機率思考：大數據時代，不犯錯的決斷武器 (二手書贈品) -TAAZE

◎害死人的疫苗？

2008年，英國政府決定，13歲以下的女孩要接種人類乳突病毒（HPV）疫苗，以防治子宮頸癌。這項全國計畫受到民眾讚賞，認為每年可拯救數百位女性的生命。然而，計畫推行後不久，媒體似乎有極具說服力的證據，證明這種看法太過樂觀。媒體報導，14歲女孩娜塔莉．摩頓（Natalie Morton）在接種疫苗後數小時死亡。衛生當局的反應是檢查疫苗庫存，回收可能有問題的疫苗。然而，有人覺得這樣做還不夠，要求中止大規模的接種疫苗計畫。

這個要求合理嗎？

有些人會堅持引用所謂的「預防性原則」，簡單說就是「小心駛得萬年船」。然而，這裡的風險在於，解決了一個問題，卻製造出另一個問題：計畫喊停雖然能消除接種者死亡的全部風險，子宮頸癌的問題卻仍然沒有解決。此外還有一種風險，是一個值得認識的陷阱。邏輯學家把這個陷阱稱為「後此謬誤」（Post hoc,ergo propter hoc），即「因為發生在後，就以為有因果關係」。以娜塔莉的死亡為例，陷阱就在於有人可能會因為她在接種疫苗後死亡，就認為接種疫苗必然是死因。事情必然是先有因，後有果；然而把這個邏輯反轉過來，卻有其危險：車禍事件的受害者，出發前通通有繫安全帶，但這可不表示繫安全帶會導致車禍。

不過，我們姑且設想最糟的狀況：娜塔莉的死亡，真的是對疫苗的不良反應所造成。根據無法無天第一定律，理解這類事件的最佳方式是著眼於相關比例，而不是個別案例。這個事件的相關比例是多少？娜塔莉死亡時，已有130萬名女孩接種了同樣的疫苗，這表示死亡事件的相對頻率，大約是100萬分之1。這個比例說服了英國政府，儘管面對反接種人士的抗議，還是在把可能有問題的疫苗回收後，繼續推動這項計畫。若娜塔莉果真是對疫苗產生罕見反應而喪命，政府採取的回應行動也屬合理。

娜塔莉的驗屍結果顯示，她的胸部有惡性腫瘤，死亡與接種疫苗無關。因此，娜塔莉的死亡不是罕見的疫苗反應，是媒體落入了後此謬誤的陷阱。即使如此，當局回收可能有問題的疫苗，而不是撤銷整個計畫，是正確的做法。當然，這不一定就是真相。娜塔莉可能是原發病例，是疫苗測試時未曾出現過的反應。深入研究這個案例的成因，尋找是否可能會出現更多案例的證據，顯然是正確的做法。

我們不應過度受個別案例影響，而是應該注意相對頻率，並在正確的脈絡下看待這類案例。只因為發生少數一次性事件，就決心做些「改善」的經理人、行政主管與政治人物，可以從這個案例學到更多課題。他們若忽略了這點，等於甘冒因極罕見事件而採取行動的風險。更糟的是，他們可能會根據罕見案例的「改進」，對同樣很少的資料組進行測試，又把注意力放在原始次數而非相對頻率，從而得出錯得離譜的結論。從頻繁發生的客訴到員工建議全盤改變工作方法，全都可能起因於少數不見得重要的傳聞。

◎受到神秘詛咒的公司？

1980年代，位於英國的國防包商馬可尼通用電氣（GEC-Marconi），因為一連二十多起技術人員自殺、死亡與失蹤案件，成為媒體報導焦點。開始有人提出陰謀論，而有些受害人參與機密計畫的事實，更使得這種論調甚囂塵上。雖然這些傳聞很引人入勝，不過我們應該無視於小道消息，把注意力放在相對頻率上。在這個案例中，就是比較馬可尼發生特殊事件，以及預期一般大眾發生特殊事件的相對頻率。

一經比較就會發現，馬可尼是一家員工超過三萬人的大型公司，而那些死亡案例是在八年內陸續發生的；這表示以馬可尼的規模，那些「神秘」的死亡和失蹤案，也許並不值得大驚小怪。最起碼警方的後續調查結論就如此，不過陰謀論一直到今日還未平息。

