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二手徵求有驚喜
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一、邏輯的基礎觀念：不兩立(Whitehead and Russell)
Whitehead及Russell (1963,p.xvi)在其所著的數學原理的再版引言中提出一個新的概念：不兩立、不相容或不能同時為真(incompatible)。例如p∣q讀若「p與q不兩立」，表示p與q不能同時為真。像否定(negation,~)、蘊涵(implication, ⊃)、析取（或，disjunction, v）、合取 (且，conjunction, ˙)都可以用「不兩立」的概念重新定義。
~p = p∣p Df….1 (否定) p⊃q = p∣~q Df….2 (蘊涵)
p v q = ~p∣~q Df….3 (析取) p˙q = ~(p∣q) Df….4 (合取)
作者認為所有常用的真值涵數都可以用這一豎(不兩立)建構起來。例如由上述的定義2可以推論出：p⊃q = p∣(q∣q) Df. 由定義4可知q˙r = ~(q∣r)
由此可知p⊃(q˙r) ≡ p∣~(q˙r) ≡ p∣(q∣r)由不兩立所建立的命題也適於演繹推理。這個偉大的發明有三個意涵：1.抽象的邏輯程序可以用這不兩立的操作取代之；2.不兩立的操作可以用操作具體物的方式來演示，所以是一種體現的認知(embodied cognition)；3.這個邏輯操作可以用生命的活動，如：喜歡或不喜歡、趨近或撤退、肯定或否定等以演示之，所以邏輯操作程序很可能是人類心靈所創造的。
邏輯用語如蘊涵（如果˙˙則˙˙）、合取（且）、析取（或），一向被認為是純粹抽象的概念，不涉及感覺經驗，或者說，沒有感覺經驗的基礎，不奠基於感覺，不是奠基的概念(ungrounded concept)。假如邏輯用語可以還原到基礎的不兩立或不相容的概念，則可能和感覺經驗或感覺操作相連續。我認為不兩立的概念源自辨認事物差異的心理歷程。A與B不相同表示A不是B，最簡單的分辨是將A與~A分別開來，A與~A不兩立是因為它們之間有差異。事物間的差異是自然現象，但也需要我們的心智能辨認之才行。差異的認知是事物屬性與心智符應之處，兩者缺一不可。一般兒童大約要在兩三歲左右才有足夠的心智說出橘子和球的差異，但在同質的環境裡沒有差異存在，也就無從做分辨活動。Metzinger(2003, p.102)提到Ganzfeld(complete field)現象，亦即，所有感覺器官若受到同值的(Ganzfeld)刺激會導致現象意識的完全崩潰，或由自動化的活動所接管，亦即被內在的由上而下之機制所產生的幻覺內容所接管。Cohen曾報告在實驗中的16個受試者中有5個的視覺經驗完全停止。他們經驗到現象內容的轉變，「霧一般的白，每樣東西都黑掉了，回來了又走了。我覺得盲了。我甚至沒見到黑。這和光線熄掉所形成的黑與白不同。」在此我要強調的是差異的知覺不全由環境或由認知所單獨決定，在這知覺中我們見到環境與認知的符應(correspondence)。由此我認為建立在不兩立的邏輯是奠基在感官經驗之上的規則，是在感覺經驗之後的操作，並不只是抽象的脫離知覺經驗的概念。所以一個數學系統若它的前提是真的，亦即有實在世界的感覺動作經驗基礎，則這個數學系統的定理有經驗的基礎，所以也是真的。再者差異的分辨也是分類的基礎，亦即形成概念的基礎。若沒有差異現象就不可能形成概念系統。
不兩立的概念也確立矛盾律為基礎邏輯原則。設立一觀點隨即否認之，設立一主張隨即否決之，設立一意向隨即取消之，是自相矛盾的操作，是自敗的活動。一個理論若有自相矛盾之處，就是自敗的理論，不可靠的理論。
二、省思的抽象(reflective abstraction)：Piaget,1971
邏輯規則的確定性，給我們不可拒斥的信念，並不全靠知覺經驗。由知覺經驗所歸納的通則不能給我們這種確定性。Piaget (1971,p.19)所提出的省思的抽象(reflective abstraction)在此提供很有用的理論。省思的抽象不是從事物導出屬性而是從我們對事物之操作上施予操作而獲得屬性，也許更可以說是從省思我們對於事物之操作，如聯合、排序、一對一的對應等行動或操作的各種基本協調方式以獲得屬性。我們對事物行動，有拆解、合併、排序、分組等等，省思的抽象是在這些操作之上的操作。
