世上最美麗的數學算式
有個大多數的科學家和數學家都讚為「世上最美麗的式子」的數學公式,該公式就是被稱為「尤拉恆等式」(Eulers identity)的「eiπ+1=0」。其中e是自然對數的底數,i是虛數單位,π是圓周率,它們的「出身」各不相同,原本應該是沒有任何交集的,然而藉由將e與i與π整理成eiπ的形式,然後加上1,最後得到的答案竟然等於0。這樣的結果讓科學家和數學家深感有某種神祕的東西隱藏其中。
尤拉恆等式脫胎自尤拉公式(Eulers formula,eix=cosx+i sinx)。尤拉公式是在物理學許多領域都必須用到的式子,乃闡明自然界各種機制所不可或缺的算式。美國著名的物理學家費因曼(一譯費曼,Richard Phillips Feynman,1918∼1988)盛讚尤拉公式是「This is our jewel.」(人類的至寶)。而德國《The Mathematical Intelligencer》期刊則票選尤拉恆等式為「最優美的數學定理」。
接下來讓我們來詳細認識尤拉這二個式子是如何的美麗和卓越吧!
瑞士的天才數學家尤拉(Leonhard Euler,1707∼1783)在1748年所出版的著作《無窮小分析引論》(Introductio in analysin infinitorum)中發表了尤拉公式。從尤拉公式很容易就能推導出尤拉恆等式。
尤拉是知名的天才數學家,同時也是史上發表論文數最多的數學家。僅目前已知的論文數量就高達866篇。瑞士科學院在1909年訂定收集尤拉論文出版《全集》的計畫,全集的出版自1911年開始,每卷平均300∼600頁,到目前為止已出版75卷以上,雖然從計畫開始至今已超過100年,但是全集仍未完結。
在尤拉恆等式中出現的圓周率π、虛數單位i、自然對數的底數e可以說是數學界的「三大選手」,在數學的各種場合中都可以看到它們的身影。想要深切體認尤拉恆等式之美,就必須知道這π與i與e的「出身」各不相同這一點。
π是從圓誕生的數,是圓周長除以圓直徑所得到的值。π為3.141592⋯⋯,是小數點以下不循環且無限延伸的「無理數」(irrational number)。
另一方面,i是為了求方程式的解而誕生的數,是平方等於-1的數。由於平方之後為負的數不是普通的數(實數),所以稱之為「虛數」(imaginary number)。i是最單純的虛數,被當成虛數的單位,因此也被稱為「虛數單位」(imaginary unit)。
sinx和cosx稱為「三角函數」(trigonometric function)。在高中課程中,係使用直角三角形來學習三角函數,在此各位只要記得三角函數的圖形就是像下面插圖所示是呈曲線的就行了。「y=sinx」與「y=cosx」的圖形形狀完全一致,只不過圖形在x軸方向有「π/2」的挪移。
再者,各位不覺得sinx與cosx的圖形很像是水面上出現的波紋嗎?事實上也跟繩波非常相似呢!其實包括聲波、光波、地震波等,自然界的「波」基本上都可以用與sinx和cosx的圖形相同的形狀來表示(嚴謹來說,可以用許多波長和振幅相異的sinx和cosx的疊加來表示)。因此,三角函數可以說是利用數學處理自然界之波的問題時所不可或缺的函數。
尤拉公式和尤拉恆等式是物理學上非常珍貴而且方便的公式,其背景是「自然界的波可使用三角函數來表示」這個事實。
在應用尤拉公式的生活用品中,我們舉具可抵消周圍噪音之功能的「降噪耳機」(noise cancelling headphone)為例加以說明。
降噪耳機的降噪機制就是耳機本身可測定周圍噪音,然後內部瞬時產生具有與噪音波形相反之波形的訊號,將噪音抵消掉。在降噪耳機內部分析所測定到的噪音究竟成何種波形之際,係利用以尤拉公式為基礎的數學(傅立葉展開、傅立葉分析)。
降噪耳機不過是我們身邊的一個例子而已,在我們的生活中,有很多地方都拜天才數學家尤拉之賜,才能過得如此舒適與便利。
數學的世界是不是很有意思呢?歡迎購買本期雜誌繼續閱讀詳細內容!