平心而論，媒體近來已經開始注意比較相對頻率的重要性。2010年，法國電信公司（France Telecom）登上頭版，因為它在2008年到2009年間，發生了30起自殺案件，次數媲美馬可尼。2014年，這家當時已改名為橘子電信（Orange Telecom）的公司，短短數個月內又出現10起自殺案，舊帳也因此再被翻出來。這一回的解釋是工作壓力，不過與報導馬可尼案件時截然不同的是，有些記者提到了第一定律的關鍵問題：以一家員工約100,000人的大型公司，這些自殺案件的發生頻率（而不是發生次數），是否真有異常？

然而這就引出一個棘手問題：該用什麼樣的相對頻率比較才適當？以橘子電信來說，是用全國自殺率（法國的自殺率是出名地高，比歐盟平均值高出40％）？還是用某個特定數字，如某個年齡層的自殺率（在法國，自殺是25歲到34歲的主要死因）？或是採用某個社經族群的自殺率？橘子電信案件尚未裁決；有人說這可能是統計上的異常，有人則堅稱工作壓力是自殺的真凶。真相很有可能永遠無法大白。

無論真相如何，要解讀這類問題，應該要從相對頻率著手。舉凡政府公共衛生運動、跨國企業聘僱員工等任何事，只要牽扯的人夠多，就有成為頭條新聞的潛能，儘管佐證的事件看似有說服力，究其實卻沒有太大意義。

◎百慕達奇案解秘

解讀詭異言論和陰謀論時，相對頻率特別管用。就以惡名昭彰的百慕達三角為例。百慕達三角位於西大西洋，船隻和飛機經常在那裡失蹤。自1950年代以來，有無數報告指出，船隻飛機一旦進入由邁阿密、波多黎各和百慕達島所構成的三角形區域，就厄運難逃。世人提出許多理論解釋這些事件，從幽浮攻擊到瘋狗浪都有。

現在，不要著眼於「離奇」失蹤的原始次數，而是要和大西洋其他區域發生失蹤案件的相對頻率比較。如此一來，你就會驚奇地發現：所有那些原因不明的失蹤案件，完全有可能發生。

每年有數萬艘船隻飛機，穿越這塊廣達100萬平方公里的領空和海域，即使把所有無法解釋的怪事都算進來，百慕達三角甚至擠不進全世界十大危險海洋區。世界知名保險集團勞合社（Lloyd’s of London）精明的保險精算師，當然不會因為百慕達「離奇」傳聞的原始次數而不安。他們並沒有因為船隻或飛機勇闖百慕達而加收保險費用。

◎破解鐵達尼預言

關於1912年4月的鐵達尼號（Titanic）事件，有人說早在船難發生的14年前，已經有一本書精準預言種種細節：美國作家摩根．羅伯森（Morgan Robertson）1898年出版的短篇故事〈徒勞無功〉（Futility），敘述一個名叫約翰．羅蘭德（John Rowland）的甲板水手故事；他在史上最大艘船隻上工作，4月某個夜晚，船在於北大西洋撞上冰山沉沒，造成重大死傷。猜猜看這艘船叫什麼名字？「泰坦號」（SS Titan，意為「巨無霸」）。

兩件事的雷同之處不只於此。在羅伯森筆下，這艘船全長240公尺，跟鐵達尼號差不多；它被譽為「不沉之船」；而船上搭載的救生艇，不到船上人員所需的一半；它甚至跟鐵達尼號一樣，都是右舷撞上冰山。

這一連串的巧合當然令人驚嘆，讓人不禁懷疑羅伯森寫作本書時，是否感應到什麼預兆。也許他真的有所感應，但還不如說故事劇情正好展現非獨立事件會造成何等的巧合。〈徒勞無功〉發表時，國際間已經展開打造巨無霸客輪的比賽，競逐頒給最快速大西洋客輪的藍絲帶獎（Blue Riband）。十九世紀最後十年，最大型的船隻已從全長大約170公尺，增加到遠超過200公尺，因此240公尺顯然並非不可能。至於這種龐然大物會發生什麼大災難，當時已有人發覺冰山會是一大威脅。至於救生艇數量不足的問題，當時也有人提出警告，相關規範未能跟上船隻規模迅速增長的速度。此外，撞上冰山的是左舷還是右舷，猜對的機率顯然是一半。至於羅伯森為筆下厄運纏身之船所選的名字，也沒什麼好訝異：如果要為一艘巨無霸船隻取個響亮的名號，「泰坦號」顯然會比「侏儒號」之類的名字更容易出線。