Piaget認為智慧起源的理論有三種：一、預先決定的先天主義，二、偶發突創、三、建構主義。他主張人類智慧無論從個體發生學或種系發生學來看都顯示為逐漸建構的。兒童花了十幾年的時間才逐漸建構出邏輯結構。透過省思抽象（提供逐漸複雜的材料給建構）以及平衡或自我調節（提供內在可逆性）的互動，建構中的結構產生必須性或必然性(necessity)。兒童首先發展出感覺動作的協調，然後具體操作，最後有形式操作的能力。在感覺動作時期，結構的元素是某種有序的關係，如反射行動的運動順序、習慣動作、手段與目的的配合；排序的基模，如將一簡單的基模如握捉納入較為複雜的行動中如拉扯；以及對應，如記認的同化。在這階段兒童能有實用的智慧，例如他拿不到桌上的蘋果，他會拉下桌巾以取得蘋果。但他還沒有影像的和符號的表徵能力。
當兒童有了記號的功能，能說話、符號遊戲、想像等等，以及能訴及知覺中不在的事物時，他就能有表徵能力和思維，也就能使用省思的抽象：從感覺動作基模中抽出某種連結，投射到新的思想平面，這些被精緻化之後產生不同的行為路線和概念結構。但這些心智活動尚缺可逆性的形式，不能算是操作或運思(operation)。例如兒童能以直接比較的方式理解事物的量，例如以目視的方式比較兩個東西的長度、以手提的方式比較兩個物體的重量，但他們還沒有量的保留性的概念。例如將一塊圓的麵糰捏成長條形，沒有保留概念的兒童會認為已經變輕了或變重了，假如又捏回圓形就又變得一樣重了。有保留概念的兒童會認為物體的重量不會因為改變形狀就改變，他們會有三種思考策略：互補性，麵團變長但變瘦了，長與瘦互補；可逆性，麵團可以捏回原來形狀；同一性，麵糰是同一個沒有增加也沒減少，還是那一個麵團。有保留概念的兒童能同時考慮胖與瘦、長與寬，協調對物體的兩個不同的動作，在兩個動作之上再施以動作，可以說是道地的操作。所以這階段稱為具體操作(concrete operation)期。十一二歲以後的兒童有的可能發展到形式操作(formal operation)期，他們能脫離對具體物的操作，對假設的情況做推理，能有假設演繹推理的能力，能有規律的列舉所有可能的排列組合的情況，他們的思維充分表現可逆性。Piaget認為由於可逆性的關係乃產生非時間性法則(non-temporal law)的必然性(p.67)。當一個思想系統或操作系統達到充分可逆性時，我們就可以見到這些操作的確定性。原理原則的確定性、必須性、必然性來自思想本身，而非依賴外在的權威或神秘的天理。
人類的心智是建構的，發展的、演化的、創生的；並沒有預先設計的模型或結構。Piaget認為結構與創生(structure and genesis)必須相互依賴。創生只是從一結構到另一結構的轉變，而這轉變總是從較弱的結構轉變到較強的結構；它是構形的轉變(formative transition)。結構只是一個轉換系統，但它的根是操作的；它依賴先前轉換工具的形成──轉換規律或法則(p.141)。
三、MIU公設化系統 (Hofstadter,1979)
一個議論假如有真的前提加上可靠的推理就可以獲得真的結論，邏輯是避免錯誤議論的法則。更重要的是邏輯有如扣環能將許多議論連結成一致的、一貫的理論，若無邏輯將不可能形成系統的知識。在邏輯推論系統包含兩部分：前提和推論規則。假如我們不管所建立的系統是否與世界符應，我們可以建立一個虛擬的前提集合，假設它們都是真的，就成為公設集；我們也可以自訂推論的規則，或者稱為轉換規則。如此建構的系統可以稱為公設化系統。這種公設化系統可以幫助我們理解邏輯思維的性質。Hofstadter,D.R.(1979,p.33) 曾設計一套公設化的系統稱為MIU，這系統很有趣，在此略作介紹。
這系統只包含三個元素：M,I,U，這系統的所有公式都是由這三個元素所串成的字串，如MI, MIU, MIIU等等，但這些字串是有前後秩序的限制的，所以IM不同於MI。它有一個公設：MI，這公設不須證明就承認它為這個系統的公式――在這系統中它是不待證明而設定為真的公式。這系統有轉換的規則或推論的規則，可以讓我們從前提推論出定理。他所設計的推論規則有四項。假如你的前提是真的，則根據這幾個規則所推論出來的公式也是真的。也請記住，這個系統的公設只有一個，即MI，也就是我們擁有的唯一的真的前提是MI。
I. 假如你有一個字串其最後一個字母是I，你可以在其末加上一個U。
例如在MI之後可以加上U而成為MIU，IUI→IUIU