篇篇精采的科學報導,請見《牛頓科學雜誌》2018年1月號(123期)
作者簡介:
為日本NEWTON雜誌授權繁體中文版,Newton牛頓科學雜誌是一本科普雜誌,內容有5大特色:
1. 文字淺顯,易讀易懂:文字深入淺出,將艱深知識淺顯化,可以讓對科學有興趣的人輕鬆閱讀。
2. 圖文連貫,完整概念:不但文字之間陳述連貫,圖文之間也緊密契合,將一個概念完整呈現,長期閱讀可以培養邏輯思維、組織分析能力。
3. 圖含深意,圖解詳細:圖文並茂,每張圖均深具意義,將艱深知識以圖解方式鉅細靡遺解說,可以解答讀者科學方面的問題。
4. 摘要說明,清楚解說:內容利用摘要方式呈現,閱讀、查詢均方便,可以讓讀者快速抓到重點。
5. 圖片珍貴,值得收藏:每期均有宇宙電子傳真影像、生態高密度特寫、大自然的瑰麗景致、電腦三維立體模型繪圖,每張圖照珍貴經典,值得收藏,可反覆研讀,或集結成科學工具書。
世上最美麗的數學算式
有個大多數的科學家和數學家都讚為「世上最美麗的式子」的數學公式,該公式就是被稱為「尤拉恆等式」(Eulers identity)的「eiπ+1=0」。其中e是自然對數的底數,i是虛數單位,π是圓周率,它們的「出身」各不相同,原本應該是沒有任何交集的,然而藉由將e與i與π整理成eiπ的形式,然後加上1,最後得到的答案竟然等於0。這樣的結果讓科學家和數學家深感有某種神祕的東西隱藏其中。
尤拉恆等式脫胎自尤拉公式(Eulers formula,eix=cosx+i sinx)。尤拉公式是在物理學許多領域都必須用到的式子,乃闡明自然界各種機制所不可或缺的算式。美國著名的物理學家費因曼(一譯費曼,Richard Phillips Feynman,1918∼1988)盛讚尤拉公式是「This is our jewel.」(人類的至寶)。而德國《The Mathematical Intelligencer》期刊則票選尤拉恆等式為「最優美的數學定理」。
接下來讓我們來詳細認識尤拉這二個式子是如何的美麗和卓越吧!
瑞士的天才數學家尤拉(Leonhard Euler,1707∼1783)在1748年所出版的著作《無窮小分析引論》(Introductio in analysin infinitorum)中發表了尤拉公式。從尤拉公式很容易就能推導出尤拉恆等式。
尤拉是知名的天才數學家,同時也是史上發表論文數最多的數學家。僅目前已知的論文數量就高達866篇。瑞士科學院在1909年訂定收集尤拉論文出版《全集》的計畫,全集的出版自1911年開始,每卷平均300∼600頁,到目前為止已出版75卷以上,雖然從計畫開始至今已超過100年,但是全集仍未完結。
在尤拉恆等式中出現的圓周率π、虛數單位i、自然對數的底數e可以說是數學界的「三大選手」,在數學的各種場合中都可以看到它們的身影。想要深切體認尤拉恆等式之美,就必須知道這π與i與e的「出身」各不相同這一點。
π是從圓誕生的數,是圓周長除以圓直徑所得到的值。π為3.141592⋯⋯,是小數點以下不循環且無限延伸的「無理數」(irrational number)。
另一方面,i是為了求方程式的解而誕生的數,是平方等於-1的數。由於平方之後為負的數不是普通的數(實數),所以稱之為「虛數」(imaginary number)。i是最單純的虛數,被當成虛數的單位,因此也被稱為「虛數單位」(imaginary unit)。
sinx和cosx稱為「三角函數」(trigonometric function)。在高中課程中,係使用直角三角形來學習三角函數,在此各位只要記得三角函數的圖形就是像下面插圖所示是呈曲線的就行了。「y=sinx」與「y=cosx」的圖形形狀完全一致,只不過圖形在x軸方向有「π/2」的挪移。
再者,各位不覺得sinx與cosx的圖形很像是水面上出現的波紋嗎?事實上也跟繩波非常相似呢!其實包括聲波、光波、地震波等,自然界的「波」基本上都可以用與sinx和cosx的圖形相同的形狀來表示(嚴謹來說,可以用許多波長和振幅相異的sinx和cosx的疊加來表示)。因此,三角函數可以說是利用數學處理自然界之波的問題時所不可或缺的函數。
尤拉公式和尤拉恆等式是物理學上非常珍貴而且方便的公式,其背景是「自然界的波可使用三角函數來表示」這個事實。
在應用尤拉公式的生活用品中,我們舉具可抵消周圍噪音之功能的「降噪耳機」(noise cancelling headphone)為例加以說明。
降噪耳機的降噪機制就是耳機本身可測定周圍噪音,然後內部瞬時產生具有與噪音波形相反之波形的訊號,將噪音抵消掉。在降噪耳機內部分析所測定到的噪音究竟成何種波形之際,係利用以尤拉公式為基礎的數學(傅立葉展開、傅立葉分析)。
降噪耳機不過是我們身邊的一個例子而已,在我們的生活中,有很多地方都拜天才數學家尤拉之賜,才能過得如此舒適與便利。
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篇篇精采的科學報導,請見《牛頓科學雜誌》2018年1月號(123期)
作者簡介:
為日本NEWTON雜誌授權繁體中文版,Newton牛頓科學雜誌是一本科普雜誌,內容有5大特色:
1. 文字淺顯,易讀易懂:文字深入淺出,將艱深知識淺顯化,可以讓對科學有興趣的人輕鬆閱讀。
2. 圖文連貫,完整概念:不但文字之間陳述連貫,圖文之間也緊密契合,將一個概念完整呈現,長期閱讀可以培養邏輯思維、組織分析能力。
3. 圖含深意,圖解詳細:圖文並茂,每張圖均深具意義,將艱深知識以圖解方式鉅細靡遺解說,可以解答讀者科學方面的問題。
4. 摘要說明,清楚解說:內容利用摘要方式呈現,閱讀、查詢均方便,可以讓讀者快速抓到重點。
5. 圖片珍貴,值得收藏:每期均有宇宙電子傳真影像、生態高密度特寫、大自然的瑰麗景致、電腦三維立體模型繪圖,每張圖照珍貴經典,值得收藏,可反覆研讀,或集結成科學工具書。
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