簡而言之，羅伯森想寫一個巨船的船難悲劇故事，故事要寫得逼真，多少會納入與鐵達尼號相近的事件跟特徵。因此他的寫作在選材上，根本就不是隨機的獨立事件。

◎一個錯誤模型，一場世紀金融災難

美國投資銀行高盛歷經150多年的歷史，什麼大風大浪都見過。經濟繁榮、金融崩潰、股票泡沫、全球衰退……無論碰上什麼危機，高盛總是能夠安然度過。但是在2007年8月，它卻一頭撞上堪稱金融界冰山群的危機，不得不對兩檔基金注資超過20億美元，免得它們沉入海底。高盛財務長大衛．維尼亞（DavidViniar）當天告訴記者的話，已是金融行家圈的名言：「我們已經連續好幾天，看到25個標準差的波動。」

就算是最資深的量化分析師，也無法理解維尼亞口中所說的25個標準差事件。這類事件實在太過奇特，就連標準公式也無法處理，必須經過特殊處理，才能在報表上把極低的機率打出來。當數據處理好，答案卻令人訝異：根據他們聲稱，他們碰上的是平均每隔10的135次方年才會碰上一次的事件。這甚至已經超越天文數字了，因為這令人無法想像的時間尺度，甚至比宇宙生成還要久。而且，據維尼亞所言，高盛還不只碰到一次，是碰到好幾次。

沒錯，極罕見的事件有可能、也確實會發生，但是一連幾件同時報到，你不禁猜想，算出這些機率的方法，是不是哪裡出了問題？要計算這些機率，需要用到該事件所謂的或然率分配（probability distribution）；或然率分配有各種形狀跟大小，不過在金融界裡，每個人幾乎都不加思索，直接採用「鐘形曲線」。為什麼不？畢竟鐘形曲線不就是「常態分配」嗎？

維尼亞發表這段聲明的將近一個世紀前，假設事情「遵循常態」的概念開始流行時，就已經有人對此表示擔憂。1901年，英國統計學家卡爾．皮爾森（Karl Pearson）率先檢驗聲稱無所不在的鐘形曲線，發現證據並不是很有說服力。他寫道：「我只能說，常態曲線……是極反常的現象。」

維尼亞的聲明為全球金融危機與衰退揭開序幕，衝擊在多年後仍然有感。這也引發了對於常態分配假設的激烈辯論，但這種辯論不是頭一遭。早在數十年前，就有明確的證據顯示，金融市場的表現並不符合常態分配。備受景仰的英國財金數學家保羅．威摩特（Paul Wilmott），在2000年就試著警告他的量化分析同儕，危險何在：「很明顯地，世界若要免於遭受肇因於數學家的市場崩解，我們亟需重新思考……模型背後的假設，如常態分配的重要性、消除風險、可量測的相關性，這些可能都是不正確的。」

言者諄諄，聽著藐藐。金融機構甚至賭更大，拿數學模型為他們的曝險部位背書。素來以「條款與細則」約束客戶的金融機構，似乎既不知道、也不在乎鐘形曲線的使用條款與細則。

美國國庫券市場在2014年10月，經歷了單日7.5個標準差的波動後，摩根大通執行長傑米．迪蒙（Jamie Dimon）告訴股東，這種事件理應幾十億年才會發生一次，但他緊接著就補上一句但書：美國國庫券市場也不過才200年左右的歷史，「這點應該會讓你們開始質疑，統計原理是不是有問題。」

（以上摘錄自本書第4、6和28章，更多精采內容，請詳閱全書）

敢與上帝擲骰子的魄力

2004年4月一個週日下午，一名32歲的英國人，帶著他的所有家當，走進拉斯維加斯的廣場賭場飯店（Plaza Hotel & Casino）。所謂的「所有家當」，就是一套換洗衣物，加上一張支票。艾胥里・瑞威爾（Ashley Revell）變賣所有，換得一張135,300美元的支票；就連身上穿的無尾禮服，都是租來的。瑞威爾把支票換成一疊少得可憐的籌碼，走向輪盤賭桌，做了一件驚動四座的事：他把賭注全押在同一格，他賭小白球停下來時，會停在紅色格內。