II.假設你有Mx，你可以將Mxx加入你的蒐集裡。
例如從MIU可得MIUIU, MUM→MUMUM
III.假如在你的字串中有III，則可以用U替代III以造一個新的字串。
例如從UMIIIMU你可以造成一個新字串：UMUMU。
MIIII→MIU或MUI。MIIIII→MUII, MIUI或MIIU。
IV.假如你的字串中有UU，你可以將它去掉。
例如從UUU可得U。MUUUIII可得MUIII。
一個公設化的系統首先要一個公設集，包含一些我們設定為真的公式，這些公設是不須要證明的。由這些公設按推論規則所導出的式子稱為該系統的定理，當然所有定理也都是真的。以下是他所推導出來的一些定理。
(1). MI 公設
(2). MII 藉規則II由(1)導出
(3). MIIII 藉規則II由(2)導出
(4). MIIIIU 藉規則I由(3)導出
(5). MUIU 藉規則III由(4)導出
(6). MUIUUIU 藉規則II由(5)導出
(7). MUIIU 藉規則IV由(6)導出
我們可以藉這四個規則推導出更多的定理。
但是我們能推導出MU嗎？或者說MU是這個系統的定理嗎？
也許你不厭其煩，不停地做推導的工作，也導出許多定理來。但就是得不到所要的MU。我們能因為沒導出就認為它不是定理嗎？也許有某個聰明人就可以推導出它來。假如我們停留在這系統之內，依照推論規則作演算，無法證明MU是不是定理。假如我們要證明MU是不是該系統的定理，我們必須跳出該系統的推論規則，用該系統之外的規則才可。MIU系統可以說是客體語言，而討論它、分析它、證明它的系統便是後設語言。
跳出該系統的轉換規則，很容易證明MU不是該系統的定理。MU式中沒有I，從該系統的唯一公設MI依該系統的推論規則，無法推論出一個不含I的公式，所以MU不是該系統的定理。由MI轉換到MU必須消除I，該系統能消除字串的規則只有規則IV：字串中有UU就可以消除，而字串中有III可以用U取代之。依規則II，MI可得MII, MIIII, MIIIIIIII,….，各字串的I有2的n次方個。由I轉換成U需要有3x個。3不能整除2ⁿ，字串中總有I不能消除，所以MU不能由該系統導出來。由此可證，MU不是該系統的定理。
在這論證過程中，我們用了許多該系統所沒有的概念、字串，如數學概念與運算特別是該系統所沒有的邏輯推論規則，像是「如果˙˙則˙˙」，以及「因為˙˙所以˙˙」等等。這些用來論證的語言便是後設語言。這個例子清楚顯示出一個公設化系統不能證立(justify)它自己，總是要依賴一個自己之外的後設語言系統。
只有真的前提和可靠的推論規則似乎不能涵蓋人類的所有邏輯思維。
四、Gödel’s proof (Nagel and Newman,1958)
前述MIU系統是公設化系統的有趣例子，Whitehead and Russell所發展的Principia Mathematica則是公設化的數學系統，它要將算數的概念和運算還原到邏輯概念之上，也就是要將算術奠基在邏輯之上。這種公設化系統的建構有四個要素：一、完整的語彙目錄，這系統所使用的記號有完整的目錄，其中有些是無定義的語彙用以定義其他的語彙；二、形成規則，規定系統中的合法公式如何建造，也可說是系統的建構文法；三、轉換規則，規定系統中如何由某些公式推論出其他公式；四、有些規則被選為公設axioms或primitive formulas，做為整個系統的基礎，由轉換規則所推導出來的公式稱為定理theorem。
公設化數學系統的內部一致性是深受關注的問題，亦即從一系統的公設集是否可能推論出互相矛盾的公式出來，假如推論出矛盾的公式就表示該系統是不一致的(inconsistent)。Gödel研究這個問題，並證明了一個公設化數學系統的公設集若是一致的，則該系統是不完全的，也就是有真的數學公式不是由該公設集所推論出來的。他的證明有深遠的意涵，被喻為二十世紀最重要的邏輯論文。他的證明專門而艱深，Piaget認為Nagel and Newman的Gödel’s Proof一書做了非專門的但精確的解釋，我們且依據該書列敘一些要點。
假如一個系統的公設集是矛盾的（不一致的），如s與~s都是公設集的公式，或可從該公設集推論出來，則任何命題都可以是該系統的定理。因為所有公式都可以是該系統的定理，所以該系統的公設集是不一致的但卻是完全的。可以證明如下：
1系統S是一公設化系統，s與~s在公設集中或可從該系統的公設推導出來。
