的世界
．如何測量海岸線與粗糙度

36__未完成的工作
．懷爾斯挑戰費馬最後定理
．谷山−志村模型式猜想
．弗雷橢圓曲線vs黎貝定理
．懷爾斯證明費馬最後定理

37__瑪麗安的魔杖
．米爾札哈尼：戰火中的天才數學家
．從黎曼曲面，到環面的側地線
．從撞球檯找出雙面環曲的特性
．魔杖定理

38__數學成功的模式
．陶哲軒：國際數學奧林匹亞三獎滿貫得主
．格林－陶定理：孿生質數猜想
．艾狄胥差異問題
．非週期密鋪的結構
．潘洛斯密鋪問題
．陶哲軒與格林菲爾德推翻週期密鋪猜想
．史密斯發現「愛因斯坦」磚

39__為新維度之旅打包
．克卜勒蜂巢猜想
．黑爾斯證明克卜勒猜想
．三維中的裝填問題
．維亞佐夫斯卡的高維球體堆疊研究

40__新數學的夢想
．跨越時空，解讀並傳承數學之美
．數學的創造力既美好，又令人灰心
．以全新的眼光，想像數學未來的樣貌

01__數學的印記
．史上最古老的數學物件：伊尚戈骨
．純數學與應用數學
．探索數學語言

02__出土的古代智慧
．解密古文明：普林頓三二二號泥板
．美索不達米亞的六十進位法
．泥板上的乘除法、倒數表和平方根

03__書吏的故事
．打開古埃及數學之門的金鑰：林德紙草書
．最早留名數學史的運算者
．分數與「荷魯斯之眼」
．埃及數學的起源：尼羅河氾濫與拉繩人

04__畢達哥拉斯學派的祕密
．學派中的女性數學家
．數是宇宙奧祕和人類之間的連結
．理型與柏拉圖立體
．畢氏學派對哲學、數學的影響

05__史上最傑出的...