瑞威爾選擇紅色可能是一時興之所至，但孤注一擲卻不是，而是已經籌畫了好幾個月。他跟朋友討論過這件事，朋友們認為這個點子很棒，不過家人可不這麼想。有些賭場也不歡迎，可能很怕自己淪為賭城傳說的主角：那間就是有人賭上全部家當、結果傾家蕩產的賭場。瑞威爾把籌碼放上賭桌，賭場飯店經理神色嚴肅，問他是否確定自己要這樣做，不過似乎沒有什麼能夠阻擋瑞威爾的決心。在一大群觀眾圍觀下，他緊張地等待荷官把球放進輪盤，一個快手把所有籌碼全都押在紅色。他看著球慢下來，以螺旋滾進輪盤，在各格子間跳進跳出，最後停了下來——落在7號紅色格內。

那一瞬間，瑞威爾的身價倍增為270,600美元。觀眾大聲歡呼，朋友給他擁抱，他老爸則是心有餘悸，直說他是個「頑皮小子」。對於瑞威爾當天的行徑，大多數人可能都會嚴詞批判，說他不明智算是客氣，說他魯莽也不為過，甚至可能說是瘋狂。即使不把135,300美元放在眼裡的億萬富翁，也一定不會這樣下注。任何有點理智的人，都會把賭注分成較小的幾把，最起碼先試試手氣，看看幸運女神今天到底有沒有在家，不是嗎？

不過，事實是：瑞威爾此舉完全是正確的決定。根據或然率定律，想在賭場把身價翻倍，沒有比在輪盤孤注一擲勝率更高的方法。沒錯，這個遊戲並不公平，輪盤的勝率刻意設計成不利於賭客，而且完全合法。沒錯，你有大於50％的機會輸掉賭注。然而，儘管看似詭異，這時的最佳策略，就是大膽地放手一搏；只要稍微膽怯，就會減低成功的機會。瑞威爾在下這把大注之前，自己親身驗證過這點：他前幾天在賭場裡下注幾千美元，卻落得虧損1,000美元。他想要把錢翻倍的最佳希望，就是摒棄分散下注的「常識」，投靠或然率定律。

人性對風險缺乏免疫力

那麼，我們應該遵照瑞威爾的腳步，把家當全部賣掉，前往最近的賭場，放手一搏嗎？當然不是。想要財富翻倍，有很多更好的方法，只是比較無趣而已。不過有一件事倒是可以確定：這些方法全都涉及或然率的某個形式，像是機率、不確定性、風險或是可信度。

我們都知道，除了死亡跟繳稅，人生沒幾件事情可以確定，但是很少人能對機率淡然處之。機率威脅我們對於事件的掌握感；機率暗示誰都可能變成莎士比亞筆下「受命運擺布的傻瓜」。機率讓許多人信仰反覆無常的眾神，有些人則否認機率的主宰力量：愛因斯坦就是其中出名的一個——他拒絕相信上帝會在管理宇宙時丟骰子。然而，「理解機率」就是個自相矛盾的詞：按照定義，隨機不就是超乎理解的意思嗎？這個邏輯正好說明人類智識史上最大謎團形成的原因：可靠的或然率理論顯然很實用，卻為什麼經過那麼長的時間才出現？5,500年前的古埃及，就有人在玩機率遊戲，卻一直到了17世紀，才有大膽的思想家，認真挑戰亞里斯多德的觀點，即「機率超越人類知識的理解範圍」。

機率違反直覺的情況實在太過頻繁，難以有助於於理論的形成。就以巧合來說，一場美式足球比賽裡，兩名球員的生日相差一日之內，機率大約多少？一年有365天，場上有22名球員，所以你可能會覺得機率低於10分之1。然而，根據或然率定律，真正的答案其實是約90％。不相信嗎？挑幾場美式足球比賽，查查球員的生日，你就知道了。即使如此，你也難免覺得事有蹊蹺，畢竟即使身處在人數差不多的群體裡，也很難真的找到有人跟你同一天生日。就連擲銅板和擲骰子這種簡單的問題，似乎也違反常識。抛擲一枚公平的銅板，連續出現幾次正面之後，接下來一定較可能擲出反面嗎？如果你很難理解為什麼答案是否定的，別擔心，有位啟蒙時代的偉大數學家，也從來就沒搞懂這點。