2r為任何一命題，我們要證明r是系統S的一個公式。
3p⊃(pvq)是常真的命題，p⊃(~p⊃q)亦然。
4以s代如上式中的p，可得s⊃(~s⊃q)也是真的，而由於s是真的，根據邏輯蘊涵(implication)的法則，可以得到（~s⊃q）也是真的。
5又由於~s根據第１式也是真的，所以q也是真的。以任何一命題r代入式中的q，也可以得出r是真的，或說是該系統的定理。
反過來說，假如有一個公式是真的但卻不是該系統的定理，則該系統的公設集是一致的，不矛盾的。
在數學系統裡可以分成演算系統與後設數學系統，前者是數學運算，例如1+1=2、0=0，後者是對算式的解釋，如( x ) ( x = s y)：有一個x，x是y的繼數。他最重要的發明是所謂Gödel數（簡稱G數）。其議論的精華就在於將算式及後設數學系統都轉譯為G數，也就是將原本二階層的邏輯結構轉譯為一階層的邏輯結構。
他將十個邏輯記號 ~ v ⊃∃ = 0 s ( ) . 的G數定為1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，［這幾個記號的意義分別為：否定、或、蘊涵、有、等於、零、繼數、左括弧、右括弧、句點］。而命題變數如p,q,r,.. 等的G數定為12, 15,18,..，數目的變數如x,y,z,.. 定為11,13, 16, ..，述語變數如｛P,Q,R,..｝定為，14, 17, 20, ..。一個式子如s0［即0的繼數］含有兩個符號s, 0其G數分別為6和7，兩個符號所合成的式子，其G數的算法是第一個符號以第一個質數2的該符號的G數的乘冪表示，第二個符號以第二個質數的該符號的乘冪表示，然後兩數相乘。如s為2⁷，0為3⁶，所以s0的G數為2⁷*3⁶。
接下來他將算數式映射到G數：例如0=0這個式子轉譯為2⁶ * 3⁵ * 5⁶。然後將後設數學映射到G數：例如 ( x ) ( x = s y )：這式子是說有x，x為y的繼數。我們將這些符號的G數對照起來，然後算出它的G數。
( x ) ( x = s y )
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
8 4 11 9 8 11 5 7 13 9 以上各符號的G數
這個式子的G數為 : ***
以此方式建構G數，使得無論算術式或是後設數學式子與其G數的對應是唯一的，相同的式子不會有兩個G數，不同的式子不會有相同的G數，所以G數可以完全代表一個式子。假如A式的G數式g1而B式的G數式g2，又假如A式是B式的證明，反映在G數上則g2是g1的因數。
接下來Gödel要建構一個公式G，代表這公式G是不能證明的。他使用前述的式子( x ) ( x = s y )為原型再加以轉型，這個式子的意思是說，有個x使得x是y的繼數。
1.( x ) ( x = s y )(1) 這個式子的G數已經展示在前面，這個數乘開來是個天文數字，用y代表之，亦即這個式子的G數是y，然後以這個y數代入原式中的y處，形成新的公式。此新的公式記為( x ) ( x = sub(y, 13, y))，這式子中的第一個y代表G數為y的式子，13代表y的G數，後一個y代表這式子的G數，整個式子是說，以( x ) ( x = s y )的G數代入G數為y的(1)式中的y所得到的數為x。
2.( x ) ( x = sub(y, 13, y)) (2) 這是式(1)第一次轉型的式子。
3.(x)~Dem (x, sub(y, 13, y)) (3) 式(3)是式(1)的第二次轉型。這式子說，對所有x而言，x不是sub(y, 13, y)的證明，這兩者都是數，所以這意謂sub(y, 13, y)這個數不是x的因數，也可以說，G數為sub(y, 13,y)的公式是不能證明的。式(3)也有個G數，假設為n，以n代入式中y的位置，又可以做第三次轉型成為新的式子，稱為G式。
4.G式為：(x)~Dem (x, sub(n, 13, n)) (4) 這個式子說，sub (n, 13, n)不是x的因數，也就是G數為sub (n, 13, n)的公式是不能證明的。G式本身也有一個G數，這G數是甚麼？洽是sub (n, 13, n)，因為依照sub (n, 13, n)的定義乃是以n代入式(3)所形成之公式的G數。這裡出現了矛盾。從字面意義看，G式是說，G數為sub (n, 13, n)的公式是不能證明的，而G式的G數洽是sub(n, 13, n)，所以G式恰恰說它自己是不能證明的。［我正在說謊。］