本書的目的之一，就是透過揭示機率定理及其應用，使讀者理解日常生活中的機率事件。你會讀到如何運用這些定理預測巧合，幫助你在商場上與生活中做出更佳決策，並更能明智解讀從醫療診斷到投資建議等種種事務。

不懂機率，就等著當理盲的傻瓜

不過，本書不只是提供絕妙竅門和實用線索。我寫作本書也為了點出，除了理解機率事件，或然率定律究竟有何能耐。對於需根據證據申述見解的人，或然率定律也是上好的利器。舉凡確認健康風險、找出可以對治的新藥，到增進我們對宇宙的認識，或然率定律在去蕪存菁的過程中，都能扮演關鍵角色。

有一場以或然率定律為焦點的革命，如今正方興未艾。我們清楚看到，對於知識的追尋，這些定律遠比原先設想的有力。然而，要運用這股力量，需要重新解讀或然率，也因此直到最近都還引發激烈論戰。這場持續數十年的爭議，在科學、科技與醫學因為所謂的「貝氏方法」（Bayesian methods）而改頭換面下，如今已逐漸消弭；然而，截至目前為止，這一切卻鮮為大眾所知。本書將會訴說這段經常令人驚異不已的精采故事，談及這些技巧何以出現、它們所引起的爭議，以及一般人如何借助這些觀念，洞悉如氣象預報、科學新主張的可信度等各種事物之究竟。

然而，運用或然率定律的同時，也必須知道其限制為何，以及何時有濫用之虞。研究人員賴以解讀資料而行之有年的標準方法，應用時經常超出使用限制甚多，這已是清楚的事實。這麼做可能導致災難性的後果，學術圈內對此流傳的警告，也數十年未歇。然而，這項逐漸浮現的弊端，同樣鮮為普普大眾所知。我也希望藉本書提供彌補之道。為此，本書取材自我的學術著作，也蒐羅了一些方法，以偵察研究文獻中因證據及方法遭濫用時產生的問題。

對於機率、風險和不確定性的理解，需求從未像現在這般迫切。面對政治動盪、金融脫序，以及接踵而至的各種風險、威脅跟災禍，我們都渴求確定性。確定性從來不曾存在，儘管這是事實，但我們不應因此接受宿命論，或拒絕接受現實。

本書的中心思想是，雖然我們永遠無法擺脫機率、風險跟不確定性，但我們如今擁有掌握它們、最終勝出的工具。

導論敢與上帝擲骰子的魄力
第1章納粹集中營裡的擲銅板實驗
第2章藏在常識裡的陷阱
第3章黃金定理的暗黑秘密
第4章恐怖新聞？是你頭腦不夠清楚！
第5章是美麗巧合，還是自欺欺人？
第6章六顆雙黃蛋的啟示
第7章樂透彩陰謀論
第8章電玩會殺人？牛仔褲也是！
第9章日光之下並無奇事
第10章沒有頭緒時，「隨機」應變為上
第11章真實世界不是一座標準實驗室
第12章群眾智慧，給問嗎？
第13章破解莊家優勢
第14章聰明反被聰明誤
第15章賭博的黃金法則
第16章買保險？還是碰運氣？
第17章人生如賭場，要下好注
第18章醫生，老實說，我有多少機會？
第19章這不是演習！這不是演習！這不是演習！
第20章貝牧師的神奇公式
第21章當圖靈博士遇到貝牧師
第22章大人，冤枉啊！
第23章化腐朽為神奇的統計秘密
第24章別讓數字唬了你
第25章證據終究會說話
第26章抱歉，教授，我實在不相信
第27章神奇的萬有曲線
第28章常態分配不常有
第29章醜陋姊妹花與邪惡雙胞胎
第30章走極端，以測安全
第31章尼可拉斯・凱吉新片上映期間，泳池勿近
第32章如果這樣，會怎樣？
第33章金融市場裡的物理學家
第34章因為不能簡單，只好順應複雜

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