由上面的推理結果可以知道，假如G式是可以證明的，則其否定形式的公式~((x) ~Dem (x, sub (n, 13, n)))也是可以證明的。所以，G是可證明的，若且僅若~G是可證明的。若一公式及其否定公式都可由公理集導出，則公理集是不一致的(inconsistent)。假如公理集是一致的，則G與~G都不能由公理集導出。亦即假如算術系統的公設集是一致的，則G與~G是不能決定的(undecidable)。
雖然G是不能決定的，但卻可由後設數學證明G是真的。所以G構成了一個複雜而確定的數學屬性，對所有正整數都是成立的屬性，如：(x)~(x+3=2)，
式中的x是自然數。這個代數式是真的，但不能由公設的集合推論出來。所以假如一個算數系統是一致的，則其公設集是不完全的。假如想要以擴大公設集，加入更多公設，也無法解決這個問題，因為G數的詭計依然可以應用在這加大的公設集之上。
算術是一致的，等於說至少有一算術公式是不能推證的。用一公式表示：
(A)式： (y) (x) ~ Dem( x,y)
這式子是說：至少有一個數y對每一個x而言，x與y沒有證明的關係，或x不能證明y。亦即，至少有一個算術公式，沒有哪一個公式序列可以作為它的證明。
假如算術是一致的則它是不完全的，由下列公式表徵之：
((y) (x) ~ Dem( x,y)) ( (x) ~ Dem (x, sub (n, 13, n)))亦即→ AG
(Ａ)式代表一後設數學陳述：「算術是一致的」。假如此陳述可以用任何可以映射到一連串構成算術證明的議論以建立之，則Ａ式是可以證明的。但我們已經見到，假如算術是一致的，則這是不可能的。宏偉的最後一步已呈現在眼前：假如算術是一致的，則其一致性不能以那些可以在算術形式系統所表徵之後設數學推理上建立之 (Nagel and Newman,p.96)。我們也可以說，一個算術系統無法證明自己的一致性。
Gödel’s Proof不僅揭露了公設系統的有限性，也激發人們對人類理性思維之性質的探討。Nagel and Newman認為人類的智慧不曾也不可能充分形式化，或成為純的計算系統。而新的論證原理永遠等待發明和發現。Gödel本人的著作就是人類心智之複雜且微妙的絕佳例子，人類創造性的展現。
Gödel’s Proof至少顯露出三個觀念。一、一個公設化系統無論其公設集擴大到何種程度，總有真的命題不是由該系統所推導出來，也不是該系統所能證明其真假的，就像在自然數的運算中(x)~(x+3=2)就是一個例子。二、Gödel’s Proof中算數的計算系統（G數的計算）和後設數學的推理可以交相表徵和互相轉譯，Hofstadter(p.204)稱之為TNT系統(Typographic Number Theory)，在這系統中產生G式與~G皆不能證明的情況，所以在這個系統裡創造了一個洞，一個不能決定的命題。由於G式是不能決定的，所以G或~G都不是定理，但公設系統的公設之一是(G 或 ~G)是真的命題，也就是兩者有一個是真的。三、一個公設化系統不能跳出自己來表徵自己、檢視自己、修改自己。一個公式化的系統無法證立(justify)自己是可靠的。
依據Hofstadter的引述，Lucas由Gödel的議論認為人類智慧有不可言語描述的性質。他認為人類總能夠對任何形式化系統做Gödel的把戲，在該系統製造出一個洞，得出該系統無法推論出來的真理，而人類能知道那是真的。電腦程式可以說是形式化系統的同構，所以電腦程式無論多複雜或精緻，總不可能有人類智慧的創造性。至於能否對任何形式化系統做Gödel的把戲的問題上，Hofstadter持保留態度，他認為當形式化系統逐漸擴大其複雜度之後，我們能做Gödel把戲的能力開始動搖。因為我們沒有任何演算法可以描述如何實施之。假如我們不能明白說出在所有個案如何應用其方法，則我們在某些複雜的情況就不能想出應用的方法。但總之，人類心智的創造性成為最吸引人的謎題。
五、客體語言、後設語言、自然語言
在二十世紀初，詭論(paradox)亦即自相矛盾的陳述，引起邏輯學家的廣泛興趣，也引起邏輯和數學的基礎的主要改造，其效應之一乃是區別了客體語言和後設語言。最廣為人知的詭論是Epimenides所說的「我正在說謊」。這句話是個反身的命題，論述這句話本身，所以造成矛盾：這句話是假的。當一個句子論述的對象是它自己就成了反身的命題，例如有人說，「凡是人說的話都不可相信」，那麼是否該相信這句話呢？
但Russell所發現的詭論可能對邏輯的發展比較重要。一般的集合不包含自己為元素，例如A={a,b,c}便是這樣的集合，而B={x,y,z,B}則B包含自己為元素。所有不包含自己為元素的集合（如像A之類的集合）所成集合（設為α），則α卻是矛盾的集合：假如α是自己的元素，那它就是一個「自己不是自己的元素」的類了，假如它不是它自己的元素，則它不是一個「自己不是自己的元素」的類了(Russell,1913: 64)。這議論很有趣，且將議論的要點條列於後：
A: 是不含自己為元素的集合，如A={a, b, c}
B: 是含自己為元素的集合，如B={a, b, c, B}
若α是所有A（不含自己為元素之集合）所成的集合
則α是A還是B？
若α是A，亦即一個不包含自己為元素的集合，也就成為A類的一員，也就成為包含自己為元素的集合：B。
若α是B，亦即一個包含自己為元素的集合，α是自己的一個元素，但依α的定義是所有A所成的集合，則α是一個A。
在這個例子中，α是所有A（不含自己為元素之集合）所成的集合，句中含有「所有」這個詞，所以也把它自己也包含進去，造成它論述對象的含糊。為解決此問題Russell提出「型論theory of type」。一個「型」乃是一命題涵數的值(significance或value)的範圍。我們說「孔子有死」，這是一個命題，假如我們說「人是有死的」則在這句話中的人並沒有固定的值，是一個變數，這個變數的值可能是｛張三、李四、孔子、˙˙｝，用個邏輯的符號來寫是f(x)，f代表「有死的」這個涵數，x代表其變數的人。這個命題涵數的變數是有值的，就是所有的人，所有的人就是這個涵數的值的範圍。像「孔子有死」這句話的論述對象是一個個體孔子，「人是有死的」這句話論述的對象是所有人，是「人類」，這兩個句子論述的範圍顯然不同，前者是一個個體，後者是一個類，假如混淆不同的論述範圍層級就造成混亂了。型論在於避免這種論述範圍的錯亂。
後設語言的觀念可以說導自型論的觀念。在我們日常談話中，有時候一個句子論述、描繪、評論一個具體物，例如孔子是至聖先師，論述客體是個人，我們說這個句子是客體語言。假如有一個句子在論述上述的句子，如「西洋人都相信孔子是至聖先師」，則是後設語言。又如「雪是白的」是真的，括弧中的句子是客體語言，而「是真的」用來評論前面的客體語言，是它的後設語言。在我們日常說話的「自然語言」中，我們將客體語言和後設語言混在一起，但我們仍然可以做適當解釋而得到理解。
所謂自然語言，顧名思義，是自然演進所發展出來的語言。人類在生活中為了記錄、保留、溝通經驗而發明符號系統，這樣的系統隨著時間的流變而不時修改，所以語意和語法都會有所變異。自然語言有些特性。一、自然語言從環境適應中產生，與生活環境密切連結，自然語言的使用與理解和環境脈絡有關，例如路邊的牌上寫著「禁鳴喇叭」意謂此地可能有學校或醫院禁止吵雜的聲音。自然語言也指稱到經驗的對象。二、自然語言是含糊的，詞彙的定義沒有形式語言精準。常有一字多義和一義多字的情況，增加理解的困難但也使得表達多彩繽紛。在語法結構上混合了客體語言與後設語言，暗藏詭論的陷阱。三、自然語言含有隱喻、換喻、反諷、成語等可以表達言外之意弦外之音，甚至在適當情況不發一語也是一種有力的表達。雖然自然語言有諸多含糊、陷阱和闕漏之處，但除了少數特殊的情況，一般人都可以應用自如，在溝通上毫無窒礙。我們如何能自在地使用自然語言？有人將它歸功於心靈(mind)的智慧，心靈能分析語詞的各種含義且作排列組合找出合適的組合，做最適宜的解釋，消除含糊、化解矛盾。這樣的心靈似乎有神秘的智慧、神奇的功能。把一切困難歸給神秘的實體，也阻礙了我們對於心靈運作歷程的探索。
假如心靈像萊布尼茲的單子是個單體，則這個單體要表徵自己、檢視自己或超越自己，在邏輯上是不可能的。因此我們認為心靈是個表徵系統。幼兒碰到燙手的水壺就會縮手，便會留下記憶，亦即留下燙手水壺的表徵，以後他不會每次都被燙到才縮手，他靠這表徵來管理他與世界的互動。我們與世界互動所形成之表徵構成世界模型，用以模擬外在世界。我們對於體內世界的經驗也可以形成內在經驗的模型。我們的自我或心靈便是我們內外在世界之模型的統整。自我只是一個表徵和模擬內在外在環境的模型，它的神經底層是大腦的神經系統。大腦並不直接和外在交涉，而是透過五官接受外來刺激以及內感官接收內在狀態的資訊，大腦統整這些資訊形成表徵系統，然後透過動作器官應付外來衝擊改變外在環境以利於自我的發展。所以大腦是資訊處理系統，處理來自外知覺(exteroceptive)、內知覺(interoceptive)以及本體覺(proprioceptive)的所有資訊，計算是處理的最重要工具，大腦統計、分析各種資訊，形成對內對外的表徵，也就是一種假設或解釋，以此假設擬就應付的策略，透過對感覺證據的假設考驗，修正原有的假設，於是這個表徵系統也不斷成長。
我們希望從自我模型的觀點探索心靈的創造性智慧。
六、Dynamic Logic (Perlovsky & Ilin 2012)
如前所引述，Piaget認為創生genesis是由一結構轉變到另一結構。就人類的各種智慧操作及其所創造的結構而言，我們找不到一個起點，也許從人類遠祖進化累積來的，而這進化常常是建構本身產生否定伴隨著肯定與綜合。否定是創新的重要操作。這個操作否定一個完成的結構的似乎基本的或至少必要的屬性(p.132)。有此否定才能產生新的，如否定歐氏幾何的平行線預設，才產生非歐幾何。但我認為否定只是破壞還不是建設。否定作用破除原有的偏見或成見，在我們的心靈裡騰出一片淨空，以容納新的可能性。綜合作用才能生產新的產品。我認為動態邏輯(dynamic logic)就是一個建構新結構的歷程。
當我們使用邏輯規則做推理時，我們對於結論有篤定和信賴的感覺。但是Perlovsky及Ilin認為現成的邏輯規則是靜態邏輯 (statistic logic)，忽略了思維中的動態邏輯(dynamic logic)的層面和階段，這階段購是醞釀新結構的階段。我們對於外在事物的知覺與認知，是不斷學習的歷程，我們所遭遇的事物不會呈現相同的樣貌或角度，要辨認它們必須不斷修改原先的經驗記憶。
動態邏輯的歷程有如假設考驗的實驗。當我們看到一個蘋果時，要確認它是蘋果要拿過去所學得的蘋果的印象與它比對，這個印象可說是一個心理模型或「模型模擬物model-simulator」，這個模型以各種參數描述之，如觀看角度、顏色、形狀、大小、香味等等。大腦對於物體的知覺便是以模型模擬物與從視覺來的資訊比對。模型在大腦中的資訊有如對於外物的假設，是由上而下的資訊；由視覺來的資訊有如考驗假設的證據，是由下而上的資訊。兩組資訊獲得最佳適配的時候我們就確信已經確認該物體，這時我們有了清晰判明的知覺，但在前面摸索比對的階段，有許多模型，而且每個模型有多種參數，在這過程是含糊的雜亂的，也沒有進入意識中，這是動態邏輯的過程。在比對的初期，物體的資訊可能和一些較為粗略的模型接近，其他更不適配的模型便被淘汰，用來比對的模型便做了修正，所要比對的變數變得更為明細化和清晰化。在他們的研究中，動態邏輯的歷程是以微分方程式定義的。動態邏輯數學地模擬知覺符號系統的模擬物，而非靜態的抽象符號。模型的資訊和從感覺器官來的資訊之間的連結是不確定的且是動態的。其不確定性配對模型參數的不確定性，而且兩者在知覺與認知的歷程中改變，在達成確定的認知結果之前，這個過程是處於含糊的、不確定的、變動的狀態中，也很少浮現在意識中。當認知歷程達到清晰判明的結果時，我們好像獲得抽象的與知覺經驗無涉的抽象符號。
在概念、結構、理論的建構上，也經過含糊的、變動的過程，這樣的過程也常常沒有進入意識中，等到我們有了清晰的結果時，便有頓悟的驚喜。我認為從動態邏輯的觀點，概念沒有預定的意義或應有的意義，而是人類主體所建構出來的。起初可能有某個或幾個與苦思已久的問題有關的印象或觀念，浮現在腦中，它們的影像越來越鮮明，越顯要。這些因素有如一物體或一結構的重要參數。接著又有其他相關的觀念跟著浮現出來，它們之間的關係也越來越鮮明。於是一個概念、或一個結構、或一個理論突然間浮現出來，各元素及其間關係，整體與元素間的意義也一起朗顯。於是原先含糊的無意識的影像就像清晰判明輪廓或結構突顯出來。但這概念只有暫時的穩定和平衡，會由於新的元素或關係的出現而打破，醞釀下一個新建構。概念發展沒有終點，沒有Hegel的絕對知識。
七、主動的內知覺推論 Active Interoceptive Inference
從科學觀點，我們可以把心靈視為現象的自我模型，能清楚意識到自己的思想、知覺、情感，也在意識中操作這些變項而有獨立意志的感受。但是大腦的計算卻是生物物理學的編碼，依循統計上，平均數、機率分配、期望值等等概念而運算。基層的神經運算不知道有情感、信念，不為崇高的理想而工作，而是為了調節精力的分配與運用，維持精力的平衡(allostasis)，維護有機體的生命。Allostasis則是依照所預測的各器官對能量（如葡萄糖、水、氧氣、電能等等）的需求而變異生理系統，而在各器官需要時滿足它們。Barrett,et al.(2016)認為大腦的計算建築以精力平衡和內知覺為內在模型的核心。精力平衡的計算是維持生命的底層神經計算，內知覺則是自我感的核心。內知覺包含我們對於從內臟來的所有飢渴痛癢、心跳、血糖、血壓、內分泌等等感覺的知覺，這些知覺已經含有範疇的意涵以及評價的意味，這些是構成情緒和自我感(selfhood)經驗的核心。Seth & Friston(2016)認為就像在知覺一樣，情緒內容是被信念所決定的，亦即被有關內知覺信號之原因的後期望(posterior expectations)所決定。
大腦的計算作業對於人類適應的貢獻是依據自我模型的知識提供對於內外在環境的預測，考驗這些預測或假設與知覺的上行信號的適配程度。這個適配程度促使自我模型的持續或修改。以內知覺為核心的自我模型，揉合認知、情感、運動的符號系統，包含自我觀念、自我理想、價值系統等等，這些成為大腦擬就對世界之假設的主要清單。內知覺的假設考驗能推動交感與副交感神經的反應系統，表現出預測考驗的成功與否。主動推論所強調的是從感覺資料對於隱藏原因的預測，轉變到利用預測錯誤來控制或調節這些原因，調節的成功表示預測的成功，也表示原有的內在模型是適應的或者新的調適是成功的。內知覺的主動推論連結了高水準的價值觀念和人格理想與神經底層的精力平衡計算和調節。內知覺推論使得我們能在環境適應中不斷地更新自我，創造有價值的自我，而非只是被環境所左右的物體。大腦雖然是資訊處理中心，但它不是呆版的機器，只被動的處理輸入的資訊。反之，大腦會主動蒐集內外資訊，建構內外在環境的理論或假設，並依據理論設計行為計畫和策略，主動在環境中測試，實踐，並不斷修正理論，以達到最佳的適應成效。所以假如大腦是機器也是有智慧的能創造能應變的機器，不如說是活的存有。
古人有仁內義外的爭論，仁固是內發的，義也不是外鑠的。義與理之所以被認為是客觀的普遍的，乃是因為義理以邏輯為根基，而邏輯的基礎概念是不兩立，根源的邏輯規則是矛盾律，我們若要分辨事物形成知識，就與這規律相依存。設立一觀點隨即否認之，設立一主張隨即否決之，設立一意向隨即取消之，是自相矛盾的操作，是自敗的活動。毀滅生命是與生命活動相矛盾的，所以尊重生命是根源的道德原理，是我們的仁心不受折撓的展現。
邏輯不是天啟的知識，也不是外在事物的通則，而是我們心智操作或運思的產物。我們能以身體動作施於物體，移動、堆疊、拆解、分組等等，這些動作可以獲得物體的性質，卻無法獲得像邏輯一樣的確定性。當我們以運思施於自己的動作，例如在分組活動之上找到集合的包含關係，就有真正的思想或操作。當我們的思想有了可逆性操作，能以逆反的操作回到原來狀態，我們就能確信操作的可靠性。邏輯思維就是已達可逆性的操作。
邏輯運算還不能窮盡人類思想的奧妙。例如反身的命題假如依照邏輯法則去運算，會得到詭論的結果，但人的心智可以釐清其中曲折。甚至對於錯誤的句子我們都可以猜想作者的原意以及犯錯之處。由邏輯建構起來的形式化數學系統也有其缺陷，總有真的數學命題不是從該系統的公設集所能推算出來的；而且這樣的系統無法跳出自己之外來審查自己超越自己。但是人類卻能不斷學習，更新自己的知識系統和人格系統，使自己的人格更完美。這要歸功於人類大腦。人類大腦可以說是精密的資訊處理系統，能以平行處理的方式處理輸入及輸出的資訊。各腦區和各個神經網絡有自己擅長的功能，但又能相互協調，協同工作以完成生命活動的各項作業。大腦這個資訊處理中心能從生命經驗中蒐集重要經驗，構成各種表徵系統或符號系統（有組織的經驗累積），以這些系統表徵內在和外在世界的事件，同時形成自我模型代表自我的人格。大腦以這些系統中的知識形成對於世界的假說或預測，和感覺經驗的資訊比對來確認和考驗這些假說，如有誤差便會修正原有的假說，亦即修正了原有的符號系統，大腦不斷以此方式學習和進步。大腦的符號系統不是內外在世界的被動拷貝，而是主動的建構，可能從含糊的、未有清楚意識的影像，逐漸組合成清晰判明的概念、結構、或理論。就在大腦不斷地學習、建構新概念新假說並主動考驗及修正假說（理論）的過程中，顯現了人類主動創造的主體性。
附上：
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